浅谈多元函数极值问题

杨 璐

浅谈多元函数极值问题

杨 璐

在多元函数中，自变量不受约束，在这种条件下求解的函数极值称作“无条件极值”。在多元函数中所求驻点不一定是函数极值点，因此需要用到Hesse矩阵进行判断。若函数自变量有所限制，则此时所求极值成为“条件极值”，对此，我们引入Lagrange乘数法解条件极值。

无条件极值；条件极值；Lagrange乘数

一、 无条件极值

① 若|Ak|>0，(k=1，…，n)，则矩阵A为正定矩阵，此时f(x0)为极小值。

② 若(-1)k|A|>0，(k=1，…，n)，则矩阵A为负定矩阵，此时f(x0)为极大值。

③ 在其他条件下，所求驻点不为极值点。

以上方法总结为：一求(求驻点)，二列(列Hesse矩阵)，三判断(判断矩阵正定、负定、不定)。以下题为例：

讨论函数f(x，y，z)=x2+2y2+2z2-2xy+2xz的极值。

∴函数极小值为f(0，0，0)=0。

二、 条件极值

与无条件极值相似，条件极值也是多元函数极值的一种类型，此时的函数表达式为目标函数。不同的是，条件极值对与自变量有限制，要求自变量满足某一方程或方程组，我们称之为“约束条件”。对于条件极值的求法，我们引入Lagrange乘数法对函数极值进行求解，其方法如下：

① 若|Ak|>0，(k=1，…，n)，则矩阵A为正定矩阵，此时f(x0)为极小值。

② 若(-1)k|A|>0，(k=1，…，n)，则矩阵A为负定矩阵，此时f(x0)为极大值。

③ 在其他条件下，不能说明所求驻点不为极值点。

例如讨论f(x，y)=xy在约束条件x+y=1下的极值.

构造Lagrange函数：L(x，y，γ1)=xy-γ1(x+y-1)

[1]陈纪修.数学分析(第2版)[M].高等教育出版社，2004.

[2]陈纪修.数学分析习题全解指南下册[M].高等教育出版社，2005.

杨璐，四川省南充市，西华师范大学数学与信息学院。