数字信号处理中MUSIC方法的新教学思路

张 瑛， 万 群， 赵华鹏

(电子科技大学 电子工程学院， 四川 成都 611731)

数字信号处理中MUSIC方法的新教学思路

张 瑛， 万 群， 赵华鹏

(电子科技大学 电子工程学院， 四川 成都 611731)

多重信号分类MUSIC算法是基于信号与噪声子空间正交性的一种超分辨谱估计方法。自适应波束形成技术则是通过在干扰信号波达方向上置零来实现输出信干噪比最大化。通过在所有感兴趣波达方向上扫描，波束形成器也可以用来实现波达方向估计。MUSIC算法和波束形成技术的原理看似不同。然而，有文献表明，MUSIC算法可被表示为一个波束形成器。基于这一事实，在本文中，我们首先介绍了MUSIC算法和最小无失真响应波束形成技术MVDR的原理。然后，给出MUSIC算法和MVDR波束形成器的等价表示形式。最后，将MUSIC算法与MVDR波束形成器进行比较。通过上述内容的讲解，可以使学生获得关于MUSIC算法新的认识。

波束形成;数字信号处理;MUSIC算法

0 引言

作为我校一门重要的基础研究生课程，“数字信号处理算法和理论”主要介绍了信号的统计模型、谱估计和自适应滤波等，同时介绍了一些经典理论和算法。其中，多重信号分类MUSIC算法是最著名的空间谱估计算法之一，其主要原理是利用了信号子空间与噪声子空间的正交性，通过搜索与噪声子空间正交的导向矢量来实现目标波达方向的估计[1]。另外，最小无失真响应波束形成器MVDR作为主要用于天线阵干扰抑制的波束形成方法，也可以用于波达方向估计[2]。MUSIC算法和波束形成算法通常是分别介绍的，学生们很难找到它们之间的联系。然而，已有文献表明，MUSIC算法可以做为一个波束形成器看待[3]。在本文中，我们首先介绍MUSIC算法和波束形成技术的原理。然后，MUSIC算法作为波束形成器的一个替代方式给出。基于替代公式，对MUSIC算法的性能进行了研究，以帮助学生更好地理解MUSIC算法。此外，我们把MUSIC算法和最小方差和失真响应波束形成器MVDR进行比较，带来对MUSIC算法的新见解。

1 信号模型

窄带信号条件下，阵元数为L的天线阵的第n个阵元在t时刻收到的信号为

(1)

其中，dn表示第n个阵元位置，K表示接收到的信号总数，θi表示第i个信号波达方向，si(t)是信号幅度，λ表示波长，vn(t)是观测噪声。

式(1)可以用矩阵形式表示为

x(t)=As(t)+v(t)

(2)

其中，x(t)=[x1(t),…,xL(t)]T，v(t)=[v1(t),…,vL(t)]T，s(t)=[s1(t),…,sL(t)]T，矩阵A是阵列流型为

(3)

空间谱估计的目的是估计K个信号的波达方向θ1,…,θK。

2 波束形成算法

2.1 一般波束形成

图1表示一个L波段窄带自适应天线阵列的处理结构。波束形成器的目的是为了抑制干扰和通过调整权重值w=[w0,…,wL-1]T保持期望方向的信号不变。

图1 窄带自适应波束形成器的结构

许多自适应波束形成技术可以通过求解约束均方优化问题得到。w表示观测矢量中的权重向量，相关矩阵为R=E[xxH]，自适应阵列处理的一般优化问题为

(4a)

subject toCw=c

(4b)

其中，C是行线性无关的约束矩阵，c是约束矩阵的列向量。

可以使用经典的拉格朗日乘数方法解决上述约束优化问题：

L(w,λ)=wHRw-λH(Cw-c)+λT(C*w*-c*)

(5)

其中，λ是拉格朗日乘数向量。

式(4)中的约束优化问题的解为

wopt=R-1CH(CR-1CH)-1c

(6)

波束形成器的输出可表示为

(7)

功率可由下式计算：

(8)

这些是自适应波束形成技术的核心理论。

在所有感兴趣的空间范围内扫描可以实现对信号波达方向的估计。波束形成器的输出功率表示在相应方向上信号的功率。

2.2 最小方差无失真响应波束形成器

MVDR波束形成器通过对权值向量w施加约束以保持感兴趣频率的信号不变，并最小化来自其它频率的信号功率。

(9a)

subject towHa(θ0)=1

(9b)

其中，a(θ0)被称为导向矢量，θ0表示感兴趣的方向。

使用拉格朗日乘子法以得到式(9)的解。拉格朗日函数写为

L(w,λ)=wHRw-λ(wHa(θ0)-1)

(10)

其中，λ是拉格朗日乘数。

对复向量求导，我们得到：

(11a)

(11b)

设式(11)的值为0得到

(12a)

(12b)

在wopt条件下的输出功率为

(13)

