让“合理运算途径”寻到“运算依据”的“家”

周建华

【摘要】刚刚参加完区里组织的教师学科素质大赛课堂环节， 抽课讲了一节三年级“两位数乘两位数笔算乘法”课。而后在班内四年级处理“72×125用简便方法计算” 练习题。根据三年级授课感受，本以为很简单的问题，很多学生却出现对学过的知识掌握不牢解题疑难现象。为此改变教学预案，就这一问题再次展开讨论，在探讨中使我产生对运算教学的诸多思考。

【关键词】直观、算理、算法、运算依据

【分类号】G633.6

一、缘由

刚刚参加完区里组织的学科素质大赛课堂环节，抽课讲了一节人教版三年级下册《两位数乘两位数笔算乘法》课。根据教材内容，研究：“一套书有12本，每本24元，一共要付多少钱？”“24×12”的计算方法。教师提供每张表示每本书价格是24元的12张长方形卡片。

学生思维非常活跃，通过摆一摆、算一算的方法找到了“可以先求10个24再加2个24”等的口算、竖式多种方法。其间，还有学生指出“可以把12个24平均分成2份，每份是6个24，两边一样多，是24×6的2倍，就是24×12=24×6×2=288”的巧妙算法。

我窃喜，学生结合直观图形，不但理解了算理，掌握了计算方法，还能从乘法意义的本质出发，无意识地采用四年级才要学习的乘法分配律、结合律两种方式来解释解答。

今天在班内处理四年级“72×125用简便方法计算”练习题，本以为小学数学五大基本运算定律及应用定律进行简算的知识学生已经学过，加之昨天课堂的欣喜，问题解决应该不会困难，但没想到仍有部分学生出现解题疑难现象。

二、前期课堂简算教学回顾

根据教材44页情境内容，采取：先复习乘法运算定律及连除的简便运算，进行12=4×（），25=100÷（）等的专项练习；明确“一打”的意思；笔算12×25的积；完成书上例题中的填空；比较两种简便算法的正确性；针对“为什么可以这样算”展开讨论，从而使学生发现、总结解题方法的大致流程。

三、反思

同样两节有关乘法的计算课，一道笔算研究，一道简算研究，课堂教学效果却出现如此反差，原因何在？在运算教学中，学生运算能力的培养核心是什么？我们应该怎样帮助学生理解算理，掌握算法？运算教学还应注意些什么问题？带着这些思考，再次走进课堂。

四、调整方案，再次研究

仍然从昨天的研究问题入手，要求不用竖式计算出结果，写出计算过程，说明理由。学生有了长方形卡片“书价”的形象依托，思维异常活跃起来，很快用乘法分配律及结合律两种方式得出结论，解题呈现过程也比三年级学生更丰富。我把24改成25，要求抛开学具，想象分摆过程，再计算。除仍有部分学生理解表象成是求“12个25相加的和是多少”外，有学生变换成点子图从不同理解角度说明解题思路：“25×12单从算式上还可以看成是25个12， 5个12是60，25个12里面有5个这样的5个12，所以25×12 =5×（5×12）=300”。

再进行“72×125简算”时，学生已没有太多困难，分摆过程不但能在头脑中呈现表述出来，而且还发现：一道简算题如有多种简算方法，选择哪种更简便，要视试题而定。

五、启示

《数学课程标准（2011年版）》指出：“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。”其刻画了三个主要表现特征：正确运算、理解算理、方法合理。也就是说，运算要“有根有据地正确运算”，才能“促进理解与应用”。

基于以上认识，结合以上运算教学课例，浅谈一下自己新的启示与认识。

1.“烧全鱼”还是“烤中段”

现在课程主张“烧全鱼”，而在现实教学中我们不时的遭遇“烧全鱼”的尴尬。比较“笔算乘法”与“简算教学”两节課，两节同样都是以现实问题情境为着力点的研究内容，“笔算乘法”情境内容单一，针对性强，而“简算教学”情境内容却较之丰富。纠其课堂教学效果反差原因之一，“简算教学”为兼顾“全鱼”，却忽略了“中段”教学重点的充分设计。再次研究时，有意侧重了动手实践、体验与感受，使学生切切实实地走进了问题，经历了知识形成的过程。由此看来，不管是选择“烧全鱼”还是“烤中段”，都要“适合“，只要有利于学生理解与掌握就都是好方法。因此，问题情境有与无，内容多与少，都要视具体问题而定。

2. 在直观教学中理解算理，掌握算法

一直以来，很多人认为运算教学没有什么道理可讲，只要学生把法则牢记于心，反复“演练”就可以达到正确、熟练的要求。殊不知，算理与算法可谓是运算能力的一体两翼。不掌握算法就无法确保运算的“正确”；只知道怎么算，不知道为什么这样算，就不敢保证运算能力的灵活应用。现在运算教学淡化程式化地叙述算理和计算法则，重在经历、形成计算方法的过程，即既要使学生知道怎么算，又要使学生知道为什么这样算。就以上课例我最大的收获莫过于借助直观图示，在直观教学中让学生理解算理，掌握算法，提高运算能力的感触。

《数学课程标准（2011年版）》指出：“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果”。由此，就运算教学而言，我认为，直观教学——就是要把抽象的算理具体化、形象化，使学生在具体的直观图示中理解算理，掌握算法。

