教育数学思想在《中学数学研究》课程改革中的实践研究

肖宏治，梅俊雷，李艳琴，饶永生



教育数学思想在《中学数学研究》课程改革中的实践研究

肖宏治1，梅俊雷1，李艳琴1，饶永生2

（1．贵州师范学院数学与计算机科学学院，贵州贵阳 550018；2．广州大学计算机科学与教育软件学院，广东广州 510006）

改造数学使之更适宜教学是教育数学的任务．张景中院士主持开发的“超级画板”为教育数学思想的实践提供了强有力的支撑．在教育数学思想指导下，将“超级画板”运用于高师数学专业《中学数学研究》课程教学改革实践，并渗透教育数学思想，以函数为例引导学生进行了多层次的探索与实践，使学生对知识的形成获得了良好的认知体验，对相关知识的掌握更加牢固，对不同知识之间相互联系的理解更加深入，有效地提升了学生的数学思维水平．《中学数学研究》的教学应该做到：突出“研究”的味道；探寻不同数学知识之间的结合点；发挥超级画板的优势；转变思维方式以提高效率．

教育数学思想；中学数学研究；课程改革实践；超级画板

1 引 言

随着中国新一轮基础教育改革的不断深入，已有相当一部分现代数学知识进入中学课堂，主要包括：初等微积分、初等集合论、数理逻辑引论、概率论和统计引论等相关知识．由此也促使了高师院校师范类专业部分课程的变革，使之最终服务于基础教育改革与发展．有学者认为[1]：在师范生教师教育类课程的改革中，应注重方法与理性实践的指导．《中学数学研究》正是师范类专业的一门理论性与实践性都很强的重要必修课程，主要包括中学代数研究和中学几何研究两部分，其内容体系基本按照中学数学知识进行编排．然而长期以来，该课程的教学内容没有较大的变化，大都是对中学内容的重新整理归类、再一次强调和深化，没有从本质上改变该课程的内容和体系，教学手段和媒介也比较落后和陈旧[2]．因此，为了更好地与基础教育的改革相衔接，更好地为基础教育改革服务，高师院校对该门课程的改革是非常重要也非常紧迫的．由于《中学数学研究》这门课程内容知识多、杂、散，且教学时数也有限，如何妥善安排，形成一个优化的中学数学研究系统，光靠教学法加工显然不够，还需要数学上的再创造或对知识的重构，这一改革思路正好符合张景中院士“教育数学”的思想．为此，在教育数学思想的指导下去进行课程的教学改革和实践探索，从本质上改变课程内容的难度和深度，优化课程的内容体系，使其更符合时代发展，培养出更多优秀的数学师范生，是亟待研究的问题．

2 理论基础

2.1 文献综述

在20世纪80年代末，张景中院士总结自己的教学实践，开辟了“教育数学”的研究领域，提出了“教育数学”思想，将作为科学的数学进行“再创造”，使其变为作为教育的数学，这种“再创造”已超出了对数学进行“教学法加工”的范畴[3]．越来越多的人认识到：“教育数学”思想可以充分体现国家基础教育课程改革的理念，进行数学课程改革是深入进行教育数学研究的良好契机．数学教育改革实践已初步显示：“教育数学”思想作为一种新的数学教育观的反映，既可以吸收现代教育科学研究的成果，又对数学研究成果材料进行改造创新优化，揭示数学知识之间的紧密关系，发现数学规律形成的优化过程，提炼数学思想，选择最优呈现方式，发掘普适性解决数学问题的方法，让学习者容易地学习数学知识的同时，掌握数学本质，提高数学素养，培养数学能力[4~6]．

同时，在信息化教学的今天，信息技术与课程内容的整合已成为中学数学课程的基本理念之一，信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响[7]．已有许多学者对信息技术在数学教学中的应用进行了研究，有学者认为将信息技术运用于数学教学的目的是使学生在分析和解决数学问题过程中，能借助信息技术更好地认识和把握问题的实质及其相互关系[8]．有学者认为信息技术融入数学教育有利于展现抽象思维的理性文化特点，提升对数学对象关联性的理解[9]．而由张景中院士主持策划、李传中等设计开发的“超级画板”平台可以很好地与中学数学课程内容进行整合，在“超级画板”平台上建立动态的图形和模型，能够观察到图形的动态变化和物体的运动过程以及实验的变化，这对学生的自学能力、探索精神、创新意识、科学素养都有积极的影响，且已有研究表明[10~11]，超级画板为教育数学思想的应用与实践及师范生的培养提供了非常有利的平台和条件．

