有效点拨：数学课堂生成智慧的金钥匙

石高安

[摘 要] 学生在课堂上学习数学过程中，常常会出现这样的情况：由于思维受阻，一时难以下手. 这样，需要教师用简练、精辟的语言启迪思维，促使学生产生“顿悟”，谓之“点拨”. 有效的“点拨”必须做到适时、适度、灵活且富有启迪. 如何实行有效“点拨”呢？笔者的思考是点拨难点，引导学生攻克疑难；点拨方法，引導学生举一反三；点拨思路，引导学生反思探究，由此启动学生思维，促进学生在数学课堂中生成智慧.

[关键词] 点拨；难点；方法；思路；智慧

岂知灌顶有醍醐，能使清凉头不热.

——唐·顾况《行路难》

学生在数学课堂的学习过程中，经常会遇到这样的情况：解答一个数学题，由于各种各样的原因导致思维受阻，一时难以下手. 有的问题对于有的学生可能会突发灵感，产生“顿悟”，使得问题得以迅速解决，但更多的问题对于更多的学生，需要数学教师用简练、精辟的语言来启迪思维，促使学生产生“顿悟”，这个过程就是数学教学中常讲的“点拨”. “点拨”是教师让学生走出学习数学困惑的有效手段，也是数学课堂教学的一种艺术. 一个数学教师行之有效的“点拨”，既要做到适时、适度，同时也要做到灵活且富有启迪. 然而，在我们数学教师中，有一部分教师追求方法的新颖，但不注意实际成效，如有的教师采用提问法的，有问有答，上下呼应；有的教师采用讨论法的，学生发言争先恐后，课堂热热闹闹，气氛十分活跃. 由于学生之间交流的信息零碎并且量大，将教师向学生输入的系统的信息淹没了，因此，多数学生收获甚少. 如何实行有效“点拨”呢？笔者所思考的是点拨难点，引导学生攻克疑难；点拨方法，引导学生举一反三；点拨思路，引导学生反思探究. 由此启动学生的思维，促进学生在数学课堂中生成智慧.

[?] 有效点拨难点，引导学生攻克疑难，促进数学课堂生成智慧

数学教学的难点是学生学习数学难于掌握的数学知识点，也包括数学思想方法等，这是学生数学认识水平与抽象复杂的数学知识之间的矛盾. 数学教师分析学习数学的难点在何处，研究其形成的原因，从而有针对性地进行点拨，可以起到化难为易的作用.

案例1：一位教师关于求与一元二次方程有关的最值题的点拨.

已知m，n是关于x的一元二次方程4x2+4kx+k+2=0的两个实根，若m2+n2能够取得最小值，求实数k的值，并求此时的最小值.

教师首先给学生自主解答，然后让学生展示.

生：由一元二次方程根与系数的关系得：m+n=-k，mn=，所以m2+n2=（m+n）2-2mn=（-k）2-=

k-2-. 当k=时，m2+n2取得最小值-.

师：这个结果错了.

生（很惊呀地）：在哪里发生错误呢？

面对一个个学生的惊奇，这位教师并没有及时去挑明，而是想方设法引导学生自我反思、自我发现.

师：m2+n2的值与k的取值是否有关系？k的不同取值对这个一元二次方程是否有实根产生怎样的影响？

学生经教师这一点拨，茅塞顿开，马上发现了自己错误的原因是没有考虑m，n是方程实数根这一隐含条件， 必须有Δ≥0，从而得16k2-16（k+2）≥0，即k≤-1或k≥2，因此k≠. 正确的结果是当k=-1时，m2+n2的最小值为.

[?] 有效点拨方法，引导学生举一反三，促进数学课堂生成智慧

《普通高中数学课程标准》指出，数学教学要坚持以人为本，以学生的发展为本，让不同的学生在数学上得到不同的发展. 不同的学生，其接收、领悟能力有强有弱，数学教师在点拨时必须做到“四性”：一是点拨要循序渐进，应由浅入深，体现渐进性；二是点拨既要照顾到全体，又要照顾到个别，让优等生“吃饱”，让中差生“吃好”，体现层次性；三是点拨要让学生积极思维，而不是生硬说教，体现启发性；四是点拨要简明准确，让它起到画龙点睛的作用，体现明确性. 点拨恰当，学生才能学得生动，教师教得轻松，教学质量大面积提高.

案例2：一位教师关于一道数列题的求解点拨.

已知等差数列{an}中，a3=5，a8=20，求a20.

