追根溯源承前启后——以苏科版七上“4.1从问题到方程”课时解读与设计为例

■万志建

追根溯源承前启后
——以苏科版七上“4.1从问题到方程”课时解读与设计为例

■万志建

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系。笔者结合江苏省特级教师浦叙德主持的江苏省教育科学“十二五”规划课题“初中数学教材“点全·线联·面融式”课时解读的实践研究——以“苏科版（国标）教材为例”，摭谈“4.1从问题到方程”课时解读与设计。

一、从课时内容结构分析

本课时由五个部分构成：第一部分是情境素材，天平平衡所表示的数量关系，让学生通过动手动脑，感受相等所对应的生活模型；第二部分是实际问题，让学生通过假设未知数，描述数量的相等关系；第三部分是古代问题，让学生尝试寻找等量关系，体验寻找等量关系的方法，即找到一个合适的量，用两种方式加以表达，等号连接便得方程；第四部分是收集方程，归纳特征，提炼概念；最后是配套练习与习题。

二、从“点全·线联·面融”视角解读

1.“点全”视角解读：梳理来龙去脉，让知识点水落石出。

“点全”即对“4.1从问题到方程”课时的知识点进行全面解读，梳理“一元一次方程”的概念从哪里来。一元一次方程的概念有三个维度，一是等式，教材通过天平的平衡过渡到实际问题中数量关系的相等，从而产生等式；二是含有未知数，建立在小学已学过方程的基础上顺水推舟即可，但要通过具体问题让学生感悟学一元一次方程的意义，体会到通过设未知数来解决实际问题的简便性、优越性；三是“次数”是一次，“次数”怎么看？学生在前一章刚学过代数式，懂得如何观察单项式及多项式的“次数”，相对于观察方程的次数，看未知数的次数尤为浅显易懂。

2.“线联”视角解读：串联前后知识，让知识线水到渠成。

“线联”即要关注知识的“生长点”与“延伸点”，追求知识的前后连贯，自然生成，把散落的珍珠串成美丽的项链，体现知识的整体性。对于有些可在生活数学、知识关联视角两方面解读的课时，则应把隐含在知识背后的数学思想方法予以揭示，使数学知识与思想方法的明暗两条线组成设计与教学的双翼。本课时解读如下，若按照代数概念产生的一般方法和规律，可以按照“列举问题——得出式子——归纳特征——提炼概念——灵活运用”构成知识的关联线；若按本课素材明线来看，是由“两个情境”引出知识，一是观察平衡模型，二是寻找数量相等，体现了数学中从具体到抽象的基本思想方法；接着通过古代问题及“试一试”等问题，共得出5个方程，让学生归纳这类方程的特点，体现了数学从一般到特殊的基本思想方法；最后是练习与习题。在本课结束时，教师可以布置一些发展性的问题，如今天我们通过设未知数来解决相关问题，但事情只做了一半，我们只得到了方程，如何解这些方程呢？你们能否结合天平平衡的原理，化繁为简，找到解方程的方法呢？方程从未知数的个数和次数而言，有一元一次方程，你认为还有什么方程？等等，让课堂余音绕梁，让生成源源不断。

3.“面融”视角解读：提升“四基、四能”，让知识面水涨船高。

“面融”即把本课时从“四基、四能”的整体层面进行解读，它包括显性知识板块层面，即本课知识处于什么知识线上？处在什么知识板块下？与相近知识板块之间有什么内在联系，及时进行类比和对比；还包括隐性能力层面，需要注重哪些能力的培养？形成哪些数学观念？本课时“面融”解读如下：纵观小学、初中各个学段的学习内容，发现“方程”的知识是呈螺旋式上升的，先是小学教学中根据实际问题，初涉简单的一元一次方程，让学生有一个朦胧的概念，但不涉及具体解法和应用，到七年级上学期，面对较为复杂的实际问题，仅凭小学的算术方法很难直接表达其中的数量关系，而通过假设未知数，一方面可以更为直接地表述数量关系，思维较为顺畅，另一方面，在表述数量关系时，实际上是兵分两路，各表同量，难度降半，事半功倍，即设法从两个不同的角度通过未知数来表示一个恰当的中间量，从而构建等量关系，得到一元一次方程。若依此类推，举一反三，有一元一次方程便有二元一次方程、三元一次方程、一元二次方程等等，也为学生后继学习更为复杂的方程提供了方法和依据。若追根溯源，方程在生活中的原型是天平的平衡，平衡中的天平两边同时加减相同的量，天平仍然平衡，类似地，也为化简方程找到了思路。

