O.Stolz公式及其应用

张雁磊

[摘 要] Stolz公式可以说是序列里的洛必达法则，它对求序列的极限很有用。给出Stolz公式的两种形式，并列举了几个用Stolz公式求序列极限的典型例子。

[关 键 词] Stolz公式；序列；极限

[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2017）31-0119-01

一、Stolz公式及其证明

定理1（■Stolz公式）设xn严格递增（即？坌n∈N有xn

Stolz公式的几何意义[1]，把（xn，yn）看成平面上的点Mn，公式的意义是，假设点Mn的横坐标xn单调递增且趋于+∞，那么当■的斜率以a（有限数），或+∞，或-∞为极限时，则■的斜率也以a，或+∞，或-∞为极限。

定理2（■Stolz公式），设■yn=0，xn严格递减（即？坌n∈N，有xn>xn+1），且■xn=0，若■■=a（其中a为有限数，或a为+∞，或a为-∞），则■■=a。

定理1，其名为■型，其实只要求分母xn严格递增，且

■xn=+∞，至于分子xn是否趋于无穷大，无关紧要。定理2则是■名符其实的型，因为定理条件要求分子分母都必须以0為极限。

这里只给出定理1的证明[2]，定理2的证明与定理1的证明类似。

证：

（一）（a为有限数）要证■■=a，有序列极限的定义，只需证明：？坌ε>0，？埚N>0，当n>N时，有■-a<ε，此式记为（1）；记αn=■-a，此式记为（2）；按已知条件有■αn=0，即？坌ε>0，？埚N>0，当n>N时，有αn<■，此式记为（3）。我们的目标在于从（3）推出（1），为此从（2）解出yn再代入（1）。由（2）得：

yn=yn-1+（αn+a）（xn-xn-1）（再迭代使用此式）

=yn-2+（αn-1+a）（xn-1-xn-2）+（αn+a）（xn-xn-1）

=……

=yN+（αN+1+a）（xN+1-xN）+…+（αn+a）（xn-xn-1）

=yN+αN+1（xN+1-xN）+…+αn（xn-xn-1）+a（xn-xN）

两边同时除以xn，再同时减去a得：

■-a≤■+■<■+■■<■+■

再将n进一步增大，因■xn=+∞，故？埚N1>N，使n>N1时有■<■，于是：■-a<■+■=ε。

（二）（a为+∞）因已知■■=+∞，所以■■=0，利用10中的结论只要证明yn严格递增且■yn=+∞，则有■■=+0，

■■=+∞，问题得证。因xn严格递增，要证yn严格递增，只要证■>1；事实上，■■=+∞，所以对M=1，？埚N>0，当n>N时有■>1，即n>N，yn-yn-1>xn-xn-1>0；所以n>N时，yn严格递增。yn-yn-1>xn-xn-1>0中令n=N+1，N+2，…k，然后相加，可知：yk-yN>xk-xN，再令k→∞可知yk→∞。

（三）（a为-∞）只要令yn=-Zn即可转化为（二）中的情况。

定理证毕。

二、应用举例

例1.设Sn=■，其中Ckn=■；求■Sn。

解：因n2严格递增，且■n2=+∞，

■Sn=■=■■（Stolz公式）

=■■=■■

=■■（再次使用Stolz公式）

=■■=■■=■

例2.设x1∈（0，1），xn+1=xn（1-xn）（n=1，2，…）；试证：■nxn=1。

证：（一）先证xn收敛，且■xn=0。xn有界（数学归纳法），由已知条件x1∈（0，1），设xk∈（0，1），现证xk+1∈（0，1）成立，由xk∈（0，1）知（1-xk）∈（0，1），所以xk+1=xk（1-xk）∈（0，1）；xn严格递减，由xn+1=xn（1-xn）=xn-x2n>xn；综上由单调有界定理知xn收敛，设■xn=x；现对xn+1=xn（1-xn）两边求极限，知x=x（1-x），解此方程得x=0，即■xn=0。

（二）证■nxn=1

■nxn=■■=■■（Stolz公式）=■■

=■■=■■=■（1-xn-1）=1

证毕。

参考文献：

[1]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社，2006.

[2]同济大学应用数学系.微积分[M].高等教育出版社，2003.