“比的定义”的解读、思考与启示

吕强

【摘要】本文从审慎研读、多向对比，明确外延、精准释疑和拓展概念、消除歧义三方面论述“比”的概念，指出了生活中常用的“比”只归属第一种外延，即同量数求比的情况。

【关键词】比的定义 解读与思考 生活经验 对比 反思

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2017）07A-0070-01

在生活体验中，“比是同一种数集的算术划分”的观念深入人心，这与数学上对“比”的定义有出入。在感知经验和认知观念相悖的情形下，教师对教材的解读以及针对教材内容拓展的教学实践普遍感到困惑。笔者也发现部分老师对“比的定义”有些偏颇：路程和时间的比不是同类量求比，那么算数学范畴内的一个“比”吗？若是，比的定义里并没有“单位”这个定义项，路程/时间的单位是km/h或者m/s。比值的大小是唯一的，但是却可以因为采用的单位不同而用不同的数值表示（如1km/h=m/s，1m/s=3.6km/h）；竞技对抗比赛的比分是一个数学比吗？若是，那么比的后项可以为0，显然违背了除数不能是0的公理；不同类量求比，能否赋予数学意义和价值？这些围绕“比的定义”产生的疑虑，值得教师钻研和反思。

一、审慎研读，多向对比

1.教材对比——不同版本教材对比定义的异同对比。人教版是“两数相除又叫做两数的比”；苏教版是“两个数的比表示两个数相除”；而北师大版定义为“两数相除，又叫做两个数的比”。比较这三种版本的教材，我们不难发现，“两数相除”是内涵精义。其外延囊括了同类量求比和不同类量求比两种情况。

2.论述对比——数学论述上，到底怎样定义“比”呢？一些数学权威专著对比的定义大同小异，除了个别语词有细微差别，结构含义基本相同。追根溯源，“比”早期只有狭义定义即是同量数之比，表示若干个同量数之间的相除关系。随着历史演进和比的语义的不断丰富，慢慢出现了不同类量的比的情况。综合两种情况，比才有了相对广义的定义：“两个数相除又叫做两个数的比。”由此可见，非同类量的两个数相除，也能构成比。有的文献明确指出：“比是两个数量的对应关系的联合直观反映，根据情境的不同，对应关系主要有四类：一是组合关系，两个量按一定倍数关系组合成有机整体，如1个茶壶和3个茶杯组成一套茶具；二是从属关系，一个量属于另一个量，如30个患者中有5个患的是禽流感；三是兑换关系，两个量按一定价值比进行等价兑换，比如汇率；四是浓度关系，根据概念定义项的认知度要高于被定义项的规则，用两个已熟知的不同类的具体量的倍数关系来反映和描述同一种物体的另一个抽象量。”

3.跨域对比——在自然学科中，还有类似于密度、压强等概念。把物質的质量和其体积的比值定义为密度，用力与面积的比值定义为压强，这些都是不同类量相除的形式。

二、明确外延，精准释疑

综上所述，可以明确数学中“比的定义”的外延应包括两个子集，即同类量和不同类量的两数相除的形式。也就是说，路程和时间的比确凿无疑是一个“比”，那么如何解释单位名称和值不唯一呢？我们可以这样理解：路程除以时间的商有单位，这个单位是由前两个量的单位共同作用决定产生的，这与“比值”没有关系；路程单位的多样化与时间单位的多样化直接导致速度单位的多样化。如：1km∶1h=1km/h=m/s，1m∶1s=1m/s=3.6km/h。如果考究其意义，那么严格来说速度是一个数值比与单位比的组合体，即1∶1=1；km∶h=km/h，组合起来为1km/h。这种组合体与另一种组合体兑换时，也有一定的“比例”，即1km/h=m/s，1m/s=3.6km/h。数学和生活密切相关，但是数学的严谨与生活的形象并非一一照应，数学概念的表述必须符合严肃性、学术性，生活经验的表述更多趋向于感性形象，应该严格加以区分。把球赛比分4∶0看成数学比，是将生活表达和学术表达混为一谈，但从“两数相除叫做两个数的比”这个概念出发，4÷0毫无意义。因此，4∶0不是数学比，仅仅是比分书写的一种形式，它的意义更多地在于表现“差值”而不是“商值”。

三、拓展概念，消除歧义

数学领域中的许多概念与生活表述不完全一致，教师该如何正确看待这个特殊现象呢？数学概念的定义是以多种生活经验为感性材料，抽象概括而成的，具有普遍意义。

例如，“角”的数学定义是：“有共同端点的两条射线组成的图形叫角。”角的度数可以大于360°，也可以小于0°。这与人们“角的度数不大于180°也不能是负数”的经验感知不一致。这时教师不能否定和推翻教材中角的定义，而是要丰富和完善角的定义方式，在一个平面坐标轴中重新拓展角的概念外延。

总之，当生活感知和数学感知悖逆时，教师应引导学生加深对数学概念的理解，理性区别生活经验和数学概念。

（责编 林 剑）endprint