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2017-08-29房华

都市家教·下半月 2017年8期

房华

高中数学人教B版教材自使用以来，广受好评。在教学实践中，部分教师也会跟据对教材和学生的分析，将教材例习题进行必要调整或适当补充，以便在学生的最近发展区内更好地让学生自主构建新知，提高教学效率。下面就人教B版必修二2.2.2节《点到直线的距离》一节的例习题教学设计，谈谈自己的认识。

一、教材分析

点到直线的距离，是“直线的方程”的最后一节内容，它是在学习了直线相关知识的基础上，探索如何用代数方法研究距离问题，实现了由平面几何的几何度量过渡到解析几何的代数计算。它既是前面所学知识方法的延续，又为后面直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习，奠定了基础，具有承上启下的作用。同时，教材通过让学生经历点到直线的距离公式的探究与应用过程，进一步体会解析几何的本质：用代数方法解决几何问题。

二、例习题设计

本节课分公式推导和公式的简单应用两个环节。在公式推导环节教材的处理是直接给出求点P（x1，y1）到直线l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距离公式的推导过程，一方面推导的思路方法单一，不利于学生发散思维能力的培养。另一方面运算化简技巧较强，学生不容易想到，也不易于学生理解和接受。为了分散难点，提高学生思维的参与性，通过对引例调整充实，将公式的推导过程分三个阶段完成，教学设计如下：

第一阶段：解决特例，启发思维

首先回顾初中“点到直线的距离”的定义，然后教师提出：

问题1：求点P（1，2）到直线l：x-2y+2=0的距离。

先让学生独立思考，然后小组讨论交流，最后小组代表展示、讲解解决问题的方法和步骤，教师点评，简要板书。

【设计意图】B版教材直接呈现的是问题：求点P（x1，y1）到直线l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距离。但高一学生的抽象思维能力和对代数式的化简能力不足以直接解决此问题。因此通过问题1为学生搭建“垫脚石”。

第二阶段：小组合作，推导公式

问题2：求点P（x1，y1）到直线l：Ax+By+C

=0（A2+B2≠0）的距离。

在学生得出了几种不同的思路后，提出问题2。由学生分小组自选思路，进行公式推导。之后教师选取有代表性的作品，让学生投影展示，根据学生的展示，教师利用ppt辅助点评。因为求垂足坐标的方法，思路自然，预测会有多数学生选择这种方法。但较多的学生在有限的时间里并不能得到答案。因此教师屏幕展示这种方法的推导过程。

解：设直线m的方程为Bx-Ay+D=0将P（x1，y1）代入得D=Ay1-Bx1，m的方程为Bx-Ay+Ay1-Bx1=0联立m与l方程得

解方程组求得点P0的坐标

教师提出以下思考问题：

结合目标式的结构特点，是否有简化运算的方法？

可以不求垂足P0的坐标吗？

教师引导学生进一步分析目标式和已知式的特点，提出整体代换的思想。即可将x1-x0和y1-y0分别视为一个整体。构造关于x1-x0和y1-y0的两个方程式。

此时教师放手，让学生根据目标式完成后续推导过程，体会设而不求，整体代换的方法在简化运算中的作用。

【设计意图】一方面让学生实践体会公式的推导过程，培养学生的运算能力，另一方面使学生体验探索的艰辛，培养学生锲而不舍的钻研精神。

第三阶段：分析公式，加深认识

思考问题：

①点P在直线l上时成立吗？

②公式结构特点是什么？