3 MUSIC算法

通过式(2)，观测相关矩阵可以写为

(14)

由于通常假设复信号的数量小于测量样本数，即K

(15)

(16)

MUSIC空间谱定义为

(17)

注意由于本征向量构成的Un与信号导向向量正交，当θ0对应复信号频率时，分母变为0。因此，谱峰即是信号频率的估计。

4 MUSIC算法的波束形成表示

考虑以下波束形成优化问题：

(18a)

(18b)

利用拉格朗日乘子法，将上述优化问题的约束条件和目标函数合并有：

(19)

式(19)给出的拉格朗日函数关于w(θ)和λ求导并令导数为0得到：

(20a)

(20b)

(21)

将λ代入式(20a)得到

(22)

根据矩阵求逆引理有：

(23)

(24)

如果该权重向量现在用于扫描某给定方向 ，则可以得到在该方向上的输出信号：

(25)

从式(25)可以看到，如果我们取表达式的倒数，可以得到MUSIC的谱估计，也就是PMUSIC(θ0)=1/G(θ0)。

5 分析

从第4节可以得出，MUSIC算法可以看作一个波束形成器。其中，选择的权重向量与信号子空间正交，并与导向矢量的距离最小。从式(19)发现，最优权重向量是a(θ0)在噪声子空间的投影。因此，当在信号对应的方向θ处，波束形成器的输出最小，从而使伪谱出现了峰值。比较式(20)和式(13)可知，当把MUSIC算法看作是一种波束形成器时，其加权矢量是导向矢量在噪声子空间的投影，而MVDR波束形成器的加权矢量包含导向矢量在信号和噪声子空间两部分的投影。因此，信号子空间的特征向量会对MVDR波束形成器的性能造成影响。假设有两个方向非常接近的复信号，由于它们的信号特征矢量也非常接近，会导致对应于这些方向的MVDR波束形成器的加权矢量相似。因此，MVDR的输出功率在这两个方向上也会较接近，因此MVDR波束形成器不能分辨这两个复信号。

(张 瑛等文)

此外，由于波束形成器具有盲估计的优点，而MUSIC算法需要知道信源数量，因此可以引导学生设计联合MUSIC算法和波束形成算法优点的新的空间谱估计方法。

6 结语

“数字信号处理算法和理论”课程是我校研究生培养方案中基础是重要的课程之一。其中的空间谱估计方法MUSIC算法和波束形成算法是该课程的核心内容。为了使学生更好地理解这些算法，并掌握它们的区别与联系，本文提出一种将MUSIC算法表示为等价的波束形成器的思路，为学生掌握MUSIC算法和波束形成器算法提供了一种新思路。此外，通过发展该思路，学生还可以设计新的空间谱估计算法。

[1] Ralph, O.Schmidt, Multiple Emitter Location and Signal Parameter Estimation, IEEE Transactions On Antennas and Propagation, vol. AP-34, No. 3, 276-280, March 1986.

[2] A. Banerjee, A joint economic-lot-size model for purchaser and vendor, Decision Sciences, vol.17, pp. 292-311, 1986. J.Capon, High Resolution Frequency-wavenumber Spectrum Analysis, Proceedings of the IEEE, vol. 57, No. 8, 1408-1418, August 1969.

[3] B.P. Ng, A MUSIC Approach for Estimation of Directions of Arrival of Multiple Narrowband and Broadband Sources, Signal Processing, vol. 40, No.2-3,319-323, 1994.

A New Teaching Idea of the MUSIC Algorithm in Digital Signal Processing

ZHANG Ying, WAN Qun, ZHAO Hua-peng

(SchoolofElectronicEngineering，UniversityofElectronicScienceandTechnology,Chengdu611731,China)

Multiple Signal Classification (MUSIC) algorithm is developed based on the so-called orthogonality of the signal and noise subspaces, which has the advantage of super-resolution. Beamforming techniques which form nulls at the direction of interferences maximizes the output signal-to-interference and noise ratio. The functionality of the MUSIC algorithm and beamforming techniques seems different with each other. However, there has been literature shows that the MUSIC algorithm can be alternatively expressed as a beamformer. Based on this fact, in this paper, we firstly introduce the MUSIC algorithm and the beamforming techniques. Then, the alternative formulation of the MUSIC algorithm as a beamformer is presented. Thirdly, based on this alternative formulation, we evaluate performance of the MUSIC algorithm and compare it with the minimum variance distortionless response beamformer to bring students a new insight of the MUSIC algorithm.

beamforming; digital signal processing; MUSIC algorithm

2016-09-22;

2017-03-17

电子科技大学硕士精品课程项目(No. 2016ZYXWJPKC002)，高等教育个性训练和教育改革项目(No. 2016XJYYB006)

张 瑛(1981-)，女，博士，副教授，主要从事阵列信号处理、雷达目标识别等方向的教学和研究，E-mail：zhying@uestc.edu.cn

G426

A

1008-0686(2017)04-0047-04