谈数列中的数论问题

陈 飞

(江苏省如皋市长江高级中学,江苏 南通 226500)

谈数列中的数论问题

陈 飞

(江苏省如皋市长江高级中学,江苏 南通 226500)

在高中数学《数列》中，经常出现满足一定条件下的数列项的存在问题，或求解涉及到整数n的不定方程，可以归纳为数论的基本问题.在近几年全国各省市的高考数学中，也时常出现上述问题.下面结合具体实例，谈谈对这类问题的处理方法.

高中数学；数列

一、利用合数的分解定理

A.2 B.3 C.4 D.5

解 通过

二、奇偶性分析

例2 已知{an}前n项之和为Sn，满足Sn=2an-3n(n∈N*).

(1)求证：{an+3}为等比数列，并求{an}通项公式；

(2)数列{an}中是否存在三项，使它们按原顺序可以构成等差数列？若存在，求出一组适合条件的项；若不存在，说明理由.

略解 (1)an=3(2n-1) (n∈N*).(2)假设存在{an}中三项ar、as、at(r

∴6(2s-1)=3(2r-1)+3(2t-1),∴2s+1=2r+2t①.

①中两边除以2r,∴2s+1-r=1+2t-r②.

∵r,s,t∈N*,且r

∴②中左边为偶数，右边为奇数.

∴假设不成立.即不存在三项，使它们成等差数列.

三、利用在某一范围内整数的有限性

例3 已知{an}前n项和Sn满足Sn+1=kSn+2,又a1=2,a2=1.(1)求k值；(2)求Sn；

(3)假设存在，m、n∈N*，满足条件,

∴2<(4-m)·2n<6,又m,n∈N*,(4-m)·2n为偶数,∴(4-m)·2n=4=2×2=1×4.

四、利用反证法证明某些问题

⟹(p-r)2=0⟹p=r矛盾.∴假设不成立.即原命题成立.

五、利用二项式展开定理

(1)求{an}通项公式；

(2)d∈{a1,a2,a3,…,an}∩{b1,b2,b3,…,bn}，则称d为数列{an}与{bn}的公共项，将这些公共项按它们在原数列中顺序排成一个新数列{dn}，求{dn}的通项公式.

六、利用{an}是等差数列⟺an=An+B(A、B为常数)

(1)令bn=an+1-an-1，求证：{bn}是等比数列；

(2)求{an}通项公式；

Sn+λTn=An2+Bn①.

[1] 卓水鑫.高中数学解题中构造法的巧妙运用[J].新课程学习，2014(4)：75—77.

[责任编辑：杨惠民]

2017-05-01

陈飞(1984-),男,江苏如皋人,中学一级，大学本科，从事高中数学教学.

G632

B

1008-0333(2017)19-0051-02