浅谈数据解题中向量法的作用

胡砺邦+张汝波

【摘要】文章针对高中数学向量法在解题中的具体作用，通过不同案例对向量法的应用进行分析，最后通过研究与总结得出几何向量在高中数学的融入，对解决平面、空间几何问题有重要作用。

【关键词】数据解题；向量法；作用

向量是高中数学中的重要概念，在平面几何与空间几何等问题中均有应用。几何向量具有数与形双重特性，可在不建立坐标系的情况下，将“形”的问题转换成“量”的问题进行求解。此外，向量起点能自由移动；在平面中，任何一个几何向量都能在不共线的向量上进行分解，决定了向量知识具备与斜坐标系与直角坐标系相同的作用。凭借这些特征，其在解决几何问题上能够发挥出十分重要的作用。

一、几何向量

在高中数学中，向量是指具有方向与大小的量，用带有箭头的一条线段表示，其中箭头表示向量方向，而线段的长度则表示其大小。高中数学教材中，通过对向量知识的引入，在已有解题方法的前提下产生了全新的概念与解题策略，尤其是为以往很难进行计算和证明的几何问题提供了有效的解决方法。

二、向量法在数据解题中的作用

下面从三个不同案例入手，对向量法在解决几何问题方面所具有的作用及特点进行分析。

（一）案例1

如图1所示，线段AD、BE和CF分别是三条边上的高，求证这三条边相交在一点.

以往在解决此类问题时，往往会遇到没有有效证明方法的障碍，即便能找出证明方法也很难对其进行细致阐述.而在学习向量知识后，仅需要利用其简单的定义，就可以轻松地解决这一类问题.

证明：设H为BF和CF相交的点，，且，则有，，.由于和垂直，和垂直，所以，，可得，即为，二者垂直，AH和AD是重合关系，因此AD、BE和CF相交于一点.

（二）案例2

相比平面几何，立体几何问题更加抽象，而采用向量法解题则可发挥出更突出的作用。

图2为边长、对角线长均为a的空间四边形.求：（1）AB、CD夹角；（2）AB、CD间距.

从图2中可以看出，AB和CD是两条异面直线，本题主要求解二者的夹角与间距.如果解题时采用学到的立体几何知识，会遇到以下两个问题：其一，异面直线夹角不确定；其二，异面直线公垂线不确定.而利用向量法则可轻松解决此类问题.

解：（1）設M为AB中点，由于边长相等均为，则可知CM与AB垂直，DM与AB垂直，可得，，且.

即.

因此AM与CD垂直，AB、CD夹角为90°.

（2）根据以上结果，AB和平面DMC垂直，N为CD中点，MN和AB垂直，CD和MN垂直，所以MN为AB、CD公垂线.

（上述计算过程中，考虑到AB和CD的位置关系为垂直，即二者夹90°角，则BC与CN以及BC与MB所成角均为120°，并非60°）.

则AB、CD间距为.

（三）案例3

图3中，是一个三棱锥，已知SA和平面ABC垂直，AB和BC垂直，DE是SC的垂直平分线，并且与AC、SC的交点分别为D与E，又有AB和SA相等，BC和SB相等，求：二面角大小.

此题为高考试题，解题方法多样，既可以用到立体几何包含的“线与线垂直”知识，也可用到“线与平面”知识，但这两种方法都有计算量较大的特点，不仅容易出错，而且需耗费很长时间。而采用向量法可在保证正确率的基础上，减少时间，避免出错.

解：以A为原点作空间直角坐标系，点S、C分别与Z轴、Y轴相交.

根据题目已知条件，即，BC与SB相等，可得SC和BE垂直，SC和DE垂直.

由于BE和DE相交于点E，所以SC和平面BDE垂直，SA和平面ABC垂直.

因此可将SA视作平面ABC法向量，SC视作平面BDE法向量.

设SA的长度为1，则AC为，可得，， ，则，.

设二面角B-ACDE为，则有，故为，可得二面角为.

由此可见，采用向量法求解以上问题直观简单，其最大的特点就在于可绕避抽象的找角与复杂繁琐的计算。

三、总结

由案例1可知，几何向量能在证明平面中直线位置关系中应用，具有判断直线垂直与相交的作用。

由案例2可知，几何向量能在证明空间中两异面直线位置关系及求解距离中应用，解决了采用以往方法无法确定异面直线夹角与距离的难题。

由案例3可知，几何向量能在空间几何最复杂的求解二面角中应用，相比传统解题方法，采用向量法不仅能省去抽象的空间推理和繁琐的数学计算，还能更直观、简便地得出结果，同时保证解题的正确率。

几何向量在高中数学的融入，为解决平面、空间几何问题提供了有效、快捷、简便的工具。

【参考文献】

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