解方程

吴春雨

摘要：解一元二次方程在初中教材中是个重要的内容，方程的顺利求解以及解法的选择直接影响到后面二次函数内容的理解和运用，也关乎学生今后在高中学习时如何合理的去求解一元二次不等式。面对一个具体的一元二次方程，在解题时，学生能做出合理的选择，才是我们教学的终极目标。

关键词：方程；求根；一题多解

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2017）09-0174-01

解一元二次方程在初中教材中是个重要的内容，方程的顺利求解以及解法的选择直接影响到后面二次函数内容的理解和运用，也关乎学生今后在高中如何合理的去求解一元二次不等式等问题。在教学中，我们感觉到学生在解方程中，存在着很多问题。较低水平的学生是找不到求解的方法，胡编乱造，稀里糊涂的将题目做完；中等水平的学生是方法不当，不能合理迅速的求解；较高水平的学生是方程求解完成了，但是为什么要这样做，说不出来合理的理由。这样的求解也不是我们所希望的。

那么到底解一元二次方程中，我们要求学生要达到什么样的效果呢？ 我认为在教学中，不能一味的只是强调学生去多练，通过机械的重复的模仿，然后只要学生能将方程求解出来，就算完成了教学任务。我们应该站在较高的一个高度上，去帮助学生整理求解的思路，对初中生适当的渗透些许数学思想。使得学生不仅会解方程，而且知道为什么要这样解。面对一个具体的一元二次方程，学生能做出合理的适当的选择，这才是我们教学的终极目标。要达到这一目的，我们在教学中，就要强调"化归"和"整体"这两大重要的数学思想。

1."一个中心，两个基本点"的应用

一元二次方程的求解要遵循"一个中心，两个基本点"。所谓一个中心就是：降幂。在降幂之后，二次方程化归为两个一次方程，将陌生的二次方程转化为学生熟悉的一次方程，从而求出二次方程的解。教学中要让学生明白，我们的数学课，就是在研究从未知到已知的转化，所有的未知的数学问题都将转化为我们熟知的数学问题，从而得以解决，这就是"化归"的思想。 "两个基本点"就是：既然要通过降幂来求解方程，那么如何来降幂呢？我们为学生提供了两个基本的途径，或称基本的操作方法：一曰开方；二曰因式分解。

开方法，即：通过开平方，二次式自然降为一次式。这个方法自然、直接，比较容易为学生接受。而在开方的求解方法中，又大致可以分为：直接开方法、配方法和公式法。

例1：解下列方程：

（1）x2-2=0 （2）16x2-25=0

（3）（x+1）2-4=0 （4）12（2-x）2-9=0

（5）x2+2x=5 （6）x2-4x+3=0

【分析】这组方程中，前两个一看就知道是直接开平方，即使是（3）和（4）学生也可通过"整体"的数学思想发现其也可以使用直接开方的方法。可是（5）和（6）怎么办呢？无论我们从哪个方面去探究，都不具备开方的条件啊？我们可以通过配方，在方程的左边"制造"出完全平方式。既然可以通过配方来构造直接开方的条件，那么这个配方的方法就可运用在所有的一元二次方程上。因此产生了公式法。其实质就是在一元二次方程的一般形式下，进行配方，然后将其运用于所有的二次方程。综上，不管是直接开方也好，还是配方，还是公式法，其实都是为了开方，从而达到降幂的效果。

例2：（1）3x2+2x=0（2）x2=3x

【分析】上述方程，是用了因式分解的方法来求解方程。其实质是：通过因式分解，方程左边产生因式积的形式，从而将二次方程转化为两个一次方程来求解。从某种意义上来说，这个方法最简洁。但这里存在的问题就在于学生因式分解的水平如何？教师应该在这个地方适当的介绍"十字相乘法"，该方法在高中阶段运用相对较多。

2.强调一题多解，比较解题过程，作出合理选择

对于同一个一元二次方程来说，通常解法不是唯一的。那么是选用开方还是因式分解呢？我想一是要视具体情况来定，二要根据学生个人技能熟练的程度来自主选择。

例3：4（x-2）2-（3x-1）2=0

【分析】像这样一个二次方程，无论是使用直接开方还是使用平方差公式进行因式分解，我想都可以顺利的求解，关键在于我们的学生对知识掌握的程度，但无论采用那种方法，都要求学生要具有"整体"的数学思想。方法的选择，是可以看出来一个学生的基本数学素养的，在平时教学中，我们要注意培养学生多思考多观察的能力。

3.通过变式训练，强化两大数学思想的运用

例4：（2x-1）2+3（2x-1）+2=0

【分析】遵循"整体"的数学思想，将2x-1看作一个整体，该方程通过换元之后可化为"y2+3y+2=0"的形式，这是一个普通的二次方程，学生均可求解出来。问题在于，我们的学生是否能敏锐的发现该方程的特点，能否熟练的使用"整体"的数学思想进行换元。两大数学思想的交替使用，对学生提出了较高的要求。当然在教学之初，类似的题组训练还有很多，比如在前面已经提到的直接开方法，也需要在变式训练中交替使用两大数学思想：

例：（1）x2-2=0 （2）16x2-25=0

（3）（x+1）2-4=0 （4）12（2-x）2-9=0

4.求解到根，不是最终目的，不解而解才是最高境界

一元二次方程的解求出来，但是问题并没有结束，我们的根本目的不是为了解方程而解方程。开方法让我们最终意识到：所有的一元二次方程都是可以求解的，因为我们可以使用公式来进行规范的、程序化的求解。一旦学生意识到这一点，那么"求解"的压力就降低了，从而让我们有时间去研究，既然方程总是可以解出来的，那么方程解的情况又如何呢？公式法的程序化操作中，让我们发现方程解的情况是由"b2-4ac"来决定的。而这个"b2-4ac"就是后来我们称之为"根的判别式"的东西。方程我们可以不解，但是我们也可以知道方程解的情况，这就是不解而解的境界啊！并且解方程的问题也被我们延伸到了另外一个更具有价值的领域。方程的是否有解和解的情况的讨论，又会影响到下个章节"二次函数"的学习和理解。

因式分解法和公式法的产生，又让我们明白任何一个二次三项式总可以进行因式分解。即：ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2），这个因式的产生，让我们对二次三项式的因式分解有了个比较完美的结果，而且，在下个章节"二次函数"中，我们还会着力去研究这个x1、x2到底是什么？在函数的图象中，我们将给出这两个根的几何意义。从而将方程中抽象的根赋予了其几何形式，达到数形结合的效果。

当一个方程求解结束之后，其实练习并没有结束，我们还有事情要做，当我们研究所求出来的两个根与系数之间的数量关系之后，就会惊奇的发现：根与系数之间存在如此惊人的关系，這就是"韦达定理"。初中生会错误的以为，一个方程只有求出了它的根，才算是完成解方程，那么"韦达定理"和"根的判别式"再一次告戒学生，求根不是解方程的终极目标。endprint