谈几何概型的转化方向

王震

【摘要】几何概型是在古典概型基础上的一种拓展，它与古典概型的相同点是基本事件发生的可能性都是相等的，不同点是古典概型要求的基本事件为有限个。几何概型的基本事件为无限多个，由于几何概型基本事件的无限性，我们在解决几何概型的问题时，需要将问题转化为与几何测度有关的问题来解决，也就是构建确定的几何模型来解决。下面运用实例进行说明。

【关键词】几何概型 数学

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）35-0155-02

一、转化为以长度为测度的几何模型

例1：某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求乘客候车时间不超过6分钟的概率。

分析：将间隔10分钟看作长度为10的线段T1T2，乘客到达车站的时刻为线段T1T2上任意一点且到达每一点的可能性相等，则基本事件有无限多个，故是几何概型。

解：如图1

图1

设上辆车于时刻T1到达，而下辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长度为10，设T是线段T1T2上的点，且TT2的长为6，记“等车时间不超过6分钟”为事件A，则事件A发生即当点t落在线段TT2上。由D=T1T2=10，d=TT2=6，得P（A）= = =

故乘客候车时间不超过6分钟的概率为

点评：将以实际为背景且事件发生与区域长度有关的问题转化为对应线段（或弧度）长度的比是求解几何概型的一种重要方法。

二、转化为已平面图形面积为测度的几何模型

例2：在边长为2的正△ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是

分析：到△ABC某一顶点距离小于1的区域为以该顶点为圆心，1为半径的圆与△ABC交出的扇形内，由于该扇形内的点有无限多个，且每个点被取到的可能性相等，所以这是几何概型问题。

解：如图2，分别以点A，B，C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC交出扇形，当点P落在三个扇形内时符合要求。

故所求概率P= = =

图2

点评：将事件发生与区域面积有关的实际问题，转化为平面图形对应面积的比是求解几何概型问题的重要方法。

三、转化为空间图形体积为测度的几何模型

例3：一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一個的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上面而不安全，若始终保持与正方体玻璃容器内飞行到每一位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是

分析：将蜜蜂看作点，则蜜蜂所处的位置是正方体内的立体空间，在这个空间内的点事无限的，因此这个问题也是几何概型问题。

解：记“蜜蜂能够安全飞行”为事件A，则它位于与正方体容器6个表面的距离均大于10的区域即棱长为10的正方体区域，其体积为V1，飞行时是安全的，记棱长为30的正方体的体积为V，故P（A）= = =

点评：对于与体积有关的几何概型问题，关键要构造满足条件的空间图形，从而计算总空间的体积及事件发生空间的体积。

四、转化为变元型几何概型问题

例4： 在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段，求这三段可以构成三角形的概率。

分析：设长度为10的线段被分为三段的长度分别为x，y，10-（x+y）。由x， y，10-（x+y）均在区间（0，10）内，以及三角形任意两边之和大于第三边可得0

点评：有些几何概型问题，需要借助于设置变量将问题体现，从而运用有关的知识解决，这类题难度较大，充分理解题意、将问题进行转化、然后利用熟悉的知识解决是解题的关键。