两个投资者时间一致均值—方差投资组合博弈

李静

[提要] 本文研究简单金融市场下两个投资者的时间一致均值-方差投资组合博弈问题。投资者投资于包含一种无风险资产和两种风险资产的金融市场，风险股票价格服从几何布朗运动，并且两种风险资产之间是相关的。每个投资者选择最优投资组合策略，使得均值-方差最优化。利用动态规划原理，给出相应的检验定理，分别得到两个投資者的最优投资策略和最优值函数的显式表达式。

关键词：几何布朗运动；均值-方差；推广的HJB方程；投资组合；随机微分博弈

中图分类号：F83 文献标识码：A

收录日期：2017年6月16日

一、引言

策略选择问题是金融学研究的一个热点之一。Markowitz最早提出利用数学方法解决此类问题，并给出求解框架。当投资者的目标收益给定时，利用方差描述其风险，形成均值-方差投资组合选择问题。由于Markowitz模型是静态的一阶模型，在现代金融理论中虽然占据重要地位，但仍具有局限性，因为在实际金融市场中，投资者的投资策略可能会随着时间变化而发生变化，因此需要对连续时间模型下的最优投资策略选择问题进行研究。在连续时间问题上，Merton做出了重要贡献。Browne提出连续时间模型下两个投资者之间的零和微分投资组合博弈问题，他们有着不同但相关的投资机会。Chiu与Li和Xie等研究在连续时间情况下进行资产-债务的均值-方差投资组合选择问题。Basak和Chabakauri对金融市场中只有一个股票和一个投资者的情形给出最优值函数和最优投资策略。本文研究金融市场中有两个投资者和三种资产的时间一致均值-方差投资组合博弈问题。

二、模型建立

考虑一个连续时间的简单金融市场由三种资产组成，一个无风险资产和两个风险股票资产。市场中的两个投资者，A和B，可以对无风险资产进行自由投资。但是，对于风险资产，投资者A只能对第一个风险资产进行投资，而投资者B只能对第二个风险资产进行投资。两个投资者的投资期限为T=[0，T]，T∈（0，∞），并假设金融市场是无摩擦的，即交易中没有交易费用和交易税，资产是无穷可分的。两个投资者的目标是寻找最优投资策略使两个人的总财富最大化，且在一定风险厌恶情况下减少财富波动。假设一个完备的域流概率空间（？赘，F，P），P是真实概率，F：={F（t）；t∈[0，T]}满足通常条件，即F右连续，P完备。用B表示无风险资产的价格，其动态价格过程如下：

从（49）和（50），可看出，投资者A的最优投资策略不仅依赖于他自己的风险厌恶参数？酌1，而且依赖投资者B的风险厌恶参数？酌2；投资者B的最优投资策略同样依赖于这两个风险厌恶参数2。投资者A的值函数依赖B的风险厌恶参数？酌2，投资者B的值函数也依赖A的风险厌恶参数？酌1。

主要参考文献：

[1]Markowitz，H.Protfolio selection.Finance，1952.7.

[2]Merton，R.C.Life-time portfolio selection under uncertainty：the continuous-time case.The Review of Economics and Statistics，1969.

[3]Merton，R.C.Optimal consumption and portfolio rules in a continuous-time model.Journal of Economical Theory，1971.3.

[4]Chiu，M.C.，Li，D.Continuous-time mean-variance optimization of assets and liabilities.Insurance：Mathematics and Economics，2006.39.

[5]Xie，S.X.，Li，Z.F.，Wang，S.Y.Continuous-time portfolio selection with liability：Mean-variance model and stochastic LQ approach.Insurance：Mathematic and Economics，2008.42.

[6]Bjork，T.and A.Murgoci.A general theory of Markovian time inconsistent stochastic control problems.Working Paper，Stockholm School of Economics，2010.

[7]Kryger，E.and Steffensen，M.Some solvable portfolio problems with quadratic and collective objective.Working paper，http：//ssrn，com，2011.