大陆和台湾高中数学教材“统计与概率”内容比较研究

覃淋

【摘要】以教材中“统计与概率”内容作为研究对象，对中国大陆和中国台湾高中数学教材进行比较研究.研究发现：（1）在知识点数量上，台湾教材多于人教A版；在内容深度上台湾教材也高于大陆教材.（2） 台湾教材中统计概率各占50%，大陆教材中概率内容多于统计.（3） 从教材对知识点的具体处理来看，大陆教材更追求定义的严格性.

【关键词】高中数学教材；统计；概率；比较研究

1引言

近年来，中小学数学教材的比较研究已成为数学教育研究的一个热点.但大部分研究主要集中在代数、几何等内容，很少涉及“统计与概率”的内容.从国际数学教育改革的趋势看，“统计与概率”在各国中小学数学教学内容中占据着越来越重要的地位.以新加坡高中数学课程标准为例，其高中数学课程标准的具体内容分为纯数学和统计两部分，涉及的“统计与概率”的内容有：概率，伯努利分布和正态分布，抽样理论和假设检验，相关性和回归分析（H1层次）.再如国际上著名的TIMSS测试、PISA测试，它们的内容测试框架中都包含了“统计与概率”的内容.TIMSS（2015）测试中四年级测试内容为：数、几何图形与测量、数据呈现；八年级测试内容：数、代数、几何、数据与概率[1].PISA（2015）测试中的第二部分——数学内容知识，包含了变化与关系、空间与图形、数量、不确定性和数据[2].

从我国数学教育改革的趋势来看，对“统计与概率”的强调也正在逐步加强.1996年大纲的选修部分开始有了统计的内容；2000年，我国高考数学试题首次考查概率的内容，主要考查了古典概率的概念；2001年高考試题中出现了统计的试题[3]，2004年新课程改革进一步加强了统计概率知识的强调.再到如今高中数学课程标准修订组的专家提出了六大数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析.这一切都说明了“统计与概率的基础知识已经逐渐成为一个未来公民的必备常识.”

“统计与概率”作为我国新课程改革中变化较大的内容之一，同时其思维方式又和传统的代数、几何等内容有所不同，是数学教育研究中需要给予更多关注的一个知识领域.因此，本研究选择了“统计与概率”作为研究对象，对中国大陆和中国台湾地区的高中数学教材“统计与概率”部分的内容进行比较研究，希望能为我国高中数学教材中“统计与概率”内容的编写提供些许参考.

2研究对象及内容

考虑教材的使用范围及教材是否能体现所在地区课程标准的理念，再结合教材的出版时间，最后确定了表1中所列的数学教材[4-7].

2.1两种教材统计概率部分知识点的比较

根据上面选择的教材，我们统计了两种教材“统计与概率”部分的知识点，两种教材的统计结果如下表（“+”表示有此知识点，“-”表示无此知识点）

就高中数学而言，学习的概率论知识通常包括概率及其基本性质，随机变量及其分布，随机变量的数字特征，条件概率和一些常见的概率分布等.统计知识有收集数据和分析数据两方面，前者是抽样调查，包括随机抽样方法等内容；后者是统计推断，包括估计、假设检验、相关分析、回归分析等.

下面我们分别从知识广度和知识深度两个方面进行分析.

2.2两种教材“统计与概率”部分知识广度的比较

由表2知，我们总共列出了38个知识点.从知识点数量上看，中国台湾高中数学教材包含的知识点有32个；大陆教材28个.我们对两种教材中所含统计和概率知识点数量分别进行了统计，计算两部分各自所占的比重.统计结果表明：人教A版教材统计、概率部分比重分别为42.86%、57.14%；台湾教材统计和概率各占50%.

为进一步比较两种教材的不同之处，统计了两种教材具体知识点的差异，结果如表3

说明：表中的“T→ZA”表示台湾教材有，而人教A版教材没有的知识点，其它类似.

从表3可以发现，大陆教材中有些内容，如系统抽样、几何概型、超几何分布、假设检验等，台湾教材没有涉及.台湾教材设置的内容，如标准正态分布、连续性随机变量的概率密度函数、随机变量的和与积、样本空间等内容，大陆教材没涉及.

