例谈数学思想方法在初中数学教学中的渗透

鄢坚

摘要：数学思想方法是数学知识的灵魂，又是知识转化为能力的桥梁，数学思想方法在初中数学教学中的渗透是数学教学最重要的一环。如何使数学思想方法的教学做到有效、实效甚至高效，值得每个数学老师进行深入细致的调查和研究。本文结合教学过程中的些许例子谈谈笔者如何在教学中渗透初中数学思想方法。

关键词：数学思想方法；初中数学教学；渗透

【中图分类号】G633.6

现象1：每年的教师节是笔者所在的中学毕业生回校的传统日子，师生重逢话题不断，聊起初中数学，许多学生都不约而同的说：“老师，初中数学知识我们都忘差不多了。但是数学思想方法我们没忘，您说过数学思想方法是数学知识的灵魂，又是知识转化为能力的桥梁。我们现在还经常用呢，如化繁为简、化难为易、化未知为已知等，都是我们解决生活和工作中问题的武器……”

现象2：义务教育《数学课程标准》（2011版）实施有一些年头，但是在中考的指挥棒下，初中数学教学的现状还存在注重知识的传授，忽视数学思想与方法的渗透；热衷于一招一式的小技巧的钻营，淡化对数学思想与方法的提炼；实施题海战术，学生成了解题的工具，教师成了制造统一型号机器的熟练工，置数学感悟和数学文化对学生的熏陶于不顾，部分年轻教师甚至连对初中数学思想方法都不甚了解。

义务教育《数学课程标准》（2011版）课程基本理念中指出：课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。在课程目标的总目标中的数学思考中明确提出：学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。可见“数学思想方法”在数学教学中的重要地位。数学知识是数学思想方法的载体，而后者是前者的灵魂。脱离数学知识的数学思想方法是空中楼阁，而不包含数学思想方法的知识是残缺和不完整的。因此，数学课堂始终且必需延续明暗两条线索——数学知识和数学思想方法。而数学思想方法的教学如何做到有效、实效甚至高效，值得每个数学老师进行深入细致的调查和研究。

我们知道，作为课堂教学的暗线---数学思想方法，学生掌握它比掌握数学知识困难多了，他们大体需要经历三个阶段：潜意识阶段、明朗化阶段、深刻化阶段。而作为以学生为授课对象的老师而言，数学思想方法的教学过程应包括“挖掘教材找契机”、“善于提炼成意识”、“潜移默化变能力”。因此教师只有把握数学思想方法教学的基本途径，遵循数学思想方法教学的基本原则：渗透性、反复性、系统性、明确性，同时结合情感意志、性格态度、价值观等非智力因素才能实现上述思想方法的教学有效性、实效性和高效性。本文结合教学过程中的些许例子谈谈笔者在教学中如何渗透初中数学思想方法。

1.挖掘教材找契机

数学思想方法的渗透教学要求教师把数学思想方法有意识、有计划的渗透在数学知识的发生过程中。事实上各个版本的教材都为学习各种数学思想方法提供了极好的素材，教师在教学中应重视使用，深挖教材，教材中的许多公式、概念、定理等本身就隐含着丰富的数学思想方法，这里面就有渗透的契机。若教师重视学生在建构新知的过程中对数学思想方法的体验和感悟，既重点讲解，化隐为显，又逐步渗透。在这过程中数学思想方法作为暗线才能充分展现它们的活力。取消或压缩教学的思维过程，把数学教学看为知识结论的教学，就失去了渗透数学思想方法的契机，使数学思想方法无有用武之地。

案例1 在人教版数学八年级（上）第11章第2节《与三角形有关的角》第一课时三角形内角和定理的推导中，教材从实验入手，让学生通过实验、观察、猜想出三角形内角和180°。有了前面实验的直观感受，教师启发学生在拼接过程中蕴涵了添辅助线的方法。从而得出证明这个结论的正确方法：把三角形的两个内角移到第三个内角的同侧或异侧，三个角合成一个平角。

已知△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°

证法1：如图1，过A作EF∥BC

∴∠B=∠BAE （两直线平行，内错角相等）

∠C=∠CAF （两直线平行，内错角相等）

又∵∠BAE+∠BAC+∠CAF=180°（平角的定义）

∴∠B+∠C+∠BAC=180°

证法2：如图2，延长B C至D ，过C作C E∥BA

则∠A=∠ACE ﹙两直线平行，内错角相等﹚

∠B=∠ECD﹙两直线平行，同位角相等﹚

∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°﹙平角定义﹚

∴∠BCA+∠A+∠B=180°﹙ 等量代换﹚

这道例题的授课过程实际上就是渗透化归思想是的绝佳时机，化归思想就是把数学问题进行变换、转化直至化为以往已解决或容易解决的问题的思想方法。是解决问题的一种最基本的思想，贯穿于整个中学阶段，最重要也最常用。在这个过程中，教师将实验几何与论证几何相结合，将未知的三角形内角和转化为已知的180°平角。这样做使学生易于接受新知识，也利于知识的迁移，更重要的是可以让学生体会和感知化归思想，培养学生的创新精神。

