利用最小角定理巧解物理难题

宋辉武 于 冰

(1. 鄂尔多斯市第一中学,内蒙古 鄂尔多斯 017010; 2. 东北师范大学物理学院,吉林 长春 130024)

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利用最小角定理巧解物理难题

宋辉武1于 冰2

(1. 鄂尔多斯市第一中学,内蒙古 鄂尔多斯 017010; 2. 东北师范大学物理学院,吉林 长春 130024)

针对贵刊2017年第2期刊发的一篇题为“一道力学题的两种数理巧解”的论文进行拓展研究,应用数学上的最小角定理进行了巧妙地求解,以期引起广大的物理教师进一步挖掘这一定理在物理学上的使用价值.

最小角定理;静摩擦力

贵刊2017年第2期发表了李力老师撰写的一篇题为“一道力学题的两种数理巧解”的论文,读罢该文受益颇深.在此笔者谈谈自己对这个问题的深入思考,与各位同行交流探讨.

图1

先介绍一些数学知识.最小角定理也叫折叠角公式或“爪子”定理.根据空间角的余弦公式得出:斜线角(线—线角)θ,线面角(斜线和平面的夹角)θ1,射影交角(正射影与斜射影夹角)θ2,它们三者之间存在一个余弦关系cosθ=cosθ1cosθ2,如图1所示,直线OA是平面α外的一条斜线,OB是OA在平面α内的(正)射影,直线OC(也叫斜射影)也在平面α内,AB垂直于平面α,AB⊥OC,BC⊥OC,因此一定有AC⊥OC,设∠AOC=θ,∠AOB=θ1,∠BOC=θ2,可得OC=OBcosθ2=OAcosθ1cosθ2,又因为OC=OAcosθ,因此可得cosθ=cosθ1cosθ2,由此式也可知cosθ≤cosθ1,即θ1≤θ,因此θ1是这条斜线与这个平面内任一条直线所成的角中最小的角,此即为最小角定理的名字由来.就是说如果我们知道两个角的余弦值则可以求第三个,因此也形象地把这个定理叫做“三余弦定理”,这个定理在数学的立体几何部分应用较多,但是在高中物理学中的具体应用较少见到.鉴于此笔者应用这一定理处理了物理学中的典型难题,希望能够引起广大同行对这一定理的重视.

图2

原题:如图2所示,在水平桌面上放置正方形木板abcd,木板上放一个质量为m的物块,现以dc边为轴将木板缓慢向上转动角度θ1,再以bc边为轴将木板缓慢向上转动角度θ2,设转动过程中木块始终未在木板上滑动,求两次转动后,木块受到的静摩擦力大小.

拓展问题1:若先以dc边为轴将木板缓慢向上转动角度θ1,再以bc边为轴将木板缓慢向上转动角度θ2,再以ba边为轴将木板缓慢向上转动角度θ3,再以ad边为轴将木板缓慢向上转动角度θ4,再以dc边为轴将木板缓慢向上转动角度θ5,循环下去直至转动n次时缓慢向上转动角度θn,求n次转动后,木块受到的静摩擦力大小.

巧解:如果根据文献[1]的方法1来计算这个问题会极其复杂,按照文献[1]提出的方法2的思想,对于这个问题我们还需要将每一个分力进行多次分解,计算量同样相当大,而如果应用最小角定理,根据递推关系可以方便快捷地得到cosθ=cosθ1·cosθ2·cosθ3…cosθn.不过需要特别指出的是,如果把该题中的正方形木板换成等边三角形、正五边形、正六边形木板等等,我们再依次以各边为轴转动的话,则不再满足三余弦定理的成立条件,此时线面角不再是可以直接得到的量,当然这个问题的解决也会加倍繁琐甚至是不可能求解的.实际上容易看出只有木板的各边相互垂直,再依次以各边为轴转动后我们才能直接得到线面角,也就是说该题木板的形状设计也是有讲究的,随意改编会导致该题根本无法求解.

图3

拓展问题2:如图3所示,长为l的导体棒在磁感应强度为B的匀强磁场中以速度v作斜切磁感线运动,且B、l、v三者两两之间的夹角依次为θ1、θ2、θ3,求导体棒产生的动生电动势.

巧解:由于该题中的导体棒并不是垂直切割磁感线,有效速度和有效长度都需要我们寻找,与以往常见的模型有很大不同,以往我们求解动生电动势的公式无非是E=Blv或E=Blvsinθ,前者适用于B、l、v三者两两互相垂直的情况(即B、l、v为两两互相垂直的分量),后者适用于其中有一个量同时垂直于另两个量但是这另两个量并不垂直且成角度θ的情况,显然该题我们并不能简单套用上述的两个公式.实际上对于这个问题我们只需要找到三个两两互相垂直的分量即可.

假设B、l、v三者的位置以及相互所成的角度如图3所示(实际上导体切割磁感线产生动生电动势的模型皆可抽象成此三线图的模式),三者相交于点O,过速度v的箭头端P作B、

l所形成的平面α的

垂线PQ交平面α于点Q,则此时PQ既垂直于磁场B,又垂直于导体棒l,设OQ与OM的夹角为θa,OQ与ON的夹角为θb,OP与OQ的夹角为θx,由此不难发现Bsinθ3、l、vsinθx即为我们需要找到的两两互相垂直的分量,下面来求解θx,很明显有

θa+θb+θ3=2π,

(1)

再根据三余弦定理可得

cosθa·cosθx=cosθ1,

(2)

cosθb·cosθx=cosθ2.

(3)

将(1)～(3)式联立即可解得

因此导体棒的动生电动势

可以看出当θ1=θ2=θ3=90°时,导体棒演变成垂直切割磁感线,此时上式动生电动势的表达式过渡成最简单的形式，即E=Blv.不难发现，当θ1、θ2、θ3中有2个角为90°时，导体棒的动生电动势过渡为E=Blvsinθ.

1 李力,肖光绪.一道力学题的两种数理巧解[J].物理教师,2017(2):91.

2 黄照欣.这道“小题”确实不可小看[J].物理教学探讨,2005(1):35.

本文获国家社会科学基金教育学青年课题基金资助(课题编号:CHA150182).

2017-03-12)