突出创新应用引领教学实践——2017全国Ⅰ卷数学试题简析与启示

黄炳锋（福州第三中学，福建福州350003）

突出创新应用引领教学实践
——2017全国Ⅰ卷数学试题简析与启示

黄炳锋
（福州第三中学，福建福州350003）

2017年全国Ⅰ卷数学试题继续保持连续稳定的特点，立足数学的核心内容，以数学知识为载体，以理性思维、逻辑推理能力为立意，关注数学核心素养，突出创新应用，渗透数学文化，体现了时代特征。试卷凸显考试内容的基础性、综合性、应用性和创新性等，对培养学生的创新精神、实践能力有积极的导向作用。

全国Ⅰ卷；数学核心素养；理性思维；创新应用；复习对策

2017年全国Ⅰ卷数学试题与近几年的高考试题一样，保持连续稳定的特点，试卷立足数学的核心内容，以数学知识为载体，以理性思维、逻辑推理能力为立意，关注数学核心素养，渗透数学文化，体现时代特征。试卷着力整体布局，注重考查“三基”和“四能”；试题背景公平、立意新颖、表述脱俗，对考生区分精确，有较好的区分度；与2016年相比，全卷试题的难度略作调整，理科试卷难度基本持平，文科试卷难度略低，这与学生及教学实际更加吻合，难易适度确保试卷有较高的内容效度和预测效度。

试题知识点多，覆盖面广，选择题与填空题遵循由易到难、逐层深入的特点；解答题以分步设问、梯次递进的方式，提高试卷区分度。从知识板块的考查分布看，与往年基本保持一致，文、理科试卷对主干知识（即基础知识）的考查占分比例分别为76.3%和73.7%，特别突出对主干知识的考查，每个知识板块的考查分布如下：

一、试题分析

（一）考查通用数学方法，体现基础性

高考试题体现基础性的特征就是试题解答的常规性和方法的通用性，亦即常说的“淡化技巧，强调通性通法”。在高中数学中，通性通法是指具有普遍意义的常规解题模式和常用的数学思想与数学方法，通性通法是数学思想和数学方法在解决数学问题中的集中体现。［1］2017年试卷继续加强基础性和创新性，以数学基础知识、基本能力、基本思想方法为考查重点，注重对数学通性通法的考查。考查时从学科整体意义和思想价值的高度立意，淡化特殊技巧，体现基础性。

例如理科16题，试题以立体几何的基础知识为载体，探求通过折叠所成三棱锥体积的最大值，以往常用的解题技巧是“取特殊值”，即设定最大值在特殊的“中点”位置取得，但用此法解决本题是行不通的，实际上求最值问题，除了几何直观，通用的数学方法是构建三棱锥体积关于某个变量的目标函数（这里变量取圆心到底面正三角形的边的距离为佳），用函数与方程的思想解题。函数与方程的思想就是中学数学重要的通性通法之一。此外，理科第5题、第11题，文科第9题、第14题等也考查了函数与方程的思想，理科第14题、文科第8题等考查了数形结合的思想，文理第21题考查了分类与整合的思想，文理第19题考查了统计与概率的思想等。这些问题都是通过检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想方法的掌握程度，来考查通用数学方法，凸显基础性。

（二）加强应用意识考查，增强实践性

考查应用意识的试题要求综合应用所学数学知识、思想和方法解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题，解题涉及丰富的内涵，包括阅读理解、数据处理、数学建模、运算求解等，给考生提出较高的要求。2017年数学科高考贯彻高考内容改革的要求，文理科均命制了一大一小两个应用题，继续加强应用意识的考查。

例如文理科19题，试题以现实社会中常见的工厂生产线质量控制为背景，结合统计与概率的基础知识，精心编制了一道模型判断、数据处理和数字特征求解与应用的题目。考查了概率模型和统计意义的理解与应用，考查了考生对实际问题进行统计建模的能力、数据处理的能力和应用的能力等。理科第（Ⅰ）问，通过建立二项分布模型，求解离散型随机变量X的数学期望；第（Ⅱ）问，要求利用“3σ”原则解释监控生产过程方法的合理性，还要求根据抽样数据通过合理计算估计参数μ和σ；文科第（Ⅰ）问，根据抽样数据计算相关系数r，并利用计算结果对实际问题做出判断；第（Ⅱ）问，要求考生在阅读理解的基础上，通过分析数据解释生产过程是否出现异常，再根据抽样数据通过合理计算估计均值和标准差。此外，文科第2题以农作物生产为情景设计统计应用的问题，理科第12题以大学生创业为背景设计数列应用的问题，这些试题情景丰富、背景公平、贴近考生、贴近生活，具有浓厚的时代气息，要求考生应用数学原理和数学工具解决实际问题，对考生的阅读理解能力、运算求解能力、推理论证能力等进行了全方位的考查，体现了数学在解决实际问题中的巨大作用和应用价值，凸显高考改革中加强应用性、实践性的特点。

（三）关注数学核心素养，突出选拔性

数学核心素养是指具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的思维品质与关键能力。高考试题依托数学知识考查数学能力，尤其是学生的理性思维（特别是逻辑思维）与数学思想方法，从本质上讲，就是对数学核心素养的考查。2017年高考充分发挥数学思维学科的特点，较为全面地考查了数学六大核心素养。