从知识点的顺序看.原大纲下的高中数学教材在“统计与概率”部分知识的顺序是“概率→概率→统计”，而人教A版和台湾教材的顺序是“统计→概率→概率→统计”，这是我们教材非常显著的一个变化.这一变化的原因，大概是概率部分的知识更多的是涉及计算与相关理论，相比而言，统计的内容更贴近学生的实际生活，学生更容易学习.这样的处理方式也并非只是中国特色，世界上许多国家或地区也是这样处理的[8].

2.3两种教材“统计与概率”部分知识深度的比较

从教材的具体内容来看，大陆教材对有些知识仅仅列出名称简单加以介绍而已.如正态分布，教材用了5页的篇幅来介绍，主要讨论正态曲线的特点、均值、标准差对正态分布的影响，3σ原则等.对正态分布的应用未作任何说明，没有涉及标准正态分布、标准化等内容.中国台湾教材用了14页，并通过“中心极限定理”来说明了任意分布当样本量足够大，都趋近于正态分布.再如“二项分布”，A版教材用了3页来介绍，和以前教材相比，内容丰富了一些.台湾教材则用了整整一节（20+3页习题）来详细进行讨论，并利用Excel来对二项分布的性质做了非常细致的讨论.大陆教材对一些重要却比较难的内容没有介绍，如大数定律、中心极限定理、贝叶斯公式.

下面我们从几个主要方面来具体讨论：概率、随机变量、随机抽样、数据分析.

2.3.1概率

一般而言，中学数学教材中的概率定义没有采用数学上的公理化定义.不同的教科书一般采取概率的“统计定义”或是概率的“古典定义”，严格地说，这两个“定义”并不能称之为定义，只是一种描述性的说法.概率的“古典定义”是在“等可能性”的基础上给出的.设一个试验有N个等可能的结果，而事件E恰好包含其中的M个结果，则事件E的概率记为P（E），定义为P（E）=M/N[9].比如掷骰子，在骰子质地绝对均匀的情况下，我们知道每一点出现的概率是1/6，把掷一次骰子出现偶数记为事件E，那么事件E出现的概率P（E）=3/6.endprint

所谓概率的“统计定义”是一种通过试验去估计随机事件概率的方法.也就是说，一个随机事件出现的可能性的大小，应该由多次重复试验中其出现的频繁程度去刻画[9].这里应注意的是，频率只是概率的估计而非概率本身，这也是教师在教学中应该强调的.

考察两种教材，发现它们在概率定义上的处理方式有所不同.

大陆教材首先给出了概率的“统计定义”.在给出了频率的定义后，然后利用计算机模拟掷硬币的试验，并结合历史上掷硬币的试验结果来说明：对任意给定的随机事件，随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn（A）稳定于概率P（A），因此我们可以用频率来估计概率[4].接着举了6个例子，在加深学生对概率理解的同时，介绍了概率的应用，没有在概率的定义上做过多的纠缠.紧接着又用一节内容介绍了古典概型.

台湾教材的引入方法和大陆教材不同.台湾教材首先用了一节内容来介绍样本空间与事件，给出了样本空间、事件、互斥事件和对立事件的定义.然后在引入“机会均等”的基础上给出了概率的“古典定义”，但没有介绍概率的“统计定义”.

2.3.2随机变量

随机变量是概率论的基础概念，两种教材的引入方式相似但处理方法有所不同.

两种教材都是通过实例引入随机变量的概念.台湾教材对随机变量的描述是：将一试验的每种结果分别对应一个“数值”，此种对应的函数关系称为随机变量.台湾教材在给出随机变量的概念后，紧接着又介绍了离散型随机变量和连续型随机变量，然后用大量的例题重点讨论了随机变量分布列的计算，并在例题中介绍了随机变量的和与积.

人教A版在介绍随机变量的定义后，又介绍了离散型随机变量，但没有涉及连续型随机变量.而后在讨论离散型随机变量的分布列時，介绍了两点分布和超几何分布.

2.3.3随机抽样

在“随机抽样”这一内容的处理上，两种教材存在着较大的差异.

首先，从“随机抽样”这一内容所处位置来说，人教A版教材中，随机抽样的内容是放在必修部分的，而在中国台湾教材这一部分内容是放在选修教材中的.

