数学文化视角下的高三试题命制探析

杨苍洲（泉州第五中学，福建泉州362000）

数学文化视角下的高三试题命制探析

杨苍洲（泉州第五中学，福建泉州362000）

数学文化视角下的试题命制，不应只停留于编制有历史背景而无文化本质的数学试题，而应该关注数学文化与试题的自然融合，唯此，才能深入考查数学知识的文化内涵。有数学文化韵味的试题应能让解题者在解题成功后，享受到解题带来的愉悦，同时受到数学文化的熏陶。

高考；数学文化；命题方法

一、从2017年高考全国卷两道试题说起

2017年修订后的《考试大纲》增加了对数学文化的要求，与此同时，2017年的高考也迅速对此作出积极的反应。2017年高考全国Ⅰ卷理科第2题以我国的太极图为背景，考查几何概型；全国Ⅱ卷第3题从我国古代数学名著《算法统宗》引入，考查等比数列。

题1：（2017年高考全国Ⅰ卷理科第2题）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图。正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

解析：设正方形边长为，则圆半径为2则正方形的面积为2×2=4，圆的面积为π×12=π，图中黑色部分，则此点取自黑色部分的概率为故选B。

题2：（2017年高考全国Ⅱ卷理科第3题）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯

A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏

解析：设塔的顶层共有灯x盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由，可得x=3，故选B。

高考过后，《人民日报》记者专访了教育部考试中心主任姜钢。他指出：2017年高考数学科试题加强中国古代数学文化的渗透，强调中国古代数学文化的传统特色。实则，对于数学文化的要求，并非今年的考试大纲修订后的应景产物，在《普通高中数学课程标准（2003实验版）》中早已经做了阐述：数学是人类文化的重要组成部分。高中数学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对数学文化的学习要求。［1］

二、对近年高考中数学文化试题的认识

除了2017年的高考全国卷的试题中涉及数学文化外，在近年各省分省命题的高考试题中也充分关注了数学文化的考查，其中，以湖北卷最具代表性。

2011-2014年高考湖北省数学文化试题背景统计表

上表是2011—2014年高考湖北省数学卷中渗透数学文化的试题背景统计（2015年后湖北省参加全国Ⅰ卷的统考不再自主命题），从上表可看出，这些渗透数学文化背景的试题大部分是以数学史为背景进行命制的。

我们不能狭隘认为数学文化等同于数学史。实际上，数学文化涵盖的范围很广，如数学史、数学美、数学的思想、数学的精神、数学中的哲学、数学与人类其他知识领域之间的关联等。它们之间内容相互交叉融合，如“数学史”中的数学文化，就应包含伴随着数学知识的发生、发展、传播而积蓄下的数学思维方式、数学思想观念及数学精神品质等。［1］

纵观近年高考中的数学文化试题，我们发现这些试题都仅仅是对简单的史学背景的生搬硬套，是对数学文化浅层次的考查，并未触及数学文化的本质。此类试题就算是摒弃了史学背景，考生依然可顺利作答。如：2017年高考全国Ⅱ卷理科第3题若剔除其数学史背景，试题可改为“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有多少盏灯？”剔除数学史背景后的试题，呈现方式更加直接明了，问题直指高中数学核心知识，这样的问题将能更加有效地考查高中数学的核心素养。原有的试题背景是命题者故意制造的烟雾弹，只是人为地为考生制造阅读障碍，实在无法凸显数学史所蕴含的数学文化价值。

数学文化试题不应该停留于简单的表层次的考查。数学文化视角下命制的试题，就是要在试题中融合数学文化，力求达到所命制的试题能达到“有背景有内涵”“润物细无声”的境界，使人在做题的过程默默地受到数学文化的感染。在数学文化的视角下命制的数学试题，从试题的考查功能角度，可以考查学生的数学知识与方法，还可以考查学生的数学素养；从试题的导向功能角度，可引导教师的教与学生的学，使学生通过数学的学习，不断地提高自身的数学素养。

三、数学文化试题可以这样考

张奠宙教授指出：在数学教学中运用数学史知识时，不能简单地、就事论事地介绍史实，而应该着重揭示含于历史进程中的数学文化价值，营造数学的文化意境，提高数学的文化品位。［2］笔者认为，数学文化试题的命制也不应该仅仅局限于以数学史为背景进行试题包装，而应该考查更加广义下的数学文化，重在感受数学的实际应用、数学的思想方法、数学的理性精神等。笔者曾命制部分试题，感觉尚有一丝数学文化的味道，现摘录部分试题如下，求教于方家。

（一）数学与历史——感受数学的发现过程

以数学史中的人物、事件、问题等为背景编制试题，是编制数学文化试题的一种常见手法。一个优秀的数学文化试题，应该既能体现数学史的背景，又能让解题者在解题过程中体验历史上数学的发现过程，此类试题不仅表象优美而且内涵丰富、韵味悠长。

例1（2015年泉州市质检）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验。受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对(x,y)；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数m最后再根据统计数m来估计π的值。假如统计结果是m=34，那么可以估计π≈_____________。（用分数表示）

数学发展史上有许多很有创意的求解“圆周率π”的实验，本题以此为背景，设计数学实验，经历实验过程，探究实验原理，从而体验前辈数学家的创新工作与探索精神。

例2（2014年泉州市质检）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是

（A）圆弧

（B）抛物线的一部分（C）椭圆的一部分

（D）双曲线的一部分

圆锥曲线（conic section），又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，是数学、几何学中通过一个正圆锥面和一个平面完整相切得到的一些曲线，在约公元前200年时就已被命名和研究了。本题的解题经历，将为解题者普及“圆锥曲线”的由来，进一步揭示圆锥曲线的本质。

