初中数学归纳教学中应用刍谈

刘晓林

摘 要：一个人的归纳能力，不是生而就强的，而是要通过后天的学习锻炼而提升的。数学知识本就由生活经验知识归纳而成，因此数学学习过程其实也是一个归纳学习过程，可以有效训练学生的归纳思维能力。初中数学中归纳教学的应用有重要的教育意义，不过在应用时要应用过程中要注意引入逻辑的支持，确保科学地归纳。

关键词：归纳教学；初中数学；应用

【分类号】G633.6

归纳是通过大量的个别事实提取共性特点的思维过程，是日常生活中人们经常会应用的思维。一个善于归纳的人，也是一个善于发现问题分析问题和解决问题的人。一个人的归纳能力，不是生而就强的，而是要通过后天的学习锻炼而提升的。数学知识本就由生活经验知识归纳而成，因此数学学习过程其实也是一个归纳学习过程。当然，数学推理等需要演绎，而演绎却是以归纳为基础的。初中数学教师在执教过程中，应有意识地引导学生进行归纳训练，培养锻炼学生的归纳思维能力。本文拟就初中数学中归纳应用谈一些看法。

一、初中数学归纳教学应用意义

在初中数学教学中，引导学生对生活实际或动手操作进行有意义有目的的分析、探索，进而提炼数学中的一般性规律，即用经验归纳的方法寻求数学的事实性结论。主要有下述教育意义：

1、学生体验了经验世界中数学知识的形成过程，根据建构主义的认知观点，是学生对知识进行意义建构的有效途径。不过这样建构的知识，仅具实证性，还不深刻，是浅层次的。

2、使学生得到归纳方法的学习。归纳方法被誉为发现的“逻辑”，广泛地应用于自然科学研究，科学史上许多重大的发现和发明主要依赖于归纳方法。例如，开普勒在研究太阳系行星运动时，对十年观察和计算的数据进行归纳，得到天体运动第三定律。孟德尔归纳八年的实验数据，完成了《植物杂交试验》的伟大论著，为遗传学作了科学奠基。在数学研究中，也常借助归纳作出猜想和判断，著名的哥德巴赫猜想就是通过归纳得到的，又如对数由类比归纳得到。学习归纳方法也就是学习了科学研究的基本方法，对提高学生发现和创造能力具有十分积极的意义。

3、通过对数学知识形成的“情境”性体验，使得对抽象的数学概念有朴素的理解，为进一步进行数学抽象思维提供依托和支持。在数学学习的问题解决中，经常对某问题的具体个别情形进行考察、归纳，寻求解决问题的策略和一般方法。

4、增强数学知识与现实生活的联系，由此增进数学价值的认识，增进数学应用的意识和能力，提高用数学的眼光观察世界的能力。

5、经验归纳将数学与生活融洽，有利于增进学生学习数学的兴趣。兴趣是促进自觉能动的动力，特别是通过归纳得到发现和创造时，使人的心灵深处倍感快慰，将产生浓厚的兴趣，有可能达到虽为其“劳苦”而感到乐的境界——乐此不疲。

正基于上述理由，当前初中数学教学中凸显经验归纳教学，其意义是不言而喻的。但是，也应该清楚地认识到归纳有很大的局限性，不仅数学知识不可能全由归纳得到，而且就其本身而言，缺乏深刻，以及得到的结论不一定正确。

二、归纳教学应用中要注意引入逻辑的支持

在数学王国里，虽然数学的某些结论可由直觉和归纳得到，但要确定结论的正确与否，归纳几乎无用武之地。归纳证明有效的命题极其少量，并且还需要逻辑支持。（可用归纳方法证明的主要是代数恒等式，但借助了代数基本定理的逻辑支持。至于用机器证明几何命题，那是对证代数恒等式的一种应用）。通常把直觉和归纳得到的命题不视为真，原因是直觉和归纳往往会出错。例如：

1、判断全体正自然数的个数多呢还是全体正偶数的个数多？从直观意义上考虑，把全体正自然数从小到大依次排列，任意取出相邻的两个，自然数有2个，偶数只有1个，于是得到正自然数的个数是正偶数个数的2倍；从归纳的意义上看，在100以内进行考察，自然数99个，正偶数49个，个数的比值：99/49≈2。在1000以内考察，两者个数的比值：999/499≈2。在10000以内，在100000以内考察……，可得两者个数比值的极限是2，与直观同样的结论。凡涉足过超穷数理论的人都知道上述结论是错误的。事实上，只要构造函数M=2n，显然值域与定义域有一一对应的关系，便知归纳所得結论错误。

2、初中数学《勾股定理》中：根据下面图形的各条边的关系，请你探索出直角三角形的三边的关系，结果大部分学生根据32 =4+5、52 =12+13，继而得出错误的结论：a2=b+c，即较长直角边与斜边的和等于较短直角边的平方。”

并且更多的事实犹如观测水中的一根直棍，获得的感知是弯曲的一样。为此，大天文学家开普勒指出：“当知识通过感官被直接提供给心灵时，是模糊、混乱和矛盾的，从而也就不可靠的。” 所以对经验得到的东西总要问个为什么？总要有理性的思考。哲学家叔本华说：“经验从总体来讲，是要从这种形而上学得到解释的。”东汉哲学家王充说：“是非者，不徒耳目，必开心意”。确定事物的本质不能仅凭感觉，一定要有理性思考。特别地经验得到的数学命题必须有理论的证明。

实际上，人类在处理数学上理由不充足的结论时，总是小心谨慎的。像哥德巴赫猜想，尽管千万次验证都是正确的，但由于没有得到理论上的证明，人们还是叫它猜想而不叫定理。有时即使得到事实性的结论，如果理论有缺陷，也会用怀疑的眼光去看待它。如微积分在创立之初，由于理论不完善，人们纷纷质疑无穷小量的处理不合理，就连当时思想界的巨头红衣主教贝克莱、马克思主义学说的创立者之一马克思都参与质疑。（微积分从初创到理论完善经历了一百年）。无数事例充分地反映了人类对数学严谨性所持态度是严肃、认真的。

我们知道，要学好数学需要理解记忆，也就是要明了数学知识的形成过程。当前数学教学中普遍存在着仅把经验归纳作为知识的形成过程，忽略理论推导的过程。归纳是感的“进路”，理论推导是思的“进路”。数学对象的抽象性决定了学习数学离不开思，一旦离开了思，将造成不求甚解，只求记住若干“处方”，不仅兹长和强化模仿记忆和机械记忆之惰性，也给进一步学习数学知识带来大的困难。

参考文献：

[1]孟青新. 浅谈初中数学兴趣的培养[J].教育教学论坛，2011（08）.

[2]赵章留.论学习兴趣的培养[J].衡水师专学报，2003（03）.endprint