黏弹性地基上功能梯度材料板的振动分析1)

黄小林 吴 伟 王 熙

∗(桂林电子科技大学建筑与交通工程学院，广西桂林541004)

†(桂林电子科技大学机械工程学院，广西桂林541004)

黏弹性地基上功能梯度材料板的振动分析1)

黄小林∗,2)吴 伟†王 熙∗

∗(桂林电子科技大学建筑与交通工程学院，广西桂林541004)

†(桂林电子科技大学机械工程学院，广西桂林541004)

为研究黏弹性地基上功能梯度材料板的自由和强迫振动特性，基于Reddy高阶剪切变形理论以及由Shen导得的广义Karman型方程，用双重Fourier级数法推导了三参数黏弹性地基上四边简支功能梯度材料板自由振动和动力响应的解析解，计算了各模态自振频率和半波冲击载荷作用下的动力响应，讨论了材料组分指数、黏弹性地基参数、边厚比等因素对自由振动和动力响应的影响.结果表明，黏弹性地基的剪切和压缩刚度显著提升了功能梯度材料板的振动频率，减小了动力响应;另外，地基的黏性对振动频率和动力响应也有一定的影响.

黏弹性地基，功能梯度材料，自由振动

弹性地基上板类结构是公路、土木等工程中常见的结构形式，其动力特性一直为研究者们所关注，迄今为止，已有不少学者分别基于 Winkler地基模型[12]和双参数 Pasternak地基模型[34]进行过研究，但由于这些模型忽略了地基黏性和地基与结构之间的时间作用效应，不能反映工程的实际情况，影响了结果的准确性，因此，有部分学者基于黏弹性地基模型进行了分析.其中，寇磊等[5]计算了分数阶微分双参数黏弹性地基板在冲击载荷作用下的动力响应，结果表明地基粘滞系数越大，板中心响应达到初始峰值的时间越短，初始峰值也越小，位移响应的振幅衰减越来越激烈，肖勇刚等[6]通过分析黏弹性地基上四边自由矩形中厚板非线性自由振动的计算结果，发现由于地基黏弹性作用振动频率的衰减速率随振动频率的减小而减弱.蒋建群等[7]在研究Kelvin黏弹性地基上移动载荷作用下无限大板的稳态响应时，揭示了板挠度分布受载荷移动速度的影响随着地基阻尼的增大渐趋明显.卢正等[8]对黏弹性地基在矩形变速载荷作用下强迫振动的分析，表明了相同条件下弹性地基引起的响应大于黏弹性地基，且载荷频率对位移的影响依赖于地基的阻尼.可见，要更准确分析实际地基上板结构的振动特性，地基的黏性是不可忽略的.

关于功能梯度材料(functional graded materials, FGM)剪切板的振动，近几年，徐坤等[9]、段文峰等[10]、尹硕辉等[11]和李清禄等[12]基于一阶剪切变形理论分别用 Navier级数法、有限元等方法研究过此类问题.一阶剪切变形理论简单、高效，但由于需要引进剪切系数来调整剪切刚度，有局限性. Reddy[13]的研究表明，一阶剪切变形理论计算低阶固有频率时比较精确，但计算高阶固有频率时误差会随着阶数的增大而增大.Thai等[14]基于高阶剪切变形理论研究了Pasternak弹性地基上FGM板自由振动的解析解.

为推广FGM板在实际工程中的应用，一些学者已开始分析黏弹性地基上FGM板的振动特性.其中，Xu等[15]用拉普拉斯变换和微分求积法推导了双参数黏弹性地基上FGM圆板瞬态响应的解析解. Hasheminejad等[16]用 Dubin拉普拉斯数值变换研究了冲击载荷作用下双参数黏弹性地基上 FGM板的动力响应.而对三参数黏弹性地基上构件的动力特性,目前发表的文献大都集中于各向同性梁、板的研究，对 FGM板鲜有提及，因此，本文基于Reddy[13]高阶剪切变理论以及由 Shen[17]导得的广义Karman型方程，用双重Fourier级数法研究三参数黏弹性地基上四边简支FGM剪切板自由振动和动力响应的解析解，讨论材料成分指数、黏弹性地基参数等因素对自由振动和动力响应的影响，对进一步了解FGM板动力特性，推广FGM板在相关工程的应用是十分有益和有必要的.