在《两位数乘两位数笔算乘法》中，“直观教学”教学在促进学生理解算理与掌握方法中可谓功不可没。

如第一个教学环节：

“把12个24平均分成2份，每份是6个24，两边一样多，是24×6的2倍，就是24×12=24×6×2=288”。多么具体、直观、形象、简明的描述，这样的计算方法学生理解还有困难吗？！

再看第二个教学环节：endprint

由算法多样化优化得出：“把12个24拆分成10个24再加2个24的和”的方法计算最简便。重点建立联系，理解算理。结合“口算、竖式和直观图”，教师提问“48、“240”和“288”各表示什么意思？它们分别是指图示中的哪一部分？这一过程实际在直观图示、建立联系中把抽象的算理和具体的计算方法有机地融合在了一起，既在促进学生理解算理，也在帮助学生掌握计算方法。这就是“直观教学”在算理中具体化和形象化的具体体现。

这节课在研究过程中用时有些长，但我认为，它远比直接告诉学生具体的计算方法要厚重得多。曹培英老师在《“数学课程标准”核心词的实践解读之六——运算能力》一文中谈到：有文章披露，2009年对三年级学生的测试中有如下试题，全国常模抽样测试中随机抽取1664份样本的得分率只有43.09%。如图，在34×12的竖式中，箭头所指的这一步表示的是（ ）。A.10个34的和；B.12个34的和；C.1个34的和；D.2个34的和。

我想，造成半数以上学生不理解算理的原因，不仅在于算法多样化在其中的过多干扰，还有就是我们是否让每一个学生都真正理解了这一步计算的含义？有教育者指出：“通过观察去认识与通过体验去认识，认识的深度不一样，参与的情感不一样，留下的印象更是不一样”，道理就应该于此吧。

北师大周玉仁教授曾讲：“要让学生做科学，而不是让学生听科学。”把抽象的、枯燥的数学具体化、形象化、生动化，学生才会感到亲切，才会产生趣味性、积极性与主动性；把操作、思维、語言、计算有机结合，才有利于学生理解算理，掌握算法，发展思维，开发智力，培养能力。由此可见，计算教学的价值决不仅仅只是会计算，而是要在计算的过程中激发学生积极主动地探索，创造潜力得以发挥。

3.重视明晰“合理运算途径”的运算依据

《数学课程标准（2011年版）》指出，运算是要“根据法则和运算律正确地运算”，即要“有根有据地正确运算”。也就是说，每一种“合理的运算途径”的背后都有“法则或运算律”的运算原理在支撑，选择何种“合理的运算途径”都要能够用“法则或运算律”的运算原理来得到有根有据的解释或说明。这样才能确保运算正确、理解算理。

在本文中，学生的“合理运算途径”，都能依靠直观图示描述，都能用运算依据——乘法意义内涵来解释。而恰恰就是这一解释，使学生为“合理运算途径”找到了“运算依据”的“家”， 从而也真正理解了算理，为后续很多有关能够用乘法意义来解释的运算教学打下着坚实基础。

本文谈到的课例教学，除乘法意义外，涉及到的乘法分配律和乘法结合律两个运算定律的使用不是属于还未研究范畴，就是属于正在研究内容。限于此，乘法意义做为解题的依据，本身就成了贯穿始终与使之理解的关键和核心。但关于这两个定律的研究，我们往往重视结构和数据的特征，侧重算法掌握，而却容易忽略运用运算本身所蕴藏的内涵来解释。这就往往会造成学生只依靠记忆、模仿来解题，而一旦记忆消退或形式多变，就无能应对。因此，更高层次的思考不是我们培养学生看到算式，先想怎样确定它的结构或数据特征，而是要清楚“我可以”或“为什么”这样做的思考与理由，也就是首先要为每个“合理运算的途径”找到“运算依据”的“家”。例如看到：18×52+48×18这个算式，看到的不应只是它的外在形式——结构和数据特征，而是要思考试题本身所表达的内涵，即是求52个18再加48个18的和这样一种认知。这样，即使学生遗忘了解题模式，也能很快意识到这不就是求“52加48个”也就是（52+48）等于100个18的和吗？由此，简便运算方法不就使学生牢牢的掌握了吗？倒过来，也就是比乘法分配律和结合律基本形式解题难度大的题目，如求98×57或25×24的积，简便计算。如果学生真正理解了乘法意义本身蕴含的含义，看到98×57，就会想到：不就是求“100个57，多加了2个，再减掉2个57的差”吗？对于25×24这种算式，解题的途径不只一种，学生掌握了题意本身所蕴含的含义，无论是拆分——分别相乘再求和的方式，还是“分组”，看它里面包含几个这样的几个几的解题思考，其实质都是立足真正理解乘法意义基础上的解答方式。

综上所述，运算教学，不但要让学生在直观中深刻领悟运算中的算理，掌握算法，学会选择简洁的运算途径，而且还要让每一种“合理的运算途径”都能找到“运算依据”的“家”， 增强能力，这不就是运算教学我们应该注意和力求的着力吗？！

参考文献：

《义务教育数学课程标准2011年版》

《义务教育数学课程标准实验教科书数学四年级下册教师教学用书》

《数学学课程标准解读：“十大核心词”的实践研究》 曹培英

《“数学课程标准”核心词的实践解读之六——运算能力（上）》 曹培英

《数学还是那个数学》 曹培英

《新课程理念下“运算教学”的研讨》 周玉仁

《结构入手 认识规律——从“乘法分配律”的教学谈起》 王文英endprint