关于并集合的幂集运算性质的注记

2017-09-21常大全

课程教育研究·上 2017年35期

关键词：子集科学出版社性质

常大全

【摘要】对于两个集合的并集的幂集，有性质P（A）∪P（B）？哿P（A∪B）成立。本文给出该性质中取得“=”的充分必要条件，以及当不取“=”时并集合的幂集的一个表达公式。

【关键词】并集幂集

【中图分类号】G71 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）35-0149-02

命题1 P（A）∪P（B）=P（A∪B）的充分必要条件是A、B具有子集关系（即A？哿B或B？哿A）

证明：充分性：当A、B具有子集关系时，不妨设A？哿B，则P（A）？哿P（B）。所以

P（A）∪P（B）=P（B）。又由A？哿B得A∪B=B，则P（A∪B）=P（B）。所以

P（A）∪P（B）=P（A∪B）成立。必要性：假设A、B不具有子集关系，易见此时A、B均非空，且A中至少有一个元素不在B中，以及B中也至少有一个元素不在A中。设a∈A，a？埸B，b∈B，b？埸A。则A={a，…}，B={b，…}，易见a≠b。

记A∪B={a，b…}。因为{a，b}？哿A∪B={a，b…}，所以{a，b}∈P（A∪B）。因为

P（A）∪P（B）=P（A∪B），故也有{a，b}∈P（A）∪P（B）。所以

{a，b}∈P（A），或{a，b}∈P（B），即{a，b}？哿A，或{a，b}？哿B。所以b∈A={a，…}或

a∈B={b，…}，这与b？埸A，a？埸B矛盾。所以假设不成立。因此A、B具有子集关系。

命题2：设C=A∪B，A、B不具有子集关系，

M={z|存在A-B的非空子集z1和B-A的非空子集z2，使z=z1∪z2}，

N={z|存在A-B的非空子集z1和B-A的非空子集z2，以及A∩B的非空子集z3，使z=z1∪z2∪z3}则：P（A）∪P（B）∪M∪N=P（C）

证明易见P（A），P（B），M，N都是P（C）的子集，所以

[P（A）∪P（B）∪M∪N]？哿P（C）。现在证P（C）？哿[P（A）∪P（B）∪M∪N]也成立。因A、B不具有子集关系，故易见此时A、B、A-B，B-A均非空。取？坌z∈P（C），则z？哿C。当z=？覫时，z∈P（A），z∈P（B）。所以z∈[P（A）∪P（B）∪M∪N]。当z≠？覫时，取？坌x∈z，这里z？哿C=A∪B=（A-B）∪（B-A）∪（A∩B）。所以x∈A-B或x∈B-A或x∈A∩B。下面对x所属的范围分类讨论。

I：当A∩B≠？覫时，此时易见N≠？覫。

①A∪B的非空子集z中的元素x仅取自于A-B

②A∪B的非空子集z中的元素x仅取自于B-A

③A∪B的非空子集z中的元素x仅取自于A∩B

④A∪B的非空子集z中的元素x仅取自于A-B和B-A这两部分，即是说仅取自于（A-B）∪（B-A），且z中既有A-B的元素，也有B-A的元素

⑤A∪B的非空子集z中的元素x仅取自于A-B和A∩B这两部分，即是说仅取自于（A-B）∪（A∩B），且z中既有A-B的元素，也有A∩B的元素

⑥A∪B的非空子集z中的元素x仅取自于B-A和A∩B这两部分，即是说仅取自于（B-A）∪（A∩B），且z中既有B-A的元素，也有A∩B的元素

⑦A∪B的非空子集z中的元素x仅取自于A-B和B-A以及A∩B這三部分，即是说仅取自于（A-B）∪（B-A）∪（A∩B），且z中既有B-A的元素，也有A-B的元素，还有A∩B的元素

II：当A∩B=？覫时，此时易见N=？覫。

①A∪B的非空子集z中的元素x仅取自于A-B

②A∪B的非空子集z中的元素x仅取自于B-A

③A∪B的非空子集z中的元素x仅取自于A-B和B-A这两部分，即是说仅取自于（A-B）∪（B-A），且z中既有A-B的元素，也有B-A的元素