从数学史中寻找教学智慧

吴洁莹+刘逸晴+徐章韬

【摘要】将重构法运用于“求曲边梯形的面积”这一节的教学，通过重构法重现数学知识的发生发展过程，设计教学活动，使学生获得数学活动经验.该课例表明，通过对数学教学问题产生原因的分析，能从数学史的角度提出解决这些问题的方法.

【关键词】教学设计；数学史；重构法

1引言

目前数学教学中最主要的问题就是教师缺少好方法，教学方式缺乏新观念，以致学生没兴趣.产生这些问题的原因主要有两个方面：教师因素和学情因素.应试教育在我国数学教育中根深蒂固，虽然新课改以来，教师的观念有所改变，但是多数的教学还是采取题海战术；其次，教师对于学生的学习能力和学习心理掌握的不够好，即没有进行学情分析，这就导致在教学中难以实现教学目标.另外，虽然教材凝固了教材编写者的心血，数学知识的精华，思想方法的精粹，但是从学生的角度来看数学教材，教材上的知识过于精简；其次，学生觉得数学是枯燥无味的，数学知识的学习是充满困难和挫折的，数学只是用来解题的，在生活中用处不大.下面，将从数学史的角度探索如何解决这些问题.

2方法

杜威说“教育就是经验的改组或者改造”，学生数学学习的过程就是建立在已有经验基础之上的一个自我再创造的过程.从数学史中寻找智慧，即是从数学史寻找学生需要的数学活动经验，以此帮助学生掌握数学知识.数学史揭示了数学概念、数学思想、数学术语的起源与发展历史，数学公式、定理的发现过程，数学史还告诉我们数学是一种文化，数学与人类的其他领域有着密切的关系[1]，因此将数学史融入数学教学对于提高学生的学习兴趣、指导教师设计好的教学过程，补充精简的数学教材，改进当前的数学教学发展现状有着一定的作用.将数学史中的智慧具体为学生需要的数学活动经验的处理方法有以下三种：借鉴法、拓展法和重构法.

2.1借鉴法

借鉴不仅仅是指套用他人的成果，更多的是指借鉴他人的研究思路，实验方法.运用借鉴法并不需要多大的创新，只需要参考历史上数学家们的研究思路去教学.有研究表明数学家们的研究思路是符合学生的数学学习心理的，因此借鉴前人的研究思路和实验方法，更容易发现在数学学习中学生所存在的一些知识上的问题.

2.2拓展法

拓展法是指从数学发生发展过程中产生的数学思想方法、概念、定理、公式中提炼出能够丰富学生的精神境界，提高学生数学素养的各种养份，如个人吃苦耐劳、刻苦钻研的精神，爱国主义精神，辩证唯物主义世界观等等，并适时地渗透在课堂之中.在数学教学中，要让学生明白数学是人类的一种文化活动，是人创造了数学，因此在数学学习碰到挫折困难是正常的，不必灰心丧气，勇敢地面对困难才是正解.

2.3重构法

重构式是数学史融入数学教学的一种常用方法.重构源于计算机中程序代码优化的需要，将重构式运用于数学史与数学教育的融合中，就是重现一个知识点在数学史上发生、发展过程，以此获得数学活动经验，并运用发生教学法进行教学[1].教师不是将现成的知识教给学生，而是借助于历史发展进行教学活动设计，实现知识的再创造，引导学生经历数学史中数学概念、思想、方法发生发展的路径，让学生在过程中获得数学活动经验.重构式利用数学史能够让学生在知其然的基础上知其所以然，以此了解知識的发生发展历程，加深学生对知识概念的理解.重构式是指借鉴或重构知识发生、发展历史，采用发生教学法进行教学.

3应用

在“曲边梯形的面积”中，课本上是直接给出曲边梯形的概念，然后给出思考题让学生思考：如何将曲边图形转化为直边图形？这一过程有些直接且容易使学生一头雾水，但若重构割圆术的历史，将其运用在求曲边梯形的面积上，在教学中将能取得比书本上更好的结果.下文将以“曲边梯形的面积”这一节为例，详述如何重构割圆术知识，设计数学活动，从数学史中获得数学活动经验.

3.1知识特点类比

曲边梯形面积是普通高中课程标准实验教材教学（人教A版）《选修22》第一章“导数及其应用”中的第五节“定积分的概念”的第一课时，在学习曲边梯形的面积之前，学生在必修3已经简单学习过割圆术，“曲边梯形的面积”这节课是学习定积分的导入课，教学的重点就是怎样求曲边梯形的面积.在刘徽用割圆术求圆的面积这种方法出现之前，人们只知道如何求直边图形的面积，如矩形、三角形的面积公式，而对怎样求曲边图形的面积一无所知.把割圆术的方法运用到求曲边梯形的面积上，就要考虑圆和曲边梯形的相似点，经比较可得两者具有的相似点有四个：一，都是几何图形；二，都是曲边图形；三，都可以进行分割；四，都没有固定的、已知的求面积公式.