2.2 分析框架

在《中学数学研究》课程教学改革和实践过程中，尝试保留其课程内容精华部分，加入张景中院士《一线串通的初等数学》相关章节内容，使用“超级画板”数学教育软件教学，将教育数学思想与《中学数学研究》课程体系联系起来，从而优化课程体系．由于《一线串通的初等数学》是以三角学为基础，认为三角是联系几何与代数的一座桥梁，是沟通初等数学和高等数学的一条通道，提出了“下放三角，全局皆活”的概念和体系．而“超级画板”则是集“写、画、测、算、编、演、推、变”等功能于一身，是为中国基础教育量身定做的智能软件，是当今最为成熟、最为完善的软件之一，且内置三角函数的各种公式与化简方法，它能够准确、生动地反映“下放三角，全局皆活”的数学实践，用“超级画板”能够将教育数学的思想淋漓尽致地反映和呈现出来．同时，教师将现代化的信息手段和传统的教学方式有机地结合，打破传统的静态文本的模式，生动、形象、鲜活地将数学知识的动态文本有趣地呈现在教的过程中．通过《中学数学研究》课程教学改革，试图为学生的思考打开一扇窗户，使学生拥有真正意义上的数学实验室，学生通过实验可以看到在参数和对象变化后图形形成的过程，能够在极短时间内看到“超级画板”对几何问题自动证明的过程与结果，以及运用“超级画板”验证和推导自己的想法．

3 研究方法与过程

3.1 被 试

实验选取贵州师范学院2013级数学与应用数学专业的两个班级本科生作为实验对象，于2015年秋季学期对这两个班的《中学数学研究》课程教学进行改革．

3.2 研究过程

该次课程教学改革实践研究依托2014年度贵州省省级本科教学工程建设项目“教育数学思想在本科《中学数学研究》课程体系中的应用与实践（黔教高发【2014】378号）”进行，实践周期为一学期，总教学时数为54学时，每周3学时．为实践的顺利进行，在2015年上半年，专门为2013级数学与应用数学专业开设了第二课堂“超级画板兴趣班”，通过课外学习，学生基本了解和掌握了超级画板的基础知识和基本操作．实践中借助超级画板的功能和特色，结合张景中院士的教育数学思想对《中学数学研究》课程内容进行改革，具体见表1．

课程教学改革实践中，有18位学生继续组成兴趣小组，在授课教师的指导下进行超级画板的相关研究学习，研究如何借助超级画板解决数学问题，研究超级画板在数学课件制作中的应用，研究超级画板在中小学数学教学中的应用等．

表1 《中学数学研究》课程内容改革

3.3 改革实践案例：函数的图象与函数的特征

《中学数学研究》课程中函数部分内容主要包含：函数的概念及其发展；函数的一般概念及其性质；初等函数的概念及其主要性质等8个方面的内容．其中“函数概念的3种定义、函数的图象与函数的特征”是重点讲解内容[12~13]．如何在教学过程中使学生用高等数学的观点来看待函数，从“研究”的角度学习函数，使之更进一步掌握函数相关内容，这是一个难题．超级画板在曲线作图、几何变换、代数运算方面具有独特优势，为解决这一难题提供了非常实用的工具，现以“函数的图象与函数的特征”一节的教学及探索过程为例呈现如下．

图1 轴对称图形验证

图2 旋转函数图象

此时还不足以得到结论，还需验证它是否是某一具体的标准双曲线，若直接求解比较困难，故而反过来思考，先假设旋转后图象就是某一标准双曲线，求解出其标准方程，再画出图象，看其是否与旋转后图象重合．根据函数图象的渐近线与对称轴的夹角是，可知标准双曲线的渐近线与轴夹角也是，所以．再根据函数的图象与对称轴的交点，的长度即标准双曲线顶点到原点的距离，求得，继而求得．在超级画板中，选择原点，直接点击快捷按钮“圆锥曲线”，填入、值，即得标准双曲线，如图3所示．

图3 旋转验证标准双曲线

既然是旋转，那么能否通过代数方法实现旋转或者其它方法，以严格证明函数的图象是双曲线，故而可进一步探究．由于探究过程稍有繁琐，并且不是所有学生都能熟练掌握超级画板，所以未在课堂进行，留作课后作业由学生自行探究．课后在指导超级画板兴趣小组时带领小组成员进行一番探索，收获良多．