三、基于教材解读的教学设计

基于以上的教材解读与分析，笔者进行了如下的教学设计：

1.创设情境，难则思变。

师：有一根铁丝，第一次用了它的一半少1米，第二次用去了剩余的一半多1米，结果还剩2.5米，问这根铁丝原有多长？

很多学生感觉较难下手，部分学优生尝试用算术方法解答。

师：如果用小学里的算术方法解答，的确比较难下手，知识的发展源于问题，今天我们尝试换一个角度，来一次革命。

2.开放问题，玩味平衡。

师：如图，天平的左盘中有两个相同的小球和一个质量为1g的小球，右盘中有一个5g的砝码。怎样描述天平平衡时所表示的数量之间的相等关系？你还可以怎样改变条件并描述天平平衡时所表示的数量之间的相等关系？

学生尝试改变条件，体验等量关系，初步感知方程。

3.方法比较，体会价值。

师：篮球联赛规则规定：胜一场得2分，负一场得1分。某篮球队赛了12场，共得20分。你能提出什么问题？怎样解决？

学生提出问题，并思考解决之道，有的用算术方法，有的开始尝试用方程解决。学生初步体验实际问题中已知量和未知量之间的相等关系，可以用多种不同的方式描述。并通过比较可以看出，用方程描述这种相等关系最简明。

4.提炼特征，理解新知。

教师再出示例题：甲、乙两同学学习计算机打字，甲打一篇3000字的文章与乙打一篇2400字的文章所用的时间相同。已知甲每分钟比乙每分钟多打12个字，问甲每分钟打多少个字？

教师引导学生通过对实际问题中数量关系的分析，体会如何用方程描述实际问题中的等量关系。让学生概括这类方程的特点，引出一元一次方程的概念。

接着教师介绍方程史话：人类对方程的研究可以追溯到远古时代，大约3600年前，古代埃及人写在纸草书上的数学问题中就涉及了含有未知数的等式，中国对方程的研究也有悠久的历史，著名的中国古代数学著作《九章算术》中，就有专门用“方程”命名的一章。

5.现学现用，巩固新知。

（1）概念辨析，加深理解。

师：下列各式中，是方程的有几个？是一元一次方程的有几个？你能否再举一些例子？

①2x+3；②2+5＝7；③-2x＝3x+2；④-3+ 0.4y＝8；⑤x+1＞3。

（2）抓住等量，建立方程。

设某数为x，根据下列条件列方程：

①某数的65%与-2的差等于它的一半；

（3）我国古代问题。

以绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺。绳长、井深各几何？

学生解释：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺。绳长、井深各几尺？

教师引导学生总结寻找等量关系的一些关键字。

6.回顾悬念，柳暗花明。

教师引导学生解决课首提出的问题，再次体验用方程解决实际问题的优越性，即兵分二路，同表一量，难度降半。

7.议议生慧，明道悟理。

师：通过本节课的学习，你有哪些收获？你还想了解一元一次方程的什么知识？你认为方程还会怎样发展？

学生从数学知识、数学思想、生活哲理等方面总结。

结语：从“点全、线联、面融”三个视角进行课时解读与教学设计，一方面为教师提供了一个要求规范、起点较高、操作性强的分析教材、理解教材、吃透教材的方法和工具，让教师站在系统的高度，俯瞰课堂，整体分析，追根溯源，承前启后；另一方面，为培养学生的数学核心素养另辟蹊径，教材的解读不仅停留在寻找知识之间的逻辑顺序及知识之间的实质性联系，而且透过现象看本质，把隐含在知识背后的数学思想方法予以揭示，使数学知识与思想方法的明暗两条线比翼双飞，让学生逐步学会用数学的眼光观察现实世界，发展数学抽象、直观想象素养；用数学的思维分析世界，发展逻辑推理、数学运算素养；用数学的语言表达世界，发展数学建模、数据分析素养。

（作者为江苏省无锡市张泾中学教师）