三角函数最值的几种方法探讨

吴静

摘要：众所周知，高中3年的数学知识中，函数一直扮演着其他知识的根基的角色，在最终的高考试卷中，也是重中之重的地位。在函数的众多问题中，三角函数又是其中的考查重点，而三角函数中对包括了三角函数的概念、图像、性质及诱导公式、同角三角函数间基本关系式、两角和差以及倍角公式等相关的知识点的最值问题更是变换形式的出题考察。但是关于三角函数最值的题目的解法，则根据其变化多端的特点，相应的也是会做出很多改变和调整，以更好的解决此类问题。在此笔者特在此整理编辑了这篇对高考中涉及到三角函数最值问题的文章，旨在理顺读者对该知识点的理解，提高学生解此类题型的能力，更主要的是帮助学生树立函数思维，通过举一反三，融会贯通，用自己的方式解题才是本文主旨。

关键词：高中数学；三角函数；最值方法

在整个高中三年的学习中，三角函数的最值问题都是很主要的一个问题。本文通过对历年高考真题的研究，对求三角函数最值的一些方法作出了讨论与总结，下面是结合实例总结出的几种求三角函数最值问题的方法。

一、数形结合的思想

数形结合是数学中四种重要思想方法之一，它既具有数学学科的鲜明特点又是数学研究的常用方法。数形结合就是将题目中的数字转化为图形，将图形上的信息转化为文字。尤其是在选择填空题中，运用数形结合的方法，可以做到直接解出答案；而在解答题那些大题中，也能起到辅助的作用。转化和构造是利用函数图象处理问题的关键。在求方程的解之类的问题时，可以把方程转化为几条曲线求交点的问题，从而简化形式，便于求解。

例1：求 y=（2- sinx）/（2- cosx）的最值。

解 ： 因 cos2x+sin2x=1，

点（ cosx，sinx）是单位圆上的点。

∴y=（2- sinx）/（2- cosx）

就表示从点（ 2， 2） 向单位圆所引的直线的斜率， 最值就是两切线的斜率.

令过点（ 2， 2）的切线方程为：y- 2=k（x- 2）

即 kx- y+2- 2k=0

因原点（ 0， 0）到切线的距离为1

∴| 2- 2k| /（k2+1）1/2=1

k=（4±）/3， ymin=（4- ）/3

点评：像这样一些在表达式中存在分式形式的题目很常见，这时候我们就要把分母不为零这个隐含条件加进去，从而对x进行了一些限制。还有，根据表达式的内容，我们可以判断出其图形是什么，归为哪一类，以及所要求出的内容。这时利用数形结合，把圖画出来，其中有一次函数、二次函数不等，不同的函数对应不同的图形，其定义域、值域也都有不同的限制范围。根据图形本身的性质来限制函数，这样由图形反应到数字上，更直观更便捷。比如这道题，就是用直线的斜率来求解的。通过一些化简和基础的运算，将函数反应到图形上，由图形来简化问题的本质，最

后求解也更容易[1]。

二、三角函数基本性质的运用

例2：求y=（1+sinx）/（1+cosx）的最大与最小值。

分析： 因为给出的函数中含有sinx与cosx，应化为同名三角函数，于是利用三角函数的性质———万能代换公式。

解： 利用万能代换公式有

y=[ tg2（x/2）+2tg（x/2）+1] /[ 3+tg2（x/2）]

由此得： （ y- 1） tg2（x/2）- 2tg（x/2）+3y- 1=0（y≠1）

由上述方程中判别式△≥0，得

0≤y≤4/3

∴有 ymax=4/3 ，ymin=0

点评： 在一些题目中，会遇到不同名函数之间求最值的问题。这要求学生们熟练地掌握同角三角函数的性质及万能代换公式内容。只有熟练的掌握基础知识，将三角函数的性质理解的特别深入透彻，才能够去运用，去用来解决一些问题。在不同名函数求最值问题时，利用换元法将三角函数问题转化为代数函数，然后利用万能公式和判别式求解，这已经形成了一套解题思路，我们在对学生进行讲解时，既要注意这一套解题思路的连贯性，又要注意对学生们思维的拓展。这道题目中含有sinx与cosx，就是运用换元法与万能公式和判别式的结合来求得最大值和最小值的[2]。

三、二次函数性质的运用

例3：已知函数f（ x） = 2cos 2x + sin2x-4cos x。

1、求 f（π/3）的值；（2）求f（x）的最大值和最小值。

解（1） f（π/3）= 2cos2π/3+ sin2π/3-4cosπ/3= -1 +3/4-2=-9/4。

2、f（ x） = 2（ 2cos2x-1）+（ 1-cos2x）-4cos x = 3cos2x-4cos x-1= 3 （cos x -3/2）2-7/3，

x ∈ R.因为 cos x ∈[-1，1]，所以当 cos x =-1时，f（ x） 取最大值6； 当cos x =2/3时， f（ x）取最小值-7/3。

点评：在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性。如果题目所给的三角函数表达式中含有正弦函数或余弦函数，而且它们的次数还不同时，一般会将给定的三角函数式转化为二次函数来求解，这主要利用了三角函数理论以及三角函数的有界性，将其转化为二次函数在闭区间上的最值问题。解决最值问题的关键之处就在于对三角函数的灵活运用以及抓住题目关键和本质所在[3]。

四、结语

三角函数在历次的高考数学中都占有相当的比重，是高中非常重要的学习内容。它可以涉及多种题型，选择、填空、解答，在前十道的选择和第一道的解答中，一般需要数形结合，做一些简单的变换来解答问题。在比较靠后的一些题中，则需要学生有良好的做题习惯以及独立思考的能力，在面对题目的时候能够通过平时的练习将自己的数学思维与解题方法和技巧熟练地运用出来。三角函数的学习大部分在高一阶段就已完成，我们的目的就是培养学生的思维能力，形成好的思维习惯。通过对三角函数的学习和思考能够加深学生对三角函数的认识和理解。以上我们给出的几种求三角函数最值问题的解法在中学数学教学中是经常用到的，但我们在求最值时，不能拘泥于上述这几种形式，我们可以通过一些恰当的处理，将解题思路传授给学生，来达到预期的目的。在解题的过程中我们要鼓励学生从不同的角度去思考，以便学生能够拓宽思维，提高解决问题的能力。

参考文献

[1] 郝连军.例析高中数学三角函数解题中存在的问题[J].新课程·中旬，2013，（10）：211-211.

[2] 陈林松.刍议高中数学三角函数学习之要[J].理科爱好者（教育教学版），2013，5（1）：38-39.

[3] 张梦瑶.浅析高中数学中的三角函数变换[J].文理导航（中旬），2016，（1）：16.endprint