例谈专题复习教学的设计

顾婷

[摘 要] 專题复习教学是对新知教学的有益补充，如何设计专题复习教学、梳理知识点进行有效安排，是教师复习教学能力的体现.

[关键词] 专题；复习；焦点三角形；数学；圆锥曲线

众所周知，复习教学是对新知教学有益的补充. 从复习教学的角度来说，如何演绎好复习教学并不是容易的事. 从常态复习教学来看，不少教师对复习教学采用了试题堆砌、反复训练冲刺的模式，这样的复习教学缺少针对性、高效性、引导性.特级教师陈雷鸣对复习教学有独到的见解：有效的复习教学首先必须对知识进行合理的梳理，在梳理基础上有针对性地整合才能使复习教学更为高效，这种针对性整合是建立在专题复习教学设计的基础之上的. 本文以提升复习教学有效性为设计视角，以圆锥曲线中椭圆的焦点三角形为载体进行专题复习教学的设计，不当之处恳请批评指正.

[?] 知识背景

圆锥曲线是中学数学的难点和重点，以椭圆、双曲线为背景的问题往往是学生学习解析几何的难点. 在学习解析几何初步的过程中，学生必须掌握一个经典的基本知识：即焦点三角形的相关问题.从学生学习的新知来看，对于焦点三角形涉及的知识可以进行专题复习教学的设计. 焦点三角形指的是以椭圆、双曲线的焦点为三角形的两顶点，第三个点出现在椭圆或双曲线上，由这三个点组成的三角形称之为焦点三角形.其重要的作用在于：其一圆锥曲线第一定义（感官定义）在焦点三角形中的体现；其二余弦定理、三角形面积相关知识与解析几何知识的交汇、整合；其三直线和圆锥曲线综合问题的结合. 因此这是解析几何初步交汇中比较重要的知识.

[?] 专题设计

1. 定义切入

焦点三角形因为涉及椭圆、双曲线的两个顶点，所以势必与圆锥曲线第一定义紧密相连. 专题复习教学必须从相关的基础出发，以定义为背景设计相关问题，这是专题设计的起点.

问题1：如果椭圆+=1上一点P到左焦点F1的距离是它到右焦点F2的距离的4倍，则P到左焦点的距离是______.

分析：（用椭圆第一定义）设点P到左焦点的距离为r1，到右焦点距离为r2，则由题意得：r1+r2=10，

r1=4r2，解得r1=8，

r2=2.

变式1：在上例中条件不变，求点P到右准线的距离及点P的坐标.

分析：由椭圆第二定义，设点P到右准线的距离为d，则=e=，所以d=. 椭圆的右准线方程为x=. 设P（x，y），则-x=，解得x=，从而y=±. 所以P

，±

.

变式2：椭圆+=1上是否存在一点P，使PF1⊥PF2，若存在，求出P的坐标，并求

PF1

-

PF2

的值.

分析：假设存在点P（x，y）满足题意，则

+

=1，

x2+y2=16，解得

x=±，

y=±.所以存在点P1

，

，P2

，-

，P3

-，

，P4

-，-

. 由三角形面积公式，得：

PF1

PF2

=×8×，即

PF1

PF2

=18，所以有

PF1

-

PF2

===2.

说明：PF1，PF2能否垂直，取决于以F1F2为直径的圆与椭圆有无公共点. b>c时，无公共点，不存在满足题意的点P；b=c时，有两个公共点（为短轴端点），即点P的位置；b

2. 链接面积

焦点三角形是圆锥曲线中一种特殊的三角形，受到其几何图形的影响，与三角形面积相关的考点往往出现在焦点三角形中.这里的复习设计体现了知识的整合性.

问题2：已知AB是椭圆+=1过中心的弦，则△ABF2面积的最大值为__________.

分析：由椭圆的性质知道，A，B两点关于原点对称，S△AF1O=S△BF2O. 设A（x，y），则S△ABF2=S△AF1F2=×8×y≤×8×3=12.

变式3：设P是椭圆+=1上一点，作△F1PF2. （1）若∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积；（2）若∠PF1F2=60°，求△F1PF2的面积.

分析：①∠F1PF2=60°，由余弦定理

PF1

2+

PF2

2-

PF1

PF2

=

F1F2

2，即 100-3

PF1

PF2

=64，所以

PF1

PF2

=12，S△PF1F2=×12×=3.

②若∠PF1F2=60°，由余弦定理

PF1

2+

F1F2

2-

PF1

F1F2

=

PF2

2，

即

PF1

2+64-8

PF1

=

PF2

2，即10·（

PF1

-

PF2

）-8

PF1

+64=0，

PF1

-5

PF2

+32=0.

又

PF1

=3，

PF2

=7，所以S△PF1F2=×3×8×=6.

说明：求焦点三角形面积时，先观察△F1PF2是否为特殊三角形（如直角三角形），若不然，或用余弦定理结合椭圆第一定义求出PF1·PF2，或求出PF1，PF2的具体值，进而得解.

3. 最值求解

因为焦点三角形只有一个顶点为动点，因此与其相关的最值问题层出不穷. 中学数学研究的单动点恰如其分地体现在了焦点三角形中，其各种相关焦半径问题、面积问题成为复习需要总结的.

问题3：椭圆+=1中，作△F1PF2，（1）求cos∠F1PF2的最小值；（2）求

PF1

·

PF2

的最大值与最小值.

分析：（1）由余弦定理，有cos∠F1PF2==-1，而

PF1

PF2

≤

=25，所以cos∠F1PF2≥ -. 故cos∠F1PF2的最小值为-.

（2）设P（x，y），由焦半径公式，有

PF1

PF2

=（a+ex0）（a-ex0）=a2-e2x=25-x，而0≤x≤25，所以9≤25-x≤25，即9≤

PF1

PF2

≤25.

说明：涉及焦点三角形求角的取值范围时，往往用正余弦定理；涉及求线段和、差、积的（最）值时，往往用椭圆焦半径公式.

4. 核心思考

焦点三角形最核心的问题与圆锥曲线中的离心率休戚相关，教师在专题复习设计中若能将离心率相关问题融合到焦点三角形中，则能让学生对知识最核心的考查点有更深的理解.

问题4：设椭圆+=1（a>b>0）的两焦点分别为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，·=0，求椭圆离心率的取值范围.

分析：设P（acosθ，bsinθ）（0<θ<2π且θ≠π），因为·=0，所以⊥. 又O为F1F2中点，所以PO=

F1F2

=c. 于是a2cos2θ+b2sin2θ=c2，即a2=c2（1+sin2θ），所以e==，而θ∈（0，2π），且θ≠π，0

，1

.

说明：通过对以上问題的探求，让学生对椭圆焦点三角形问题及应对策略有了一个大体的认识，从而为类比双曲线中的焦点三角形问题的解决起到较好的借鉴作用.

总之，专题复习教学的设计需要有层次性，本例较好地体现了这种螺旋式上升的层次性.既关注了知识的基础层面，又从更高的知识整合性角度、考查热点离心率角度做出了复习教学的设计，对于学生而言这种专题复习教学设计是有效的.