其次，从两种教材介绍的内容看，大陆教材介绍了三种随机抽样方法：简单随机抽样、系统随机抽样、分层随机抽样.台湾教材在介绍总体和样本后，介绍了非概率抽样法、简单随机抽样和分层随机抽样.

最后，从两种教材的处理方式来看，大陆教材对随机抽样这一内容是非常重视的，大陆教材专门用了一节内容来详细讨论了三种随机抽样方法.对于每一种抽样方法都给出了比较严格的定义，并给出实例.相比而言，大陆教材更追求概念的严格性.

2.3.4数据分析

统计学主要包括两部分，收集数据和分析数据.

首先，从两种教材涉及的内容看，台湾教材的内容多于大陆教材，主要有：算术平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差、数据的标准化；散点图、相关系数、最小二乘法、回归直线.大陆教材主要有：直方图、平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差；散点图、线性相关、最小二乘法、回归直线.就这一部分而言，台湾教材和大陆教材是比较接近的，只是内容深度上比大陆教材难一些.

其次，从两种教材对内容的处理方式看，大陆教材用了2节分别来介绍这两部分内容.首先介绍了利用样本的频率分布估计总体分布和用样本的数字特征（平均数、众数、方差等）估计总体的数字特征，并未引入极限定理、置信区间等内容来说明怎样对“样本估计总体”的可接受性做出判断.教材仅从感性经验说，“可以用样本平均数和标准差去估计总体的平均数和标准差，只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的.”[4]但这个“好”的标准是什么，怎样去刻画？教材没有提及.接着另用一节内容讨论了“两个变量的线性相关”.

台湾教材专门用了一章来讨论，在介绍了单变量数据分析的描述性统计量后，讨论了双变量数据分析，利用最小二乘法计算回归直线，最后介绍了利用Excel软件计算一些描述性统计量.

3结论

通过对中国大陆人教A版高中数学教材和中国台湾南一版高中数学教材中“统计与概率”的比较研究，得到以下结论：

（1）在知识点数量上，中国台湾高中数学教材多于大陆教材；从教材选择的内容看，台湾教材涉及的统计概率知识也多于大陆教材.

（2） 大陆教材概率内容多于统计内容，台湾教材统计概率的知识点数量相等.人教A版较原大纲版高中数学教材而言，统计和概率的知识点数量都有所增加，但统计知识点数量增加的幅度比概率部分小.

（3） 从两种教材对知识点的具体处理来看，大陆教材对有些知识点仅列出名称简单的介绍，对知识点的处理上，中国教材更追求定义的严格性.虽然两种教材都注意统计概率知识与学生实际生活的联系，但总体而言做得还不够.数学来源于现实，存在于现实，并应用于现实.“统计与概率”作为数学中应用性较强的内容，更应该联系实际生活来促进学生的学习.

参考文献

[1]IEA.TIMSS & PIRLS.TIMSS 2015 Mathematics framework[EB/OL].https：//timssandpirls.bc.edu/timss2015/frameworks.html，2017-4-20.

[2]OECD.PISA 2015 draft mathematics framework[EB/OL].http：//www.oecd.org/pisa/pisaproducts/pisa2015 draftframeworks.htm，2017-4-20.

[3]陈昂，任子朝.课改后统计与概率内容考查研究[J].数学通报，2013，52（2）：13-16，24.

[4]人民教育出版社 课程教材研究所，中学数学课程教材研发中心.普通高中课程标准实验教科书A版数学（必修3）[M].北京：人民教育出版社，2009， 53-146.

[5]人民教育出版社 课程教材研究所，中学数学课程教材研发中心.普通高中课程标准实验教科书A版数学（选修23）[M].北京：人民教育出版社，2009，43-102.

[6] 林福来主编.普通高级中学数学（第二册）[M].台南：南一书局，2013，114-210.

[7]林福来主编.普通高级中学选修数学甲版（上册）[M].台南：南一书局，2013，1-83.

[8]曹一鸣，王万松.高中概率统计内容设置的国际比较——基于15个国家数学课程标准的研究[J].数学教育学报，2016，25（1）：1-4.

[9]陈希孺.概率论与数理统计[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2009，5-9.endprint