因此，刘徽能够用割圆术的方法求出圆的面积，我们也可以重构割圆术知识求出曲边梯形的面积.从割圆术中获得分割、替代，求和，取极限的方法就是课程标准中要求学生掌握的数学活动经验，重构割圆术知识就是提供求曲边梯形的面积需要的数学活动经验.

3.2思想方法类比

割圆术中采用的方法是用圆内切正多边形的面积，无限逼近圆的面积.与圆周合体的这个正多边形，就是不可再割的这个正多边形，将其进行无穷小分割，再分割成无穷多个以圆心为顶点，以多边形每边为底的无穷多个小等腰三角形，这个底乘半径为小三角形面积的两倍，把所有这些底乘半径加起来之和就是圆面积的两倍，这其中就蕴含了以直代曲，无限逼近的思想.通常的“曲边梯形的面积”这一节课的教学设计是这样的：创设情境-提出概念-引导探究-应用新知-归纳总结-布置作业.在以教师为教学主导的情况下，考虑到教学时间等因素，运用这种教学模式，教师往往会提醒学生用矩形分割曲边梯形，分割时要等距的分割，分割后要先求和再取极限.但是为什么用矩形进行分割？为什么等距分割？为什么可以取极限等缘由并没有给学生讲清楚，学生会的也仅仅是运用四大步骤求曲边梯形的面积，数学思想方法并不能渗透给学生.若能够在“曲边梯形的面积”这一节的教学时，从重构割圆术知识的角度进行教学设计将能取得更好的结果.endprint

以求一块曲边形的面积为例引出曲边梯形的概念，回顾思考曲边梯形与曾学过的哪些图形相类似，引导学生回忆起圆也是曲边图形，再引出求圆面积的方法——割圆术，利用几何画板将割圆术的四大步骤（分割，近似替代，求和，取极限）逐步呈现，每呈现一个步骤就类比地让学生思考如何去求曲边梯形的面积，以此激发学生主动探究求曲边梯形的面积的兴趣，最后归纳出求曲边梯形的面积的步骤，布置作业.这样的教学模式有利于学生掌握分割替代的方法，求和取极限的思想.

3.3活动经验类比

利用重构法从割圆术中获取智慧，获得数学活动经验，其关键在于能够从割圆术中获得分割曲边梯形的工具与方法.割圆术中分割圆的工具是三角形，所以重构割圆术历史时会发现分割曲边梯形的工具也可以用直边图形，具体的直边图形是什么？可以是矩形，是梯形，最后用矩形进行分割，是为了计算时更简单方便；割圆术分割圆的具体方法是用圆的内切正多边形面积无限逼近圆的面积，用若干个全等三角形分割内切正多边形，取极限就是为了使内切正多边形的面积等于圆的面积，所以重构割圆术历史时会发现分割曲边梯形的方法也应该是用多边形面积无限逼近曲边梯形的面积，割圆术是用若干个全等的三角形去分割圆，但对于曲边梯形来说不可能用若干个全等的直边图形分割，故只能对曲边梯形的底进行等距分割，分割后得到各小矩形的面积，小矩形的面积之和就无限逼近曲边梯形的面积.

总之，教师在教学中要适时地贯彻“曲邊梯形的面积中”的几大思想与几对矛盾：以直代曲，无限逼近的数学思想，有限与无限，近似与精确，直与曲的矛盾关系，帮助学生辩证地思考数学知识概念.

4升华

数学活动经验的获得已经成为数学课堂教学关注的主要目标之一，运用数学史的教育价值，以数学史为知识经验的生长点，再根据历史相似性原理设计教学活动，将能够较好地培养学生对数学的基本认知以及个人终身发展和社会发展需要的思维品质和关键能力.其理据很简单：数学史可以帮助教师理解数学，提升个人对数学的洞察力和思考能力；教师将能够自觉地从数学史中寻找教学智慧，更新教学方式、教学观念，更好地教学；数学史还可以帮助教师理解学生，通过对数学史的学习，教师将能够预测学生的数学学习中可能出现的问题，诊断学生认知错误的根源，并把其化为教学智慧，从而设计出能够培养学生数学素养和数学活动经验的教学活动[2].

参考文献

[1]汪晓勤.数学史与数学教育[J].教育研究与评论·中学教育数学，2014（1）：8-14.

[2]徐章韬，汪晓勤.HPM教育价值剖析及应用取向的深度挖掘[J].数学教育学报，2016（6）：10-14.endprint