三角经典问题研究两例

胡诗洁

【摘 要】三角是中学数学的重要章节，其是一种特殊的函数，正是因为其以角度作为特殊的自变量，使得不少问题的解决获得了简化。本文研究三角学习中的两个经典问题，与大家一起探讨其中的一些思考。

【关键词】三角；求值；三角函数；值域；思想

三角是一个非常独特的章节，三角函数是以角度作为自变量的函数.在三角问题的研究中，需要研究一些经典的例题，从经典例题中获取知识整合的运用，掌握三角相关知识的熟练性，进一步体会三角知识运用中涉及的数学思想方法。

问题1：已知 ，且 ，则 的值为 。

分析：本题是经典的三角求值问题，需要从多个知识点思考。在学习中比较容易错误的地方是对角度范围的精确化判断，这是作为初学者往往不太注意的，因为在平方关系后产生了增根，往往导致不合范围的角度也进入了所求，因此这是第一个需要注意的；第二个值得关注的是问题求解的方式，初学学生往往都是利用单量的方式进行求解，这与思维尚处在初级阶段有关，随着学习的深入和三角公式理解的更进一步，如何避免去求解单量才是学习的关键所在。

错解：由 ，两边平方得

，所以 ，所以

。这是一种典型的错解，原因在于并没有认识到

对问题的影响，而且平方方式产生了增根。这样的问题要正确求解，需要对角度范围进一步合理分析，并且尽量避免同角关系式的使用。

法1：由 ，得 ，化簡

得 ，解得 或 因为

，所以 ，即

所以 ， 。

说明：如果实在对同角关系式情有独钟，那就必须认真

分析角度自身范围对值的影响，关键是 可以

知道 是钝角，因此可以分析得出负值。这里是学习

需要注意的，因为对值的取舍成为解决很多三角问题的关键。因此这样的法1随着学习的深入渐渐的被淘汰。

法2：因为 ，两边平方得

，所以 ，所以

。因 ，所以 ，又因 ，

所以 ，得 ，即 ，

，所以 。

说明：若对错解进一步分析，不难思考角度对值的影响.这样的问题以后会多次遇到，这也是三角求值问题的典型想法，即尽可能不要利用平方关系，因为这往往导致增根的产生.因此最好的解法是：

法3：因为 ，两边平方得

，所以 ，即 ，得

， 。

说明：本法是最好的解决求值问题的方式，因为本法不同于上述两个方法，上述两法都是对于单量的求解，本法是避开了单量，从整体的角度进行了求解，这种利用整体性的想法是后续更多三角求值问题的主要思路，值得积累。

问题2：求函数y=cos2x+2sinx的值域（x∈[- ， ]）。

分析：问题是比较典型的三角函数值域问题。从二倍角公式简单思考，我们就发现应该是换元思想介入，问题的本质是二次函数求值域问题.y=1-2sin x+2sinx=-2（sinx- ） + ，由x∈[- ， ]，可知- ≤sinx≤1，可以求得函数值域y∈[- ， ]。对于大多数学习者来说，我们都可以比较轻松的解决本题，因为仅仅一步的技巧让问题的本质凸显的比较明显，但是更深层次的东西需要进一步思考：即换元思想（整体性的思考）才是与三角有关值域问题的核心。

变式1：求函数 的值域

（ ）。

分析：本题首先需要借助三角公式的变形。从代数式上思考，不难发现本题全部是齐次式，既然是齐次式就可以从统一降次的角度思考，原式可以简化为

，

由， 可知 ，所以原函数的值域

。齐次式的简化是三角值域问题的经典问题，如何将降次和整合联系在一起，是问题解决的关键，这种代数变形的能力是必须掌握的、必须具备的。

本文分析了两个三角经典问题，第一个问题是从求值的角度入手，指出了学习需要注重角度范围思考，更重要的是如何学习避免单量的求解；第二个问题是注重对于代数式次数的研究，从而获得函数的本质，换元思想成为重要的问题解决思想，后续更多的问题恳请读者指正。

【参考文献】

[1]郑毓信，梁贯成.认知问题建构与数学思想[M].上海：上海教育出版社，2002

[2]方小芹，林德宽.数学问题解决过程中的知识类型分析[J].数学通讯，2013.4