例如，文理科第21题的第（Ⅰ）问，试题给定函数f (x)，要求考生讨论f(x)的单调性，因为f(x)的解析式中含有参数a，所以在求解导函数的零点时，需要对参数a进行分类讨论，并据此求出函数的单调区间；在此基础上，理科第（Ⅱ）问要求根据函数有两个零点的条件，文科第（Ⅱ）问要求根据函数值非负的条件，确定参数的取值范围。试题层层深入，考查考生思维缜密性、严格推理能力，凸显数学核心素养中的数学运算、逻辑推理等素养的考查。此外，理科第7题、文科第6题、文理科第18、20题等考查了直观想象素养；文理科第19题等考查了数据分析和数学建模等素养。试卷中大量的试题还将数学运算、数学抽象与逻辑推理等素养的考查有机结合，综合考查考生的核心素养。同时，试题也充分考虑到考生数学素养的差异，绝大多数试题的解题方法、思维方式都不是唯一的，而是多种多样，如文理科12题，理科16题等，由于解题路径和方法的差异，能影响运算的复杂程度与解题时间的长短，从而达到区分考生数学能力和核心素养的差异，体现了高考的选拔功能。

（四）弘扬优秀传统文化，体现人文性

今年首次把数学文化的考查写进《考试大纲》，引发了广泛的关注。其实，对于数学文化的考查，近几年的试题已经有所体现，但一般侧重于引用我国古代数学名著名题，结合函数、数列、立体几何、算法等内容加以呈现，这些问题体现了创新应用的考查。

2017年全国Ⅰ卷数学试题虽未在数学文化考查上有大的动作，但也有所尝试。例如理科第2题、文科第4题以我国太极图中的阴阳鱼为原型，设计几何概型以及几何概率计算问题，可以看出命题者试图通过本题的求解，渗透数学文化，体现数学的人文性，使考生感受中华传统优秀文化的民族性与世界性，深刻地认识到中华民族优秀传统文化的博大精深和源远流长，激励他们创造出更加辉煌的成就。

二、备考对策

（一）掌握方向，明确考查要求

备考方向和复习内容的选择对总复习而言至关重要，就如罗盘对于航海一样，《考试大纲》和《考试说明》明确了考试形式和范围、规定了考核目标和要求，指明了总复习的方向，是总复习最重要的参考书。从这几年看，每年的《考试大纲》和《考试说明》都要等到学年下学期才发布，势必影响总复习，但由于这两本书的变化不大，因此可以使用前一年的《考试大纲》和《考试说明》先用于复习指导，再根据当年的进行调整。

备考时，应根据《考试大纲》明确知识、能力、个性品质和考查要求，再根据《考试说明》了解如何通过数学基础知识、数学思想方法和数学能力落实考核目标和要求。我们知道，试卷中不同位置、不同题型的试题，在考查不同知识、能力、思想方法及其层次上有不同的功能，认真研读《考试说明》，理解数学基础知识的考查要求，教学时不产生新的热点，可以减轻学生不必要的负担，有利于考生复习备考。

（二）夯实基础，重视能力培养

基础知识即重点知识，夯实基础就是在全面复习必考内容的前提下，重点复习数学基础知识。《考试大纲》指出对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点。对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体。这表明《考试说明》中列出的6大基础知识：函数与导数、数列、三角函数、立体几何、解析几何、概率与统计，是高考数学的重点内容，要重点复习。同时还应注意6大基础知识常常综合考查，在知识网络的交汇点设计试题，在综合中考查能力，所以还应梳理基础知识的内在联系，搭建成条理清晰的知识网络。

“以能力立意命题”是数学的学科特点和考试目标所决定的，重视数学能力的培养，这既是数学的学科特点，也是能力立意的考试要求。《考试大纲》明确规定，数学能力包含了抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识等。备考时，首先要明确，不同的基础知识承载着不同的能力要求，培养能力的途径之一就是提高基础知识的灵活运用，缺漏的知识将是影响能力发挥的致命点，总复习时应经常查缺补漏，《考试大纲》罗列的考试内容与要求就是很好的比对；其次，由于学科的特点，对推理论证能力和抽象概括能力的考查贯穿于全卷，是考查的重点，应重视，而运算求解能力是“基本功”，决定了推理论证的正确执行和抽象概括的实现，近年来，高考试题特别重视含字母的式子的运算，运算求解能力不过关，解题终将失败，也应重视。

（三）领会思想，在实战中落实

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，它是解决数学问题的“领航员”。《考试说明》指出，数学思想方法主要包括函数与方程的思想，数形结合的思想，分类与整合的思想，化归与转化的思想，特殊与一般的思想，统计与概率的思想等。高考对数学思想方法的考查往往决定了试题的大致位置和难易程度，比如，对分类与整合的思想的考查往往放在把关试题的位置，突出考查考生思维的严谨性和周密性；教学思想方法的途径之一是“提炼”和“内化”，复习时，教师应善于从试题解答的过程中提炼蕴涵其中的思想方法，加强数学思想方法的提炼渗透，使学生领悟并逐渐学会运用数学思想方法；途径之二是“实战”，即实战高考真题，实际上，高考试题的思想方法往往蕴含在近几年试题的解题思想方法之中，这也是体现高考试题稳定性和发挥高考试题的导向作用的一个方面。

［1］曹军．“通性通法”应为解题首选方法［J］.数学通报，2012（7）.

［2］教育部考试中心.2017年普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科）［M］.北京：高等教育出版社，2017．

［3］教育部考试中心.2017年普通高等学校招生全国统一考试大纲（文科）［M］.北京：高等教育出版社，2017．

（责任编辑：万丙晟）

（一、二等奖名单略，详见福建省教育厅网站）