一类(α,m)-凸函数的H adamard型不等式

李玉娇,杜廷松,2

(1.三峡大学理学院,湖北宜昌443002; 2.武汉科技大学冶金工业过程系统科学湖北省重点实验室,武汉430081)

一类(α,m)-凸函数的H adamard型不等式

李玉娇1,杜廷松1,2

(1.三峡大学理学院,湖北宜昌443002; 2.武汉科技大学冶金工业过程系统科学湖北省重点实验室,武汉430081)

首先,提出了一个新的积分恒等式;然后,在此基础上构造了一类二阶导函数的绝对值的q次幂是(α,m)-凸函数的新型Hadamard型不等式;最后,给出了一些具体的应用例子.

凸函数;(α,m)-凸函数;Hadamard型不等式

设f:I⊆R→R是一个凸函数,a,b∈I且a

众所周知,这是经典的Hermite-Hadamard型凸函数不等式.已有很多学者对各种广义凸函数不等式进行了改进和推广[1-5].1978年,Breckner[6]介绍了s-凸函数;1984年,Toader[7]定义了一类m-凸函数;1993年,Mihe¸san[8]介绍了(α,m)-凸函数.

随着不等式研究的发展,Hadamard型不等式在凸分析领域中的研究有了显著的进展.已有众多学者研究了诸如凸函数[9]、s-凸函数[10]、m-凸函数[11]以及(α,m)-凸函数[12-14]的Hadamard型不等式.此外,还有一些学者针对(α,m)-对数凸函数[15]、(α,m)-几何凸函数[16]和(α,m)-预不变凸函数[17]的Hadamard型不等式进行了研究.

本工作基于文献[10,18-19]中研究s-凸函数的Hadamard型不等式的构造性思想,并受文献[11,14]中涉及的m-凸性和(α,m)-凸性的Hadamard型不等式研究问题的启发,研究了一类(α,m)-凸函数的Hadamard型不等式,并提出了一个新的不同于文献[10]的积分恒等式.需要强调的是,尽管本工作与文献[10]均是对f(x)二阶导函数Hadamard型不等式的研究,但是本工作研究的是(α,m)-凸函数,而文献[10]研究的是s-凸函数.另外,本工作与文献[14]均是研究(α,m)-凸函数的Hadamard型不等式,但文献[14]考虑的是Hadamard型不等式(1)的右边部分,而本工作是对式(1)左边部分的上界进行研究.也就是说,本工作获得的主要结果是文献[10-11,14]中已有结果的延伸和推广.

1 预备知识

在本工作中,考虑实区间I⊆R=(-∞,∞),I◦表示区间I的内部.

定义1[8]函数f:[0,b]→R被称为(α,m)-凸函数,如果对任意的x,y∈[0,b],t∈[0,1]且(α,m)∈[0,1]2,有下面的式子成立:

易知当(α,m)∈{(0,0),(α,0),(1,0),(1,m),(1,1),(α,1)}时,这类(α,m)-凸函数分别是增函数、α-starshaped函数、starshaped函数、m-凸函数、凸函数和α-凸函数.

定理1[10]设函数f:I⊂[0,∞)→R是I◦上的一个可微映射,f′′∈L[a,b],其中a,b∈I且a

推论1[10]在定理1中,当s=1时,有下面的不等式成立:

2 一个新引理

引理1设f:I⊆R0→R是定义在I◦上的一个二次可微映射,a,b∈I◦.对于一些固定的m∈(0,1],mb>a,如果f′′∈L[a,b],则有下面的等式成立:

利用分部积分,得到

故式(5)成立.证毕.

3 新的H ermite-H adamard型不等式

定理2设f:I⊆R0→R是定义在I◦上的一个可微映射,a,b∈I◦,f′′∈L[a,b].对于一些固定的(α,m)∈(0,1]2,mb>a且q≥1,如果|f′′|q是定义在[a,b]上的(α,m)-凸函数,则

假设q>1,依据引理1以及Power-Mean积分不等式,有

和

成立.

由于|f′′|q是[a,b]上的(α,m)-凸函数,对任意的t∈[0,1],有

由式(7)～(10),可得

故不等式(6)成立.证毕.

推论2在定理2中,当α=m=q=1,则

这里需要强调的是,不等式(11)与文献[10]中定理2之推论1(见式(4))相比是一个改进结果.

定理3设f:I⊆R0→R是定义在I◦上的一个可微映射,a,b∈I◦,f′′∈L[a,b].对固定的(α,m)∈(0,1]2,mb>a,q>1,如果|f′′|q是定义在[a,b]上的(α,m)-凸函数,则

证明依据引理1以及H¨older’s不等式,有

故不等式(12)成立.证毕.

推论3在定理3中,当α=m=1,则

4 应用

考虑如下平均值.

(1)算术平均值.

(2)对数平均值.

(3)广义对数平均值.

根据上述结果,给出一些具体应用例子.

命题1设n∈(-∞,0)∪[1,∞){-1},[a,b]⊂[0,b∗]且b∗>0,则

证明将f(x)=xn应用到推论2,即获得不等式(14).