一部分学生特别是一部分女学生往往根据等差数列的通项公式求解：根据题意，得a1+2d=5，

a1+7d=20，解得a1=-1，

d=3，所以a20=a1+19d=-1+19×3=56.

这一部分学生解完后，挺有成就感，就等待数学教师出下一题. 因此，数学教师适时点拨：

师：刚才在下面巡视时，有同学告诉我此解法有些繁，请同学们再思考一下，有没有简单方法解这道题？

一石激起千层浪，学生们一个个探究起来，有的合作学习小组窃窃私语，可是还有一些学生想不出更好的方法，教师进一步点拨.

师：我们能不能用函数方程的思想来观察、研究等差数列的通项公式？

生：噢！我知道了，等差数列的通项公式一般是关于项数的一次函数……

于是，学生得到解法2：

设an=αn+β. 依题意，得3α+β=5，

8α+β=20.解得α=3，

β=20.所以an=3n-4，所以a20=3×20-4=56.

对于学生得到的解法2，教师给予了肯定与激励. 此时，另一位学生提出，解法2与前面一种方法比较，未见得简单多少，为此，教师继续点拨.

师：在研究等差数列性质时，得到一个求等差数列公差的公式d=，请大家再思考一下，能不能从这里入手，探讨一下解法3.

许多学生经过一番讨论，探究得到下面的解法：

d==3，所以a20=a8+（20-8）d=56.

其实，解法3，对心算能力强的学生来说，不用笔算也可以得到答案.

最后，数学教师作评价性点拨：

师：第一种解法虽然有些繁，但这是通法，属于基本能力要求；第二种解法的思维较灵活，体现的是函数思想求解，体现了對数学思想方法的掌握与应用；第三种解法必须对等差数列的性质掌握得比较好，此种解法，对心算能力强的学生不用笔算也可以得到答案，属于对数学知识的融会贯通.

案例3：已知点M在抛物线y2=px上，且M到A（4，2）的距离与M到x轴的距离之和最小，求点M的坐标.

不少学生易设点M的坐标为（a，b），再做下去一部分学生感到茫然，一些合作小组也解决不了. 这时教师可点拨：透过“点M到x轴的距离”这个现象，看到“点M到准线的距离”这个本质，由抛物线的定义，可知M到准线的距离等于M到焦点的距离，到此学生茅塞顿开.

[?] 有效点拨思路，引导学生反思探究，促进数学课堂生成智慧

很多时候，面对一个个数学问题，不少学生只会简单地通过模仿例题来运用定理、法则与公式，而当问题的条件发生变化时，就不懂得变通. 故在数学课堂上，教师可在引申变换（变式）、数学思想、方法、技巧上加以点拨，通过借题发挥，由此及彼，由表及里，举一反三，就会事半功倍，这样能起到促进学生思维发散、创新的作用.

案例4：一位教师关于恒成立及有解问题的教学变式点拨.

已知函数f（x）=8x2+16x+p，g（x）=2x3+5x2+4x（其中p∈R）.对?x∈[-3，3]，都有f（x）≤f（x）成立，求p的取值范围.

师生讨论分析得到解法：

令h（x）=g（x）- f（x）=2x3-3x2-12x-p，问题转换为x∈[-3，3]时，h（x）≥0恒成立，故h（x）min≥0，m≤-45.

平时，不少学生做这一类恒成立题，常常与存在类问题和最大值、最小值混淆不清，为此，这位教师对题目作了这样的变式点拨：

师：若“对?x∈[-3，3]”改成“?x∈[-3，3]”，其余不变，如何求p的取值范围？

师生再讨论分析得到解法：

转化为x∈[-3，3]时，h（x）≥0有解，故h（x）max≥0，m≤7.

师：若“对?x∈[-3，3]”改成“对?x1，x2∈[-3，3]”，其余条件不变，如何求p的取值范围？

师生讨论分析得到解法：转化为x∈[-3，3]时， f（x）max≤g（x）min?120+p≤-21?p≤-141.

数学教师在以上数学问题的设计点拨中，针对一些似是而非的问题，编拟变式题组进行专项训练，让学生真正弄懂这些形同质异、形异质同题的解答思路与方法，唤醒那些学困生的创造思维与求知欲，以发挥变式题组的教育功效.

“点拨”，“点”就要一“点”就通，就是要点石成金；“拨”就要拨除故障，拨暗为明，拨云见日. 点拨既是一种方法、一种策略，更是一种理念、一门艺术. 在数学教学过程中，教师智慧的点拨引导，可以激发学生的学习兴趣，使学生疑窦大开、智慧闪烁，让数学课堂充满生机与活力.