1 基本方程及求解方法

设长a、宽b、厚h的四边简支FGM中厚板位于黏弹性地基上，板的弹性模量E、泊松比ν、密度ρ等物性参数在厚度位置z处可表示为

下标U,L表示板的上、下表面，N为材料组分指数.

设板的一个角点为直角坐标原点，板所在的平面为xy平面，厚度方向为z方向.W 为z方向的位移,Ψx和Ψy分别为中面对y和x轴的转角，F为应力函数，F与面内力的关系为

假设板和地基在变形过程中一直保持接触，其相互作用力用三参数形式表示

根据Reddy[13]高阶剪切变形理论和由Shen[15]推导的广义Karman型方程，三参数黏弹性地基上FGM板的小挠度运动微分方程可表示为

式中,变量顶上圆点表示对时间的偏导，微分算子Lij(i,j=1,2,3,4)和常量 Ii(i=8,9)的定义见文献[14-15].

假定边界为四边简支，边界条件表示为

在x=0,a处

在y=0,b处

设方程(4)～(7)的解可展开成双重Fourier级数和的形式

将横向动载荷也展开成如下双重 Fourier级数的形式

式中

将式(9)代入式(5)，由等式两边双重Fourier级数系数相等可将fmn(t)用wmn(t),ψxmn(t),ψymn(t)表示，再代入式(4)、式(6)和式(7)可整理得

式中，Umn=[wmn(t),ψxmn(t),ψymn(t)]T为位移向量,Bmn=[qmn(t),0,0]T为载荷向量,Kmn=[kij], Mmn=[mij],Cmn=[Cij]分别为刚度、质量和阻尼矩阵.阻尼矩阵中，只有元素C11不为零，其他元素均为零，(i,j=1,2,3).刚度、质量和阻尼矩阵的元素表达式限于篇幅，不再详述.

当Bmn=0时，式(12)即为三参数黏弹性地基上FGM板的自由振动方程，用复模态理论可以求得各模态(m,n)的自由振动频率；Bmn/=0时，用Newmark数值积分法可求得横向动载荷作用下的动力响应.一般情况下，板的小挠度运动方程(4)～方程(7)中转角惯性项的影响较小,即方程中x和项可以忽略，方程组(12)可以进一步简化为Wmn(t)的二阶常微分方程.

2 算例比较与参数分析

以下计算实例中，FGM板的无量纲固有频率参数、黏弹性地基参数定义为

表1 FGM板无量纲基频ω的比较

2.1 算例比较

表 1将按本文方法计算的 FGM板无量纲基频与文献[14]相应计算结果进行了比较,考虑了有Pasternak弹性地基和无弹性地基两种情况.FGM板由 Al和 aluminum两种材料构成，Al的弹性模量、密度和泊松比分别为 Em=70GPa，ρm= 2702kg/m3,νm=0.3,aluminum的弹性模量、密度和珀松比分别为Ec=380GPa，ρc=3800kg/m3, νc=0.3，长宽比a/b=1,边厚比a/h=10无量纲基频参数.从表1可看出，本文结果与文献[14]的结果非常接近.

2.2 参数分析

假设FGM板由Ti-6Al-4V和Al2O3两种材料构成，从顶面到底面，材料由 Al2O3到 Ti-6Al-4V逐渐变化,Ti-6Al-4V的弹性模量、密度和泊松比分别为 Em=105.7GPa，ρm=4429kg/m3,νm= 0.2981，Al2O3的弹性模量、密度和泊松比分别为Ec=320.24GPa，ρc=3750kg/m3,νc=0.26.

各种参数条件下FGM板的自由振动频率结果列于表2、表3及图1中.

