电磁驻波中的能量与能流分布探讨

张 孟 吴赵龙 陆 慧 汪 溶 钟菊花

(1华东理工大学理学院物理系，上海 200237)

电磁驻波中的能量与能流分布探讨

张 孟1吴赵龙1陆 慧1汪 溶1钟菊花1

(1华东理工大学理学院物理系，上海 200237)

本文对平面时谐电磁波形成的驻波能量与能流的分布情况进行了理论推导，探讨了电磁驻波能量的分布特征。结果与机械波形成的驻波场进行比较，揭示了驻波能量和能流的规律具有普遍性。

电磁波；驻波；能量；能流

波动是自然界一种普遍运动形式，波的概念在物理学中极其重要。对于工科大学物理课程来说，波动知识点贯穿始终，从力学模型引出的机械波到麦克斯韦方程组的电磁波，再到波动光学中的干涉、衍射、偏振，最后到量子力学部分的物质波以及波函数。波是经典物理和量子物理的结合点，因此掌握好波的知识点是学好大学物理的重要一环。然而对于波叠加涉及能量问题时常常会出现一些似是而非的矛盾，笔者在教学过程中经常与学生以及同事对波的能量问题进行讨论。赵凯华先生也对波叠加时的能量佯谬问题专门撰文论述过，解答了读者普遍存在的一些疑问[1]。已有的一些关于驻波能量讨论都是局限在机械波范畴内，如一列机械波与其反射波形成的驻波场中，不存在沿单一方向的能流[2-7]。迄今为止，还没有关于电磁波形成的驻波方面的文章报道。为此，本文从不同的角度出发，对一列平面时谐电磁波形成的驻波进行分析，得到类似机械波的结论，说明驻波能量与能流的分布规律具有一般性。这些结论很好地补充了波叠加时的能量问题，为进一步深入理解经典波动光学中能量叠加和量子物理波函数物理意义提供了参考价值。

1 驻波的描述

介质中传播的电磁波与界面处的反射波叠加形成驻波场是常见的一种物理现象，例如微波在一端放置短路面的波导中传播时，波导内便形成了驻波状态；但在波导中传播的电磁波较为复杂，一般不可能是横电磁波[8]，笔者仅讨论平面时谐电磁波形成的驻波场，例如光学谐振腔中的激光光场。

假设一列平面时谐电磁波在电容率为ε、磁导率为μ的线性介质中与其反射波形成驻波场，若其电场强度幅值为E0，磁感线强度幅值为B0，角频率为ω，波数为k，则此二列电磁波的表达式可以写为

(1)

在相遇区域内叠加后，形成驻波场，有：

(2)

利用和差化积公式，不难得到：

(3)

同理可以得到，驻波波节的位置坐标为

进一步可以发现，驻波场中波腹x1处，电场强度的振动幅度最大，但是磁感应强度的振幅为零；而波节x2处，电场强度的振幅为零，但是磁感应强度的振幅最大。综上可以定性地看出，驻波场中电场能量最大的位置磁场能量最小，两部分能量的空间分布情况完全不同。

2 驻波的能量

我们先考虑一般位置处，驻波场中电场能量和磁场能量的时间和空间分布情况。

在线性介质(ε、μ)中传播的电磁波，其电场能量密度ωE和磁场能量密度ωM的计算公式为

(4)

将式(3)代入式(4)中，得到电场能量密度ωE与磁场能量密度ωM的具体表达式：

(5)

法拉第电磁感应定律的微分形式为

将式(3)代入此式，即：

(6)

对于驻波场中波腹x1处，由式(5)可得其能量密度：

(7)

(8)

同理，对于驻波场中的波节x2处，能量密度为

(9)

(10)

3 驻波的能流

利用式(3)计算线性介质(ε、μ)中驻波的能流密度S:

(11)

(12)

为确保能量仅在相邻的波腹与波节之间来回流动，而不流过波腹和波节的结论正确，我们最后来计算相邻波腹和波节之间的总能量。假设驻波场中的体积元为dτ=Adx，则结合式(5)，计算相邻波腹与波节之间的电场能量WE和磁场能量WM为

(13)

结合式(6)，可以得到相邻波腹与波节之间的总能量Wtot：

(14)

从式(13)、(14)可以看出，相邻波腹与波节之间的电场能量与磁场能量均随时间周期性变化，但它们之和却不随时间变化，即相邻波腹和波节之间的总能量守恒，与驻波场中的其他部分之间不存在能量的转移，能量只在波腹和波节之间来回振荡。

