求任意角三角函数值的一种简单方法

李中烘

笔者在多年的高中数学教学过程中，发现学生按照人教版数学必修四中介绍的利用三角函数诱导公式求三角函数值时，容易混淆诱导公式，从而导致求值出错。本文尝试结合三角函数的定义，给出一个求三角函数值的简单方法。

我们先回顾人教版数学必修四给出的任意角的三角函数的定义。

任意角三角函数的定义：如图1，设？琢是一个任意角，它的终边与单位圆交于点？妆（x，y），那么：

（1）y叫做？琢的正弦（sine），记做sin？琢，即sin？琢=y；

（2）x叫做？琢的余弦（cosine），记做cos？琢，即cos？琢=x；

（3）■叫做？琢的正切（tangent），记做tan？琢，即tan？琢=■（x≠0）。

下面给出本文用到的命题并给以证明。

命题：设？茁是任意角，且？茁与x轴的夹角为？琢（0≤？琢≤■），则有：

①sin？茁=±sin？琢；②cos？茁=±cos？琢；③tan？茁=±tan？琢；（此时？茁≠■+k？仔，k∈Z）。

其中，“±”取决于？茁终边所在象限角（坐标轴）所对应原函数值的符号。

证明：下面只证明公式①（即正弦的情况），公式②、公式③可类似的证明。

设任意角？茁的终边与单位圆的交点为P1（x，y），？茁与x轴的夹角？琢的终边与单位圆的交点为P2（x′，y′），根据三角函数单位圆的定义，则有：

sin？茁=y；cos？茁=x；tan？茁=■（x≠0）

sin？琢=y′；cos？琢=x′；tan？琢=■（x′≠0）

①若？茁终边落在x轴上，则？茁与x轴的夹角？琢=0，此时y=y′=0，则有：sin？茁=sin？琢；

②若？茁终边落在y轴上：

若？茁终边落在y轴正半轴上，此时？茁与x轴的夹角？琢=■，？茁终边与？琢终边重合，P1（x，y）与P2（x′，y′）重合，故有y=-y′，即sin？茁=sin？琢；

若？茁终边落在y轴负半轴上，此时？茁与x轴的夹角？琢=■，？茁终边与？琢终边关于原点对称，P1（x，y）与P2（x′，y′）关于原点对称，故有y=-y′，即sin？茁=-sin？琢；

③若？茁终边落在第一象限上，此时？茁终边与？琢终边重合，P1（x，y）与P2（x′，y′）重合，故有y=y′，即sin？茁=-sin？琢；

④若？茁终边落在第二象限上，此时？茁终边与？琢终边关于y轴对称，P1（x，y）与P2（x′，y′）关于y轴对称，故有y=y′，即sin？茁=sin？琢；

⑤若？茁终边落在第三象限上，此时？茁终边与？琢终边关于原点对称，P1（x，y）与P2（x′，y′）关于原点对称，故有y=-y′，即sin？茁=-sin？琢；

⑥若？茁终边落在第四象限上，此时？茁终边与？琢终边关于x轴对称，P1（x，y）与P2（x′，y′）关于x轴对称，故有y=-y′，即sin？茁=-sin？琢；

综上所述，若？茁是任意角，且？茁与x轴的夹角为？琢，则有sin？茁=±sin？琢，其中，“±”取决于？茁终边所在象限角（坐标轴）所对应原函数值的符号。证毕。

接下来用本命题来巧求任意角的三角函数值：

例1.判断下列角终边落在第几象限，并求出该角终边与x轴的夹角。

（1）■ （2）-■

解：（1）由■=5？仔+■？仔，如图2所示，要得到■终边的位置，可以先找到5？仔的终边所在的位置，然后将5？仔的终边按照逆时针的方向旋转■？仔就得到■终边的位置，所以，■终边落在第三象限，且■与x轴的夹角为■？仔；

（2）由-■=-8？仔-■？仔，如图3所示，要得到-■终边的位置，可以先找到-8？仔的终边所在的位置，然后将-8？仔的终边按照顺时针的方向旋转■？仔，就得到-■终边的位置，所以，-■终边落在第四象限，且-■与x轴的夹角为■？仔；

总结：求任意角？茁终边落在第几象限及其终边与x轴的夹角可用如下方法：对于任意角？茁，总存在？琢∈[0，■]，k0∈Z，使得？茁=k0？仔±？琢。因此，要得到？茁终边位置，可以先找到k0？仔的终边位置，然后将k0？仔的终边按照顺（或者逆）时针旋转？琢角度就得到？茁终边位置，且？琢恰为？茁终边与x轴的夹角。

例2.求下列三角函数值：

（1）sin■ （2）cos（-■）

解：（1）方法一：（用诱导公式）

sin■=sin（2×2？仔+■）=sin■=sin（？仔+■）=-sin■=-■

方法二：（用本文命题）

由■=5？仔+■，如图4可知，■终边落在第三象限，且与x轴的夹角为■。

故有：sin■=-sin■=-■。

（2）方法一：（用诱导公式）

cos（-■）=cos■=cos（7×2？仔+■）=cos■=cos（？仔-■）=-cos■=-■

方法二：（用本文命题）

由-■=-15？仔+■，如图5可知，-■终边落在第三象限，且与x轴的夹角为■，

故有：cos（-■）=-cos■=-■

總结：运用本文命题求任意角？茁的三角函数值的方法如下：

（1）找出任意角？茁的终边位置；

（2）找出任意角？茁与x轴的夹角？琢；

（3）运用公式：sin？茁=±sin？琢；cos？茁=±cos？琢；tan？茁=±tan？琢；

（4）判断“±”。

用本文方法求任意角的三角函数值，与应用诱导公式求任意角的三角函数值相比，本文方法简洁易懂，省去了多次应用诱导公式的繁琐问题，对于学生而言也较容易掌握，值得推广。

编辑 李静玲