概率、排列组合与彩票

王俊东

摘 要：生活中处处有数学问题，彩票方案的确立、中奖规则的给出、奖金的设置等问题中就蕴含着很多数学问题。结合实际分析了彩票中的排列、组合、概率等数学问题。

关键词：彩票；排列；组合；概率

一、彩票中的概率问题

概率論是研究可能性与机会性的科学，从它诞生之日起就与机会性游戏结下了不解之缘。首先谈一谈概率，在彩票业中有一句至理名言：只有概率没有规律。不管哪种类型的彩票，它设立的理论依据都是概率论，或者说，彩票就是一种玩概率的数字游戏，彩票发行者在发行某种彩票之前，他们都会计算这种彩票所有的排列或组合有多少注，并以这多少注作为一个组合，来计数包含几个一等奖，几个二等奖，几个三等奖等，并以各个等级的注数来合理地分配该等级相应的奖金。因为彩票一次开奖只开一个号码，所以在一个组合内，最大奖只有一个。彩民的眼睛往往也就盯在这个最大奖上。在目前的彩票市场上，最容易中大奖的彩票玩法应当是福彩的“15选5”，这也是一种组合式的彩票，只要在1到15十五个数字中任意选出5个号码数字即可完成一注彩票的组合，而所有的组合总共也就3003注，在大奖的中奖率上无疑比其他玩法优越许多。正是其■的高概率，保证了每期“15选5”都会有大量的中奖者产生，让许多玩彩多年而没有中奖机会的彩民品尝到了中奖的快乐。不同的彩票玩法有不同的中奖概率，与之相应地，也形成了各种彩票不同的奖金额度。越是容易中奖的彩票，会有越多的彩民来瓜分奖金，相对地单注奖金会略低；而难度越大，中奖的人越少，单注奖金也会相应地提高。一般讲述概率，总要以掷硬币为例。但是彩票中的概率要比掷硬币复杂得多，数量大得多。以奇偶号为例，谈一谈概率。你拿出7个硬币来，随便掷一下，看看几个正面几个反面。如果你拿出36个硬币，并把它们都编上号，再每次都拿出7个编好号的硬币，随便掷一下，看一看有几个正面，几个反面，统计若干次，寻找它们规律，这就是奇偶号的概率统计。而仅仅利用奇偶号去选号是远远不够的，但只这一项技术指标就已经让彩民认识到概率数字的庞大了。其实，通过大量的数据分析，随机性的数据分布是呈现出一定规律的，例如：在十次抛硬币试验中，某一面出现的次数会比另一面多，但从一个大样本的抛硬币实验过程来看，正面、反面出现的概率基本上各为50%。彩票中奖号码也是同样道理。

二、彩票中的排列问题

从上面的基本概念我们知道排列分两种，一种是全排列，一种是选排列。排列讲究先后次序，体现在数字型电脑彩票中，它的游戏规则规定先后次序必须与实际结果相一致。目前，“3D”、排列三等彩票就是典型的选排列的玩法，七乐彩也可用其奖号的尾数来做成选排列的形式，而“数字型彩票”属于有重复的排列。它的游戏规则大家肯定不会陌生，是从0到9这10个数字中任取 6个数字组成一个六位数，然后从0到4这5个数字中任取1个数字作为特别号码。只不过这个六位数和数学意义上的六位数有些不同，它允许0作为十万位上的数字。由排列的定义2：一般地说，从N个不同元素中，任取M（M≤N）个元素（元素可以重复），按照一定的顺序排成一列，叫做有重复的排列，不难算出“数字型彩票”每次开奖共有特别号码个数×106种，即五百万个不同的开奖号码。

三、彩票中的组合问题

通过计算投入产出比，彩民就可以算出判断正确与失误

的投资成本情况。如：玩乐透型电脑彩票，必须牢记一个组

合公式：Cnm=■。将30选7代入公式可以得到C730=■=2035800，从而可以计算投入产出比。

再如：在七乐彩中，某甲彩民提出了16个候选号码，而其中有6个是正选中奖号码：C716=■=11440（注），如果该彩民买16个号码复式投注，就要花11440×2=22880元。而得到的奖是10C+2250元，那么这2C+300元是怎样算出来的呢？假设该彩民挑出的16个号是：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27、29。而中奖号码是1、5、9、13、17、21、25。选中的号码是1、5、9、13、17、21。7个号码的和数值是21，6个号的和数值是66。那么1、5、9、13、17、21加上3、7、11、15、19、23、25、27、29。这九个号码就是该彩民得到的10C（10个二等奖），C56=■=

6种。

C210=■=45，45×6=270×50（元）=13500（元），C46=■=15，C310=■=120，120×15×5（元）=9000（元），13500+9000=22500（元）。彩民掌握了组合公式和计算方法，就不会在领奖时算不清自己该拿多少钱了。

参考文献：

[1]徐利治，蒋茂深，朱自强.计算组合数学[M].上海科学出版社，1983.

[2]吴珊娜.彩票的运行机理[J].渭南师范学院学报，2001（6）.

编辑 张珍珍