运用分类讨论，培养思维严谨性

段俊婷

(江苏省苏州市吴江黎里中学,江苏 苏州 215200)

运用分类讨论，培养思维严谨性

段俊婷

(江苏省苏州市吴江黎里中学,江苏 苏州 215200)

分类讨论思想在初中数学中的应用非常多，广泛应用于代数和几何中.本文主要从不等式、方程、等腰三角形和二次函数四个方面论述分类讨论思想.全面了解分类讨论思想对学生的学习大有裨益，可以让学生的解题过程变得条理清晰，有条不紊.

分类讨论；不等式；函数；等腰三角形

一、在不等式中的应用

分类讨论思想与不等式问题的结合是中考中的一个重要考点.学生在碰到此类问题时往往会由于粗心大意，考虑不周而忽略分类讨论.对不等式问题进行分类讨论，可以使得解题思路变得清晰，不会慌不择路，同时解题步骤非常的简单明了.

例1 解不等式(a+1)x>a2-1.

解析 对于此题，如果不加区分，直接在不等式两边同时除以(a+1)，得到x>a-1，显然是错误的结果.这种解法的错误在于直接将(a+1)当成大于0了，这属于主观臆想，题目中并没有条件说明a+1>0.所以需要进行分类讨论，分类讨论的标准就是a+1的符号，不同的符号下所得结果也不一样.

当a+1>0时，即a>-1，那么不等式两边同时除以一个正数，方向不改变，则x>(a2-1)/(a+1)=a-1；当a+1=0时，即a=-1，原来的不等式为0，所以此不等式无解；当a+1<0时，即a<-1，那么不等式两边同时除以一个负数，方向改变，则x<(a2-1)/(a+1)=a-1.所以最后的结果为：当a>-1时，x>a+1；当a=-1时，无解；当a<-1时，x

点拨 本题根据x前面系数的取值将问题分成三类进行讨论，对于此类不等式问题只有分别处理，在不同的情况下使用不同的方法，才能得到正确的结果.不等式问题与分类讨论相结合的问题是初中数学中经常考查的考点，一定要认真对待.

二、在二次函数中的应用

分类讨论思想在函数中的应用非常广泛，忽视分类讨论就会造成漏解，从而导致解题结果的错误.在二次函数的考查中，经常要对自变量前面的系数进行分类讨论，这是初中数学中的一个难点，在学生平时的学习中需要多花功夫.下面这道题非常具有代表性，希望能够通过下面的这个例子，加深学生对函数中分类讨论思想的理解.

例2 求函数y=(k-1)x2-2kx+k的图象与坐标轴的交点坐标.

点拨 当函数自变量的系数是含有字母的代数式，在求函数图象与坐标轴的交点时，应当首先讨论系数的取值，不同的系数代表着不同的函数，分类讨论必不可少.并且在做题时与坐标轴的交点也要分类讨论，不同的坐标轴交点解法也不一样.

三、在方程中的应用

方程问题是初中数学中的重要内容，方程的类型有很多，初中数学中主要考查一元一次方程和二元一次方程.而方程问题与分类讨论思想的结合是一个重要的考点，本例中的问题就是一个典型例题，对于带有参数的方程往往都需要运用分类讨论思想才能顺利解题.

例3 现有关于x的方程(m-4)x2-(2m-1)x+m=0，当m取何值时方程才会有实数根？

解析 此题中方程中x2的前面含有参数，不能确定方程的类型，方程可能是一元一次方程，那么就会有一个实数根；也有可能是一元二次方程，可能有两个实数根.所以本题就需要对x2前面的系数m-4进行分类讨论.

点拨 通过本题可以看出，方程中分类讨论思想的应用主要出现在含有参数的方程中.通过对参数的分析，然后才能确定方程的类型，确定方程的类型之后才能进行相关的运算.对于此类问题，一定要全面地考虑问题，不能马虎大意.

四、在等腰三角形中的应用

等腰三角形是初中数学的基础内容，在中考中出现的频率非常高.等腰三角形的考查主要与分类讨论思想相结合，通过分类讨论判断是顶角还是底角，然后才能解决问题.

例4 (1)在等腰三角形ABC中，它的一个角是80°，那么它的顶角的度数是( ).

A.80° B.80°或20° C.80°或50° D.20°

(2)在等腰三角形ABC中，它的一个角是100°，那么

它的顶角的度数是____.

解析 本例中的两道题看似差不多，但是解题方法却不尽然.对于第一个问题，本题中所给的条件一个角是80°，并不能确定是顶角还是底角，所以此时应该进行分类讨论：当80°的角是底角时，那么顶角的度数为180°-80°×2=20°；当80°的角是顶角时，三角形的顶角就是80°了.对于第二个问题，根据题意一个角是100°，而三角形的内角和是180°，所以等腰三角形已知的那个角只能是顶角，所以答案是100°.

点拨 本例中的两道题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理.对于题目中没有明确是顶角还是底角时，应当进行分类讨论.分类讨论是解决这类问题的关键所在，只有做好分类讨论，避免粗心大意，才能做好这一类题目.

综上所述，分类讨论思想在初中数学中的应用极为广泛，不仅应用于函数、方程、不等式等代数问题，在几何问题中也有相当广泛的应用.在学习分类讨论的过程中，在思想上要高度重视，认真归纳和总结，只有这样才能不断提高学生的数学水平，从而取得学习上的进步.

[1]沈华. 引入分类讨论思想,使初中数学着上别样色彩[J]. 读与写(教育教学刊) ,2013(07).

[2]何静. 谨防二次函数中的“陷阱”[J]. 中学生数学,2011(05).

[责任编辑：李克柏]

2017-06-01

段俊婷(1981.06-)，女，江苏苏州人，本科学历，中学一级教师，主要从事初中数学研究与教学.

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