（二）数学与艺术——发掘数学的美学价值

罗丹说，生活中并不缺少美,而是缺少发现美的眼睛。借助数学可以发现生活中许许多多的美，如，统一美、对称美、简洁美等。以此为背景设置的试题，能在检测基础知识与基本技能的同时，深入检测考生数学素养。

例3（2014年泉州市质检）如图，某数学爱好者设计了一个食品商标，该商标的轮廓由曲线段AOC和曲线段AEC构成。在平面直角坐标系xOy中，曲线段AOC是函数y=tan(-1≤x≤1)的图象，曲线段AEC是一段圆弧，其所对的圆心角为。若在正方形ABCD内随机选取一点P，则点P在阴影部分内的概率等于

商标的设计往往遵循数学的审美观点，如，对称美、简洁美。本题题干设置的图形优美，紧张的考试之中能让学生眼前一亮。除此之外，在解题过程中，需要利用奇函数的对称特征，方能顺利解题，整个过程中学生享受到解题的愉悦。

例4（2017年泉州市质检）榫卯（sǔn mǎo）是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，凸出部分叫做“榫头”。某“榫头”的三视图及其部分尺寸如图所示，则该“榫头”体积等于

（A）12（B）13（C）14（D）15

榫卯结构是一个凝结了中国几千年传统文化精粹的技术，是中国古代劳动人民的智慧结晶，也是最烧脑的艺术。在享受美的同时，有效地考查了三视图、空间几何体的体积等知识，同时也培养了民族自豪感。

（三）数学与游戏——体验数学的趣味特性

在2002年8月的国际数学家大会上，数学大师陈省身先生写下了耐人寻味的四个字——数学好玩。那么命题者该该怎样体现数学好玩、有趣呢？以游戏为背景设置试题，不仅背景自然、真实，同时也让枯燥的数学问题充满诗意。

例6（2011年泉州市质检）“黑白配”游戏，是小朋友最普及的一种游戏，很多时候被当成决定优先权的一种方式。它需要参与游戏的人（三人或三人以上）同时出示手势，以手心（白）、手背（黑）来决定胜负，当其中一个人出示的手势与其它人都不一样时，则这个人胜出，其他情况，则不分胜负。现在甲乙丙三人一起玩“黑白配”游戏。设甲乙丙三人每次都随机出“手心（白）、手背（黑）”中的某一个手势，则一次游戏中甲胜出的概率是____________。

“黑白配”游戏的背景，让回忆仿佛又回到童年。本题熟悉的游戏场景，不仅体现了试题的公平性、趣味性，在考查古典概率的同时，有效检测了考生的数学阅读能力和分析问题、解决问题的能力。

例7（2017年泉州市质检）如图，一张A4纸的长、宽分别为22a，2a。A，B，C，D分别是其四条边的中点。现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体。关于该多面体的下列命题，正确的是____。（写出所有正确命题的序号）

①该多面体是三棱锥；

②平面BAD⊥平面BCD；

③平面BAC⊥平面ACD；

④该多面体外接球的表面积为5πa2。

“折纸”是生活中的常见游戏之一。大部分的折纸活动是基于对称进行的，这就产生了许多几何元素，如：全等、相似、重合、垂直、中点、直角三角形、矩形、正方形。显然，折纸游戏是考查空间想象能力不可多得的载体。

（四）数学与决策——体验数学的实际应用

有人的地方就有数学。小到投资理财、置业经商的决策，大到国家方针政策的制定，这些问题都需要我们使用数学工具对其加以解决。因此，以实际生活为背景进行试题设置，可考查考生的数学应用意识，进一步倡导学以致用。

例8（2017年泉州市质检）某密码锁共设四个数位，每个数位的数字都可以是1，2，3，4中的任一个。现密码破译者得知：甲所设的四个数字有且仅有三个相同；乙所设的四个数字有两个相同，另两个也相同；丙所设的四个数字有且仅有两个相同；丁所设的四个数字互不相同。则上述四人所设密码最安全的是

（A）甲（B）乙（C）丙（D）丁

生活往往需要决策。本题以密码的安全性为背景设置试题，背景贴近生活，立足于数学本质，合理地检测了学生的数学应用意识等基本数学素养。

例9（2012年泉州市质检）为调查某校学生喜欢数学课的人数比例，采用如下调查方法：

（1）在该校中随机抽取100名学生，并编号为1,2, 3，……,100；

（2）在箱内放置两个白球和三个红球，让抽取的100名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；

（3）请下列两类学生举手：（ⅰ）摸到白球且号数为偶数的学生；（ⅱ）摸到红球且不喜欢数学课的学生。

如果总共有26名学生举手，那么用概率与统计的知识估计，该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是

（A）88%（B）90%（C）92%（D）94%

本题取材于高中课本《普通高中课程标准实验教科书数学必修3》人教A版的一节阅读材料“如何得到敏感性问题的诚实反应”，此种调查方法也是实际生活中常用的一种调查方法，以此为背景设置试题，充分体现了“数学是有用的”。

数学文化在《普通高中数学课程标准（2003实验版）》作为课程理念得到了体现，同时在《考试大纲》中也得到了特别的重视。因此，近年的高考必然特别关注数学文化的考查。探索如何在数学试题中发挥数学文化的价值与功能将是命题者的一个重要课题，笔者认为，命题者对数学文化的范畴需要有个全新的认识，数学文化在试题中需要“润物细无声”地渗透。

［1］教育部.普通高中数学课程标准［S］.北京：人民教育出版社，2003:2-3.

［2］张奠宙.关于数学史和数学文化［J］.高等数学研究，2008（1）.

［3］杨苍洲.试题中数学文化的考查举例——以2013年福建省高三数学质检卷为例［J］.中学教研（数学），2013（9）.

（责任编辑：万丙晟）