浅析高中几何题的解题方法与技巧

王丽云

[摘 要] 代数与几何是高中数学学习内容中相互依存、密不可分的两大组成部分，从某种意义上来说，几何的学习可以认为是代数学习的一个重要基础，因此，学好高中几何对于学生来说其意义是重大的，也是必要的. 作为高中数学教师来说，加大对高中几何题的研究与思考也是必然的.

[关键词] 高中几何；重要性；学习障碍；方法技巧

数学学科是学生日常生活中运用最为频繁的三门主要学科之一，因此，学好数学对于每位学生来说都显得尤为重要. 对于高中生来讲，高中数学的学习对于学生数学素养及其全面素养的发展都非常有意义，数学跟其他学科的学习相比而言，它是一门复杂、难懂、抽象并需要严密逻辑思维的学科. 高中几何除拥有高中数学学科的这些特点之外，还需要学生具备超强的空间想象能力才能在解题中更加游刃有余，因此，高中几何的学习对于学生来说的确是有难度的. 笔者结合多年的教学实践结合高中几何的重要地位、几何学习的一般性障碍以及解决几何题的方法和技巧进行了粗浅的探究.

[?] 几何学习在高中数学学科中的重要地位

首先，日常数字的运用以及经济等各方面的需要都是与我们生活息息相关的数学的问题，而生活中高耸的飞檐走壁以及美轮美奂的高楼大厦正是几何学运用得恰到好处给我们带来的美感. 学生如果要将物理、化学、生物等学科学好，那么学好数学应该是学生最应该做到的，而世界万物的构造又都离不开能够为其展现宏伟外观的几何学，所以，从某种意义上来讲，高中数学中的几何是具备生动活泼的美丽特征的. 因此，高中教师在数学教学的过程中应该关注与重视几何学习这一关键点. 其次，高中几何的学习往往会给学生的数学学习带来困扰，学生在几何题目的解决上花费的时间和精力往往能够占到数学学习总时间的三分之一，依据几何在数学学科所有内容中的比例来讲，用这么多的时间和精力花费在几何题目的解决上显然是不可取的. 因此，对于高中数学教师来讲，提高几何题的教学效率与效果并帮助学生建立几何学习的科学技巧与方法是教师必须慎重考虑和研究的.

[?] 学生在高中几何学习过程中存在的一般性障碍

其一，学生对于空间感知能力和图形的认知能力不够. 学生的空间感知能力和想象能力都是逐步发展的，对于欠缺很多生活实际经验的学生来说，大部分学生在空间感知能力的发展上都是比较滞后的，而且男女性别的差异使得这一点在几何学习的过程中造成的差距特别大，这也正是高中学生几何学习中最基本的学习障碍.

其二，整体认知度不够或认知策略不够科学恰当. 在高中几何的学习中，空间感知能力差的男生与大多数女生的理解认知能力明显落后，在几何题的认知与解决中往往不习惯从整体上把握题意，这部分学生在几何题的分析与解决中往往依赖教师系统、有条理的认知策略安排，学习上比较被动，独立思考也就更加欠缺了.

其三，对几何题分析、加工的能力不足. 在立体几何的学习中往往需要学生灵活思辨的整体思维以及立体图形的重构与演化能力，这对学生空间想象思维以及几何题的分析与加工提出了更高的要求.

其四，情感、兴趣等内在动力的缺乏. 排除以上可能造成学生几何学习障碍的因素，学生几何学习的情感、兴趣等的缺乏也是造成学生几何学习产生障碍的重大因素.

[?] 解决几何题的方法和技巧小结

1. 加强学生对几何学习中的点、线、面、立体各层面的定理的熟练掌握训練

高中几何的解题思路一般来源于平面定理与立体定理的灵活运用中. 勾股定理是平面几何中最为常见的：直角三角形中两条直角边平方的和（勾股的平方和）与第三边即斜边（定理中称之为弦）边长的平方相等. 对于任何一组勾股数（a，b，c）都可以作如下表达：a=k（m2-n2），b=2kmn，c=k（m2+n2）. 其中，k，m，n必须满足都是正整数这一条件且m>n. 勾股定理还有逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角. 在某些几何题的计算与求解中，运用勾股定理可以求出三角形的边长，而三角形是否为直角三角形则可以运用勾股定理的逆定理来检验.