命题2设n∈(-∞,0)∪[1,∞){-1},[a,b]⊂[0,b∗],b∗>0且q>1,则

证明将f(x)=xn应用到推论3,即获得不等式(15).

[1]春玲,双叶.协同s-凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式[J].内蒙古民族大学学报,2013, 28(6):627-630.

[2]何晓红,许谦.AH凸函数的几个积分不等式及其应用[J].上海大学学报(自然科学版),2014,20(3): 368-373.

[3]D RAGOMIR SS.Hermite-Hadamard inequalities for operator convex functions[J].Applied Mathematics and Computation,2011,218(3):766-772.

[4]C HEN F X,F ENG Y M.New inequalities of Hermite-Hadamard type for functions whose fi rst derivatives absolute values are s-convex[J].Italian Journal of Pure and Applied Mathematics, 2014,32:213-222.

[5]L I S J,Z HAO L Z,L ENG G S.Inequalities for Tφ-convex functions[J].Journal of Shanghai University(English Edition),2007,11(2):142-147.

[6]B RECKNER W W.Stetigkeitsaussagen f¨ur eine k lasse verallgemeinerter konvexer funktionen in topologischen R¨aumen[J].Publications of the Institute for Mathematical,1978,23:13-20.

[7]T OADER G.Some generalizations of the convexity[C]//Proceedings of the Colloquiumon Approximation and Optimization.1984:329-338.

[8]MIHES¸AN V G.Ageneralization of the convexity,seminar on functionar on functional equations[M].Romania:Approximation and Convexity,Cluj-Napoca,1993.

[9]C HUN L,Q I F.Integral inequalities of Hermite-Hadamard type for functionswhose third derivatives are convex[J].Journal of Inequalities and Applications,2013,DOI:10.1186/1029-242X-2013-451.

[10]¨O ZDEMIR ME,YıLDıZ C¸,AKDEMIR AO,et al.On some inequalities for s-convex functions and applications[J].Journal of Inequalities and Applications,2013,DOI:10.1186/1029-242X-2013-333.

[11]¨O ZDEMIR ME,AVCI M,S ET E.On some inequalities of Hermite-Hadamard type via m-convexity[J].Applied Mathematics Letters,2010,23(9):1065-1070.

[12]I S¸CAN I.Anew generalization of some integral inequalities for(α,m)-convex functions[J].Mathematical Sciences,2013,7(1):1-8.

[13]W ANG S H,X I B Y,Q I F.On Hermite-Hadamard type inequalities for(α,m)-convex functions[J].International Journal of Open Prob lems in Computer Science and Mathematics, 2012,5(4):47-56.

[14]¨O ZDEMIR ME,AVCI M,K AVURMACI H.Hermite-Hadamard type inequalities via(α,m)-convexity[J].Computers and Mathematics with Applications,2011,61(9):2614-2620.

[15]D ENG J H,W ANG J R.Fractional Hermite-Hadamard inequalities for(α,m)-logarithmically convex functions[J].Journal of Inequalities and Applications,2013,DOI:10.1186/1029-242X-2013-364.

[16]X I B Y,B AI R F,Q I F.Hermite-Hadamard type inequalities for the m-and(α,m)-geometrically convex functions[J].Aequationes Mathematicae,2012,84(3):261-269.

[17]L ATIFAMA,S HOAIBB M.Hermite-Hadamard type integral inequalities for diff erentiab le mpreinvex and(α,m)-preinvex functions[J].Journal of the Egyptian Mathematical Society,2015, 23(2):236-241.

[18]李玉娇,杜廷松.推广的(s,m)-GA-凸函数的Simpson型不等式[J].纯粹数学与应用数学,2015, 31(5):487-497.

[19]Y ANG Z Q,L I Y J,D U T S.Ageneralization of Simpson type inequality via diff erentiable functions using(s,m)-convex functions[J].Italian Journal of Pure and Applied Mathematics, 2015,35:327-338.

H adamard-type inequalities for a class of (α,m)-convex functions

LIYujiao1,DU Tingsong1,2
(1.College of Science,China Three Gorges University,Yichang 443002,Hubei,China; 2.Hubei Province Key Laboratory of SystemScience in Metallu rgical Process,W uhan University of Science and Technology,W uhan 430081,China)

This paper proposes an integral identity.Based on the identity,some results of Hadamard inequalities are established for functions with the q-th power of the second derivative’s absolute value(α,m)-convex.Some specifi c applied examples are presented.

convex function;(α,m)-convex function;Hadamard-type inequality

O 178;O 174.6

A

1007-2861(2017)04-0583-07

DO I:10.12066/j.issn.1007-2861.1716

2015-06-01

国家自然科学基金资助项目(61374028);湖北省自然科学基金资助项目(2013CFA131);三峡大学培优基金资助项目(2015PY 075)

杜廷松(1969—),男,教授,研究方向为凸分析及最优化理论与算法.E-mail:tingsongdu@ctgu.edu.cn