4 总结

本文从平面时谐电磁波形成驻波场的假设出发，研究了其能量与能流的特点，发现以下结论：

(1) 该驻波场中，波腹位置处磁场能量密度恒为零，电场能量密度随时间周期性变化；波节位置处电场能量密度恒为零，磁场能量密度周期性变化。

(2) 驻波场中，电场能量密度与磁场能量密度之和的平均值不随位置的改变而不同，波腹附近电场能量密度的平均值更大，波节附近磁场能量密度的平均值更大，但各位置处总能量密度的均值相同。

(3) 驻波场中的能量仅在相邻的波腹与波节之间来回流动，且相邻波腹与波节之间的电场能量和磁场能量之和守恒，并不与其他部分存在能量交换。

将上述结论与机械横波形成的驻波场[2]进行比较，可以发现驻波能量和能流的特点具有一般性。

[1] 赵凯华.波叠加时的能量佯谬[J].物理与工程,2008,18(5):2-4.ZhaoKaihua.Paradoxesofenergyonwaveoverlapping[J].PhysicsandEngineering, 2008, 18(5): 2-4. (inChinese)

[2] 郭建军.关于驻波能量的分析[J].大学物理,2005,24(5):23-25.GuoJianjun.Theanalysisaboutenergyofstandingwaves[J].CollegePhysics, 2005, 24(5): 23-25. (inChinese)

[3] 陶宗明,聂淼,储德林.相向传播的两列简谐波叠加时能量问题的研究[J].大学物理,2012,31(11): 11-13.TaoZongming,NieMiao,ChuDelin.Thestudyontheenergyproblemoftwocounter-propagatingharmonicwavessuperposition[J].CollegePhysics, 2012, 31(11): 11-13. (inChinese)

[4] 周越,张国锋.对简谐波能量的讨论[J].大学物理,2015(10):15-16+19.ZhouYue,ZhangGuofeng.Thediscussiononenergyofharmonicwaves[J].CollegePhysics, 2015(10): 15-16,19. (inChinese)

[5] 梁法库,徐宝辰,刘道森.非均匀介质的驻波演示及分析[J].物理与工程,2004,15(4): 59-60.LiangFaku,XuBaochen,LiuDaosen.Thedemonstrationandanalysisonstandingwavesinheterogeneousmedia[J].PhysicsandEngineering, 2004,15(4): 59-60. (inChinese)

[6] 李建青,袁松柳.关于两个驻波叠加结果的讨论[J].物理与工程,2002,12(4): 13-14.LiJianqing,YuanSongliu.Thediscussiononthesuperpositionresultoftwostandingwaves[J].PhysicsandEngineering, 2002,12(4): 13-14. (inChinese)

[7] 赵慧,王银海,邓颖宇,等.用3DStudioMax演示驻波的振动[J].物理与工程,2010,20(2): 34-36.ZhaoHui,WangYinhai,DengYinyu,etal.Demostratingthevibrationofstandingwavesby3DStudioMax[J].PhysicsandEngineering, 2010,20(2): 34-36. (inChinese)

[8] 郭硕鸿.电动力学[M].北京：高等教育出版社，2008.

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EXPLORE THE DISTRIBUTION OF ENERGY AND ENERGY FLOW IN ELECTROMAGNETIC STANDING WAVES

Zhang Meng Wu Zhaolong Lu Hui Wang Rong Zhong Juhua

(Department of Physics, East China University of Science and Technology, Shanghai 200237)

In this article, theoretical derivations were carried out to reveal the distribution of energy and energy flow of the plan harmonic electromagnetic standing waves. The distribution properties of the standing wave energy are discussed in detail. It was found that the forms of electromagnetic wave distributions are in consistent with the standing wave generated from the mechanical wave field, which reveals the law of standing wave energy and energy flow is universal.

electromagnetic wave; standing wave; energy; energy flow

2016-05-29

华东理工大学教改项目(YK0126111、YK0126102);国家级大学生创新创业训练计划项目(201510251063)。

张孟，男，副教授，主要从事物理教学科研工作，研究方向为计算物理，mzhang@ecust.edu.cn。

张孟，吴赵龙, 陆慧,等. 电磁驻波中的能量与能流分布探讨[J]. 物理与工程，2017，27(5)：47-50.