2. 注重学生学习几何的兴趣与爱好的养成

几何图形是枯燥的数学学习中能够为学生增添乐趣与美感的润滑剂. 比如说，很多的解题思路与基础便是几何图形所提供的，而且几何图案的设计在平面设计、室内设计、建筑设计等多个领域也越来越流行，使得我们在随处可见的几何图形的拼接中感受到令人震撼的美；很多图形所具备的性质也在生活中经常被运用，比如屋顶、自行车架、塔吊固定等都应用了三角形稳定性与牢固性这一特性. 在现实生活中，只要稍加观察，我们就能发现几何图形、纹路的存在触目可及、比比皆是. 因此，教师在几何的教学中，可以引导学生运用几何图形进行不断地拼接和创作造型，使得学生在天马行空的无限遐想中发挥自身的空间想象能力并对几何的学习产生兴趣.

3. 培养学生思维的发散性及剖析题目的层次性

不管是平面几何还是立体几何的解题中，层层递进进行解题是解决问题特别是解决求证题时经常应用的技巧. 首先在已知条件与题中所需求证内容的整合下对题目进行逐层剖析，并在分析与思辨的过程中逐步获得求证所需的条件，然后对照已知的条件分析解题的各个条件是否充足，在条件不够充足的情况下充分运用逆向思维的解题技巧分析出解题所需的但暂不具备的条件，最后在理清解题思路之后，将辅助线的运用、定理及逆定理的运用与已知条件进行有机整合，找出“已知”与“求证”之间所需的桥梁并最终将题目解决.

例1：如图1所示，∠DAC是△ABC的外角，AE是该外角的平分线，并且AE∥BC，请尝试证明：AB=AC.

首先依据定理与已知条件对题目进行分析：如果能够证明△ABC是等腰三角形，那么AB=AC也就自然成立了. 若想证明△ABC是等腰三角形首先要有∠B=∠C. 通过AE是△ABC外角∠DAC的平分线以及AE∥BC，可得∠DAE=∠B，∠EAC=∠C=∠B，最终可以证明得到△ABC是等腰三角形，则有AB=AC.

4. 组织并引导学生扬长避短分组讨论解决问题

创造解题的条件是几何解题思路中最为关键的一步. 实际解题中往往因为个人思维的定向性以及思路的狭隘从而在几何解题中产生障碍. 小组多人探讨交流的形式能够使学生的解题灵感与思路得到有力激发和触动，往往能使学生产生茅塞顿开的感觉.

例2：AB，AC是△ABC的两条边且两边相等，AB上有一点记作D，AC延长线上有一点记作E，并有BD=CE，F是DE连线与BC的交点，请尝试证明：DF=EF.

从题目的已知条件以及需要求证的内容进行分析，辅助线是必须创造出来用于证明的条件.

（2）通过D作一直线并使其与AE平行，与BC相交，交点记作G（如图4），BD=DG这一条件很快可以得出.

（3）作BC的延长线到G，令CG=BF，连接EG（如图5），△BDF≌△CEG这一条件很快就能得出.

5. 引导学生多观察并在观察中发现、归纳、总结

生活中的一个墙角甚至一个纸盒都可以成为高中几何学习中的素材，因此，教师要善于从生活中挖掘事物模型并为学生建立直观形象的认知. 比如，在两直线异面垂直的教学中，教师可以引导学生在教室的墙面上发现与知识点相符合的两直线，使学生对于该知识点的印象尤为深刻，并在以后应用中能联想起教师这样的引导. 因此，观察与发现是学生提高几何学习与解题的一个有效方法.

总之，几何图形的引入对于事物周长、面积、体积的研究都是相当有意义的，几何的学习与解题也是高中数学相当重要的一部分，而数学学习的优劣在很大程度上决定了高考的成败，故高中几何学习是数学学习中不可忽略的一个重要组成部分. 因此，每位学生都应重视几何的有效学习并在教师引导下积极寻求适合自己的解题方法与技巧，从最基本的几何知识点滴积累，使得每个学习的关键“点”连贯成前后贯通的一条“线”，使得自身的数学思维和数学素养在“润物细无声”的点滴积累中持续螺旋形上升并发展，最终达到厚积薄发的优良局面.