表2计算了不同地基参数、边厚比、材料组份指数的FGM方板的无量纲基频.从表中可以看出，无量刚基频随着地基压缩参数Kw、剪切参数Ks和边厚比a/h的增大而提高，随着材料组份指数N的增大而降低.可见，黏弹性地基参数Kw和Ks的增大强化了板的整体刚度，而材料组份指数的增加意味着FGM中金属材料的增加，因为两种FGM材料中金属材料的强度比金属材料小，引起板的整体刚度减小而造成其基频降低.表2还比较了a/h=5时，(Kw，Ks，Kc)分别为弹性地基(100，100，0)和黏弹性地基(100，100，0.3)两种情况下的无量纲基频，从中可看出，地基黏性降低了自振频率.

表 3计算了三参数黏弹性地基上不同长宽比的 FGM板各模态的自由振动频率,材料组分指数N=2.0.从表中可以看出，随着长宽比的增大，板的各模态自振频率明显提高.

表2 黏弹性地基上FGM方板无量纲基频

表3 黏弹性地基上FGM板各模态无量纲自由振动频率(a/h=10)

图1比较了(a)双参数Pasternak弹性地基和(b)三参数黏弹性地基Kc=0.3上FGM方板的基频，地基压缩和剪切参数Kw=100，Ks=100，材料组分指数N=2.0，边厚比a/h=10.由图1可以看出，地基剪切参数 Ks对频率的影响比地基压缩参数Kw的影响明显，地基阻尼的存在也一定程度上降低了FGM的自振频率.

图2～图4讨论了黏弹性地基参数、材料组分指数、边厚比等因素对FGM动力响应的影响.横向动载荷为作用于板中心(a/2,b/2)的横向半波冲击载荷

图1 弹性和黏弹性地基上FGM板基频

由图2可以看出，不同地基模型对板的中心动挠度影响较大，随着地基压缩参数Kw和地基剪切参数Ks的增大而明显减小，而地基黏性参数Kc对动挠度的影响较小.

由图3可以看出，板的中心动挠度随着材料组分指数N的增大而增大，而且这种增加的幅度越来越小.这是因为材料组分指数的增加意味着材料中非金属的成分越来越高，而两种材料中非金属的强度比金属的强度高而造成板的整体刚度增强，当材料组分指数增大到一定程度，整体刚度增加的幅度有限的缘故.

图4显示了板的边厚比对板的中心动挠度的影响.由图4可以看出，随着边厚比的增大，板的动挠度越来越小，这是因为板越薄则整体刚度越小，引起板的动挠度越来越大.

图2 黏弹性地基参数对FGM方板中心动挠度的影响(a/h=20)

图3 材料组分指数对黏弹性地基上FGM方板中心动挠度的影响

图4 边厚比对黏弹性地基上FGM方板中心动挠度的影响

3 结论

本文基于 Reddy的高阶剪切变形理论和 Shen导得的广义Karman型方程，用双重Fourier级数展开法研究了三参数黏弹性地基上四边简支FGM剪切板自由振动和动力响应的半解析解，计算结果表明,地基弹性和黏弹性模型对FGM板的自由振动和动力响应有明显的影响，板的自振频率随着地基压缩和剪切参数、边厚比、长宽比的增大而提升，随材料组分指数、地基粘性参数的增大而降低，板的动力响应随着地基压缩和剪切参数、边厚比的增大而降低，随材料成分指数的增大而增大.另外，地基的剪切参数比压缩参数对自振频率的影响更加显著.