案例2

这两张图片便是学生在人教版八年级上第15章《分式》学习中常见错误。第一位同学看题不细心，把减号看成等号，且忘记分式方程的检验，对解分式方程与分式计算存在解题策略的混淆。第二位同学混淆了分式的化简与解分式方程，对增根、验根、分式有意义的条件存在概念、意识和题型特征的混淆。这些错误的主要责任在于教师：教材处理和挖掘上做得不够到位。事实上这里就是教师在授课过程中渗透类比这个数学思想方法的好契机。課堂上教师若增强分式运算与解分式方程的对比练习，澄清有关的概念，学生便可把握题目特征，增强解题能力，便能避免上述图片中的错误。所以说贯穿初中数学知识始终的类比这个数学思想方法对学生当前的数学学习，乃至未来的分析、探索问题，合情猜测和推理以及它在学生能力的培养上发挥着很大的作用。endprint

总之，在“挖掘教材找契机”环节中要求教师要采用渗透方式不失时机的抓住机会，密切结合教材，不断致力于教材与学生的研究，努力挖掘教材中隐性的数学思想方法，通过创设适当的问题情景，师生共同参与，多做横向联系，让学生在知识的发生、发展中认真体验、反复揣摩，逐步感悟。如此反复，小步渐进。才能真正让学生在学习的过程中提高能力，发展思维。

2.善于提炼成意识

在课堂教学中教师若抓住处理“重点的把握、难点的突破”的灵魂——数学思想方法，授课时善于從思想方法的视角帮助学生认识数学知识发生、发展的过程，并引导学生用数学思想方法把知识点串联起来，帮助学生形成自己系统的知识与思想方法网络。数学思想方法只有在这样反复运用中，得到巩固与深化并形成应用意识。

案例3在人教版数学八年级（上）第11章第3节《多边形及其内角和》的第二课时的多边形内角和的推导中，当老师让学生从特殊四边形内角和联想到一般四边形内角和，并在类比、化归等思想方法上进行引导，提醒学生将新问题转化为已学过的三角形的问题时，通过小组探究、合作交流，加上老师在此过程中的肯定评价等非智力因素的介入。学生能自行归纳、总结出以下探索多边形内角和公式的方法（如下图）：

老师此时概括、提炼：上述几种分割方法“形散神不散”，都存在一个共同点，即利用的都是转化思想，把求多边形内角和这一新问题转化为我们熟知的三角形内角和问题。这种化归思想对于学好数学是极为重要的，它对解题有着很好的指导作用。此时学生已经意识到数学的化归思想将给他们数学学习带来什么作用，并开始强烈的想用化归思想解决问题，即学生正在形成应用数学思想方法的意识。

总之，在“善于提炼成意识”环节中要求教师把数学思想方法明确“引进”数学知识中，在学生的思维活动中揭示数学思想方法，在知识的总结归纳中概括、提炼数学思想方法，并通过归纳和强化，形成意识。

3.潜移默化变能力

数学思想方法的形成同样要循序渐进，根据初中三年学生不同的年龄特征、知识掌握的程度、认知能力、理解能力和可接受性能力由浅入深，由易到难分层次、潜移默化地渗透。只有经过反复训练才能使学生真正领会，真正达到让学生在学习数学知识的过程中提高能力，发展思维。事实上真正要达到“潜移默化变能力”就需要对数学思想方法的渗透有进一步的要求：深入理解与灵活应用，要求学生能根据数学问题选用适当的数学思想方法加以解决。此时教师需精心设计课堂例题与习题特别是阶段小结、单元复习、中考总复习等这些课型的例题与习题——结合富含数学思想的综合题，进行探究和反思，引导学生在学习中学会总结解题的基本思路，善于挖掘题目中隐含的各种数学思想方法，有意识地进行数学思想方法的归纳和解题过程的反思，那么长此以往，一定能提高学生的数学能力和素养。

案例4.若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形.如菱形就是和谐四边形.

（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC.求证：BD是梯形ABCD的和谐线；

（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A.B.C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找 一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；

（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数.

本题是一道中考关于四边形的综合试题，也是这几年中考的流行考题——阅读题。考查了和谐四边形的性质、和谐四边形的判定、等边三角形的性质、正方形的性质、30°的直角三角形的性质等数学知识的运用。解题中合理运用分类讨论这个数学思想方法是关键。此题富含化归、演绎、数形结合、分类讨论数学思想方法，思维量大，解法灵活，让一些学生“望题兴叹”。如果老师把它作为中考复习阶段的课堂例题或习题，引导学生学会总结数学阅读题这类题型的解题思路和技巧：利用化归思想把所谓新知识“和谐四边形”转化为以往解决和容易解决的旧知识“等腰三角形”和“平行四边形”，结合分类讨论等思想方法来实现解题。如此日积月累，便能使学生“望题兴奋”。实现数学能力上的提高。

苏霍姆林斯基说过：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希自己是个发现者、研究者、探索者。”建构主义的学习理论认为：学习不应该被看成是对教师所授于知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构过程。而数学思想方法的掌握与应用有助于发展数学思维，培养创新能力，提高数学素养，从而让学生真正变“学会”为“会学”。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制订.义务教育数学课程标准（2011版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]史宁中.数学的基本思想[J].数学通报，2011.

[3]王菊明.初中数学思想方法在课堂教学中的实践研究[J].数学学习与研究，2013（8）.endprint