浅谈数形结合思想之“以形助数”

李蕙琳

一、数形结合思想的起源

早在数学萌芽时期，人们在度量长度、面积和体积的过程中，就把数和形联系起来了。我国宋元时期，系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形之间的几何关系表达成代数式之间的代数关系。17世纪上半叶，法国数学家笛卡儿以坐标为桥梁，在点与数对之间、曲线与方程之间建立起来对应关系，用代数方法研究几何问题，从而创立了解析几何学。

二、数形结合思想的本质

数形结合思想的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。这里的“数”指数学术语、数学符号、数学公式及用语言文字表现的数量信息和呈现方式；“形”不仅仅指几何图形，还包括各类图像、实物类教学资源等形象材料，以及用这些材料呈现数学信息的方式。

数与形是数学研究的两个重要方面。一方面，借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示。由于概念的抽象与概括性，教学时要向学生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。如在数小棒、搭多边形中认识整数，在等分图形中认识分（小）数；利用交集图理解公因数与公倍数等等。另一方面，将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论。

三、数形结合思想在课堂教学中的渗透

例如，在教学《认识因数》一节时，课初呈现了一串小球（12个）。请学生思考：如何才能做到“一份一份地数，每份同样多”且“数到最后，正好数完”？经过思考，全班交流和动手实践，得出了可以一个一个地数，两个两个地数……六个六个地数……从而引发了对“因数”的认识。

这一串小球就是数形结合思想中的“以形助数”最明显的体现。

（1）它为认识“因数”这一概念提供了直观的教学资源。

（2）它为帮助学生理解因数是在整除背景上建立的，作了一個前期的铺垫。（“正好数完”）

（3）它已经暗示了学生找因数的具体方法：一对一对地找。（“3个3个地数，数4次正好数完”）

在后来的教学中，这一串小球多次发挥它的作用。课后访谈时，很多同学提到这节课印象最深的就是这串小球。当然，此时，在孩子们脑中的小球已经不再局限于12个了。

在实施“如何把因数找全”这一教学环节时，我们还可以用到数轴。“在数轴上找出28的因数，什么时候就找全了？”这个最简单的一维几何图形，不仅在区间思维的角度上揭示出因数的个数是有限的，一个数的最小因数与最大因数是谁，而且为后来学习倍数的无限性以及公因数、公倍数的概念提供了一个好的工具，它的运用使学生的思维水平又提高了一个层次。

小球和数轴，是工具，也是方法，教学中借助于这些有“形”的材料，才使得抽象的概念变得形象，无形的概念变得直观。其实，这和心理学家张梅玲教授所提到的“实现图像思维与符号思维的互动”这一理念是一致的。

再如，在教学《鸡兔同笼》一节时，我们会引导学生使用假设法的思路，这个方法对于逻辑思维能力差的同学会有难度。如果配合图形来分析，就容易理解了。例如：鸡兔同笼，上有5个头，下有14只脚，问鸡兔各几只？我们把5只总量用圆圈来表示，把14只脚用线段来表示。

（1）假设5只都是鸡。

（给每只鸡“装上”2只脚）

共装了5×2=10只脚，

（2）此时，还剩14-10=4只脚，

（3）把剩余的这4只脚，2只一组全给“装上”，此时有4只脚的就是兔。（2只）

我把这种方法叫“画头安脚”法，用它来辅助假设法的思路，学生更容易理解和掌握。

小学学段的数学书中，多次出现了线段图——《分数乘法》一章中几乎每一个例题下面都配有线段图。它和数轴一样，是数形结合思想下最基本，最常用的思考工具。所以，在实施教学时，我很注重引导学生理解和使用这一工具。它的直观、易操作性在分数乘除法教学中起到了不可替代的作用：

（1）线段图从“平均分”的角度强化了单位“1”的概念。

（2）线段图直观展示了数量之间的分率关系。不仅仅是多与少，而是更为细化的倍比关系，分率关系等。

（3）利用线段图能解决更为复杂的综合性问题。

由于学生对于线段图的理解和使用情况参差不齐，所以在教学之初总要花掉大把的时间。但多年的教学经验表明，这一模型一旦在学生的思维中建立起来，后续的教学就会变得很轻松了。

四、结语

以上所述只是在教学实践中最普通的“以形助数”的案例，数形结合思想在教学实践中的应用极为广泛，它实现了数学语言与直观图形的结合，引发了抽象思维与形象思维的互动，从而大大简化了解决问题的过程，成为15种数学思想之首。在教学中，要注重数形结合思想的培养，既要用“形”来辅助“数”，又要用“数”来理解“形”，经过长期的渗透、训练，达到数与形的灵活转化，真正提高学生的数学分析能力。