1李善倾，袁鸿.Winkler地基上固支薄板自由振动问题的准Green函数方法.应用数学和力学，2011，32(3)：253-262

2藤兆春，丁树声，郑鹏君.弹性地基上变厚度矩形板自由振动的GDQ法求解.应用力学学报，2014，31(2)：237-240

3刑誉峰，徐腾飞.双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板自由振动的精确解.振动工程学报，2014，27(2)：269-274

4刘小云，田润利.移动载荷作用下沥青路面稳态响应与计算.力学与实践，2009，31(3)：64-68

5寇磊，白云.分数阶微分双参数黏弹性地基矩形板动力响应.振动与冲击，2014，33(8)：141-147

6肖勇，袁彦磊.黏弹性地基上四边自由矩形中厚板的非线性自由振动分析.长沙理工大学学报，2014，11(3):21-25

7蒋建群，周华飞，张士乔.移动载荷作用下Kelvin地基上无限大板的稳态响应.浙江大学学报(工学版)，2005，39(1)：27-36

8卢正，姚海林，吴莎等.黏弹性地基板在矩形变速载荷作用下的振动分析.岩土力学，2010，31(11):3613-3616

9徐坤，陈美霞，谢坤.正交各向异性功能梯度材料板的振动分析.噪声与振动控制，2016，36(4)：14-20

10段文峰，周立明，蔡斌等.功能梯度材料板动力分析的光滑有限元法研究.力学季刊，2015，36(4):713-720

11尹硕辉，余天堂，刘鹏.基于等几何有限元法的功能梯度材料板自由振动分析.振动与冲击，2013，32(24):180-186

12李清禄，张靖华，李世荣.FGM中厚圆板轴对称自由振动的打靶法求解.振动与冲击，2016，35(18):95-100

13 Reddy JN.A ref i ned nonlinear theory of plates with transverse shear deformation.International Journal of Solids and Structures,1984,20:881-896

14 Thai HT,Choi DH.A ref i ned shear deformation theory for free vibration of graded plates on elastic foundations. Composites:Part B,2012,43:2335-2347

15 Xu Liang,Wang ZY,Wang LZ,et al.Semi-analytical solution for three-dimensional transient response of functionally graded plate on a two parameter viscoelastic foundation.Journal of Sound and Vibration,2014,333:2649-2663

16 Hasheminejad SM,Gheshlaghi B.Three-dimensional elastic dynamic solution for an arbitrary rectangular plate resting on a two parameter viscoelastic foundation.Composite Structures,2012,94:2746-2755

17 Shen HS.Karman-type equations for a higher-order shear deformation plate theory and its use in the thermal postbuckling analysis.Applied Mathematics and Mechanics, 1997,18:1137-1152

(责任编辑:刘希国)

THE VIBRATION OF FUNCTIONALLY GRADED PLATES RESTING ON VISCOELASTIC FOUNDATIONS1)

HUANG Xiao-lin∗,2)WU Wei†WANG Xi∗∗(School of Architecture and Transportation Engineering,Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004,Guangxi,China)
†(School of Mechanical Engineering,Guilin University of Electronic Technology,Guilin 541004,Guangxi,China)

The present paper analyzes the vibration of simply supported plates of functionally graded materials resting on viscoelastic foundations.Based on the Reddy’s higher-order shear deformable plate theory and the general Karman-type equations derived by Shen,the analytical solutions for the free vibration and the transient response are obtained by using the double Fourier series.The natural frequencies and the transient response are obtained,and the results are compared with those of other papers.The ef f ects of the volume fraction index,the parameters of the viscoelastic foundations and the ratio of the length to the thickness are analyzed.The results show that the natural frequencies rise,but the transient responses decrease with the increase of the pressed and sheared parameters of the viscoelastic foundations,and the viscous parameter also has an ef f ect on the natural frequencies and the transient response.

viscoelastic foundation,functionally graded materials,vibration

TU311

：Adoi：10.6052/1000-0879-16-403

2016–12–12收到第1稿，2017–01–30收到修改稿.

1)国家自然科学基金资助项目(11362004).

2)黄小林，副教授，主要研究方向为复合材料板非线性振动.E-mail:hxl-68@163.com

黄小林，吴伟，王熙.黏弹性地基上功能梯度材料板的振动分析.力学与实践,2017,39(4):343-348

Huang Xiao-lin,Wu Wei,Wang Xi.The Vibration of functionally graded plates resting on viscoelastic foundations. Mechanics in Engineering,2017,39(4):343-348