通常所说的坐标旋转变换包含两种：一是旋转图象，二是旋转坐标系．两种都可以实现旋转，在此仅写出第一种的探究过程．平面直角平面坐标系中，点(,)绕坐标原点逆时针旋转角，到达点¢(,)，点¢与点的坐标关系是，．在此次探究过程中，，带入前面的关系式即可得到旋转后点¢(,)的两个坐标的关系，需要验证¢的坐标和满足双曲线标准方程．由于计算过程涉及负数幂和非特殊角的三角函数运算，非常繁琐，兴趣小组的学生花了很长时间也未能准确计算出结果，不得不另寻他法．经过探索，一位擅长编写程序的学生利用超级画板找到了解决方法：先在程序工作区编程计算出和的表达式，消除，两者均只用表示，如图4所示；再通过超级画板中画“一般曲线”的“参数方程形式”画出图象，结果显示：由参数方程画出的曲线（图5中虚曲线）与双曲线（图5中加粗实曲线）重合．此法无需进行复杂计算，大大节省了时间，让学生进一步体会了超级画板在编程、计算、画图方面的强大功能．

图4 程序计算

图5 用参数方程画出双曲线

上述过程中最重要部分是旋转前后坐标的关系式，用矩阵可表示为：，仔细观察可发现矩阵是一个正交矩阵，这意味着上述旋转变换是一个正交变换，在高等代数中正交变换在化二次型为标准型中应用较多，而且双曲线标准方程的左端部分就是一个标准二次型，它们之间的联系引发学生进一步探究．

4 研究结果与分析

4.1 被试总体成绩分析

在讲授《中学数学研究》课程时，由于课时数有限，并且不是所有学生都能够熟练使用超级画板，所以只是在部分课程内容讲授时初步尝试使用超级画板．在教学过程中，通过观察学生在课堂上的表现、分析课后作业情况以及和学生的交谈，发现学生对超级画板越来越感兴趣，对几何相关内容的思考更加深入，并且能够尝试从不同的角度和思路来解决问题．两个班级的《中学数学研究》期末考试卷面成绩分段统计如表2所示，不及格率为15.22%，及格人数占18.48%，中等人数占38.04%，良好人数占19.56%，优秀人数占8.70%．通过对试卷得分情况的进一步分析，发现学生在几何相关题目的得分率明显比其它题目高．

表2 《中学数学研究》期末考试卷面成绩分段统计

4.2 兴趣小组与非兴趣小组成绩对比

由于授课教师所指导的超级画板兴趣小组的学生对超级画板的使用比其他同学熟练一些，所以对兴趣小组学生和其他学生的期末考试成绩进行更进一步的对比分析．兴趣小组共18个学生，占两个班级总人数的19.56%．需要说明的是，兴趣小组学生是自愿报名参与的，兴趣小组平时讲授和研究内容与期末考试试题无关．兴趣小组共有4人期末卷面成绩达到优秀，占总优秀人数的50%，另外，兴趣小组没有人卷面成绩不及格．将学生按照是否参与超级画板兴趣小组分成两组，借助SPSS统计分析软件，采用独立样本检验对两组学生的期末成绩进行差异分析，结果如表3所示．检验结果：值小于0.01，说明兴趣小组和非兴趣小组学生的《中学数学研究》期末成绩均值差异显著．超级画板兴趣小组学生的成绩比非兴趣小组学生平均高出约12分．

5 结论与思考

此次课程教学改革整合优化了《中学数学研究》课程内容和体系，有效地促进了教师的教学研究，转变教师的教学方式和学生的学习方式．使学生对知识的形成获得了良好的认知体验，对相关知识的掌握更加牢固，对不同知识之间相互联系的理解更加深入，有效地提升了学生的数学思维水平．与已有该课程教学内容的改革研究相比[2，15]，这是国内首次尝试以张景中院士“教育数学”思想为引领，以“超级画板”为实践平台去改革《中学数学研究》的课程内容和体系的优化．经过这一次的初步尝试，相关经验为《中学数学研究》课程教学进一步深入改革提供了参考．

表3 兴趣小组与非兴趣小组学生成绩差异T检验

5.1 突出“研究”的味道

《中学数学研究》课程所涉及的内容多是中小学数学知识，对学生而言并不难，难在如何研究．学生进入大学之前，受应试教育影响，很少能够自主思考并研究数学相关内容；进入大学之后，数学专业课的教学多是讲授式，少有研究数学的机会．如果只是把中学数学的内容整理、强调和深化，学生学起来也是索然无味．因此，需要老师精心设计教学，带领学生真正地去研究数学，用高观点看待初等数学．通过研究，学生更加清楚数学知识的来龙去脉，以及不同数学知识之间的联系，为他们思考如何教这些数学知识打下了坚实的基础[16]．

5.2 找寻不同数学知识之间的结合点

很多中小学数学内容是有密切联系的，但是由于课程的设置，数学内容被转化成教育形态以方便教学，很多数学知识的联系也被打断了，不利于学生整体认识和理解数学．《中学数学研究》这门课正好提供了一个加强理解不同数学知识之间联系的机会，但是如果仍然按照中学数学来编排其内容和体系，那就没有什么实际意义，所以必须找寻不同数学知识之间的结合点，把不同数学知识串连起来，尤其是几何与代数内容的结合点．以不同数学知识的结合点为中心展开教学，引导学生思考和研究，将会收到意想不到的效果．

5.3 发挥超级画板的特色

超级画板教学软件操作简单，其所拥有的动态几何作图、曲线作图、跟踪轨迹、动态测量、图形变换、符号计算、程序环境、智能自动推理、文本公式、统计图表、动画按钮、课件平台等功能，为数学教学提供相当优越的便利条件．有了超级画板的帮助，数学知识会以一种全新的面貌呈现．同时，学生也可以借助超级画板进行思考、研究和创作．学生对超级画板教学软件的掌握和运用也符合现代教育对信息技术与课堂教学融合的要求．

5.4 转变思维方式以提高效率

对《中学数学研究》课程体系和内容进行改革，本质上是提高教学效益，对学生而言就是提高数学思维能力，更加全面而深刻地理解数学[17]．对中学数学内容的探究，学生可以从不同的角度思考，找到不同的解决思路，结合超级画板，学生更能体会作为“机器”的数学，体会另外一种思维方式．在无形之中，学生看待数学、看待事物的方法发生了转变，解决问题的效率得到了提高．

[1] 唐恒钧，张维忠．教师教育类课程的教材：注重方法与理性实践[J]．数学教育学报，2015，24（2）：57-60．

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[3] 张景中，曹培生．从数学教育到教育数学[M]．北京：中国少年儿童出版社，2011．

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Research on the Practice of Educational Mathematics Thought in Curriculum Reform of “Mathematics Research in High School”

XIAO Hong-zhi1, MEI Jun-lei1, LI Yan-qin1, RAO Yong-sheng2

(1. School of Mathematics and Computer Science, Guizhou Education University, Guizhou Guiyang 550018, China;2. School of Computer Science and Educational Software, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China)

Education Mathematics aimed to reform Mathematics so that it was suitable for teaching. The Super Sketchpad method developed by Academician Jingzhong Zhang provided a powerful tool for the use of ideas of Mathematics Education. In this paper, we applied the Super Sketchpad to the teaching of the course “Research on High School Mathematics” for the undergraduate students majored in Mathematics in normal college. Infiltrating the ideas of Mathematical Education and using function as an example, we found that that students had a deeper understanding about mathematics contents, the relevance knowledge and their relationships and their mathematical thoughts were improved efficiently. Basing on these practices, we put forward some suggestions for the course “Research on High School Mathematics”: Highlighting the taste of “research”, exploring the combinations of different mathematical knowledge, making full use of the advantages of “Super Sketchpad”, and changing the way of thinking to improve the efficiency.

ideas of mathematics education; mathematics research in high school; curriculum reform practice; super sketchpad

[责任编校：陈汉君]

G420

A

1004–9894（2017）04–0097–06

2017–05–20

2015贵州省教育厅高校人文社科研究规划项目——专业认同理论视域下的贵州农村特岗教师专业发展研究（2015GH24）；2016贵州省教育科学规划（名校长工作室）专项课题——贵州初中数学教师专业发展实验研究（2016MXZ026）；2016年度贵州省科技平台及人才团队专项资金项目（黔科合平台人才【2016】5609）；2014年度贵州省省级本科教学工程建设项目（黔教高发【2014】378号）

肖宏治（1963—），女，贵州毕节人，副教授，主要从事数学教育、教师培训研究．