利用“隐性”轨迹解决相关问题

李书芳

【摘 要】高考对于轨迹的考察有两类：一类是“显性”轨迹问题，一类是“隐性轨迹”问题，而对于“隐性轨迹”问题学生不容易看透，这种轨迹问题涉及数学各个领域，借助于轨迹及轨迹方程可以大大简化解题过程，提高解题速度，达到事半功倍的效果。

【关键词】隐性；轨迹；解题思路；动态

利用已知条件求轨迹方程是解析几何主要研究的问题之一，而再利用轨迹方程解决相关的最值、范围问题也是高考的热点问题，特别是一些“隐性”轨迹问题，这类题目具有一定的隐蔽性，表面上看上去与求轨迹方程毫无关系，如果学生在解决相关范围、最值问题的时候偏离了方向，会给解题带来了很大的难度，从而陷入困境，无法突破。

从这几年的江苏数学高考试题来看，对轨迹方程的考察一直在延续，这充分利用了“动态”分析的思想，也体现了解析几何的特点，所以在高考复习中我们教师要重视这一类题型，弄清这类题型的特点和解题思路，提升学生处理这一类问题的能力。下面列举几例与隐性轨迹相关的一些问题：

1.与三角中有关的“隐性”轨迹问题

例1：（2008年江苏高考题）若AB=2，AC= BC，则S 的最大值为_____。

解：因为AB=2（定长），可以以AB所在的直线为轴，其中垂线为y轴建立直角坐标系，则A（-1，0），B（1，0），设C（x，y），由AC= BC可得

化简得（x-3） +y =8，即C在以（3，0）为圆心，2 为半径的圆上运动。又S = ·AB·|y |=|y |≤2 。

评注：本题可以通过三角形的面积公式及余弦定理解决，但运算比较繁琐，通过建立坐标系把几何问题代数化，通过代数的方法研究点C的特点（直接求出动点C的轨迹方程），从而利用动点C到AB的距离的最大值来求出面积的最大值，不但思路变得清晰，而且运算变得更加简洁。

例2：在△ABC中，已知AB=2，AC -BC =6则tanC的最大值为_____。

解：建立如图所示的直角坐标系，设A（-1，0），B（1，0），C（x，y）则[（x+1） +y ]-[（x-1） +y ]=6，化简得x= ，过点C作x轴垂线交x于点H，设CH=t（t>0），tanC=tan（∠ACH-∠BCH），因為tan∠ACH= ，tan∠BCH= 所以tanC= ≤ = ，“=”当且仅当t= 时取得，所以tanC的最大值为 。

评注：本题利用建立坐标系，把条件合理转化为求点C的轨迹问题，再结合基本不等式求出最大值。对于本题学生如果方法选择不好，那么运算量以及思路会有差异，比如学生会先求cosC= = ，那么下面解决就比较麻烦，我们可以利用基本不等式中的一个齐次的做法进行转化，cosC= = = （ + ）≥ ，进而求出tanC的最大值，问题也能得到解决，不过思维量较大，由此可见巧妙地利用轨迹方程可以简化运算过程。

例3：在△ABC中，若a +b +2c =8，则S 面积的最大值为____。

解：建立如图所示的直角坐标系，设B（c，0），C（x，y），由题意，得（x-c） +y +x +y +2c =8，化简得（x- ） +y = ，则S = ×AB|y |，S = ×AB ×y ≤ c × = [-5（c - ） + ≤ ，所以当c = 时，S 面积的最大值为 。

评注：本题可以采用余弦定理cosC= = ，消去c，再结合三角形面积公式，利用基本不等式转化为函数形式加以解决，但方法不容易想到，运算也比较复杂，利用求轨迹方程的方法，则使得思路及运算更加简单，不过这种思路带有一定的隐蔽性。

2.与集合有关的“隐性”轨迹问题

例4：已知集合A={（x，y）|x +y ≤4}，集合B={（x，y）|-5

解：由题可得到，x =x-x ，y =y-y ，所以（x-x ） +（y-y ） ≤4，而集合B表示的是矩形区域（不包括边界），这样（x-x ） +（y-y ） ≤4所表示的点的轨迹是以（x ，y ）为圆心，2为半径的圆及其内部，M={（x，y）|x=x +x ，y=y +y ，（x ，y ）∈A，（x ，y ）∈B}所表示的区域是4个半圆及矩形构成的图形，区域的面积为124+4π。

评注：本题通过转移代入法，得到集合M中的点的轨迹是（x ，y ）为圆心，2为半径的圆及其内部，再通过集合B所表示的区域得到画出集合M所表示的区域。不仅考察了对集合描述法的理解，还考察了圆的相关性质。

3.与解析几何本身有关的“隐性”轨迹问题

例5：已知圆C：（x-2a） +（y-a-3） =4上总存在两个点到原点距离为1，则实数a的取值范围是_______。

解：到原点距离为1的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，圆O方程为x +y =1，由题意得，圆C与圆O两圆相交，则1< <3，解得-

评注：本题的切入点是对“到原点距离为1”这句话的理解，找到到原点距离为1的点的轨迹，然后结合条件圆C上存在两个点，这样便转化为两圆相交问题。

例6：已知圆C：x +y -6x+5=0，点A、B在圆上，且AB=2 ，则| A+ B|的最大值为______。

解：由题意，圆心C到直线AB的距离为1，而AB又是圆C的弦，所以直线AB是以C点为圆心，1为半径的圆的切线，因为点P为线段AB的中点，则点P的轨迹在以C点为圆心，1为半径的圆，| A+ B|=2| P|，OP∈[2，4]，所以| A+ B|的最大值为8。

评注：本题先找出将 A+ B转化为2 P，找到P点的轨迹，进而求出点P与点O的距离的最大值，本题对于向量模的问题学生也容易想到平方，那么会给解题带来很大的难度，甚至无法解题。

例7：已知圆C：x +（y-1） =5A为圆C与x轴负半轴的交点，过点A作圆C的弦AB，记线段AB的中点为M，若OA=OM，则直线AB的斜率为____。

解法一：因为OA=OM，所以点M在x轴上方，又∠AMC=∠AOC=90 ，所以A，O，C，M四点共圆，圆方程为x（x+2）+y（y-1）=0，而直线AB可以看成是圆O与圆x（x+2）+y（y-1）=0的公共直线，则直线AB为两圆公共弦所在直线，两圆相减得2x-y+4=0，则直线AB的斜率为2。

解法二：因为A，O，C，M四点共圆，所以sin∠BAO= ，也可以通过这个方法解决。

评注：本题学生的解法会偏注于代数方法，设出直线AB的方程y=k（x+2），得到直线CM的方程y=- x+1两直线联立得M点坐标，再通过0M=2求出，这样运算量要大些，那么通过几何法发现点B虽然是动点，但直线AB可以看出公共弦，以两圆公共弦作为背景加以解题，大大地减少了运算。

4.与立体几何有关的“隐性”轨迹问题

例10：已知正方体ABCD-A B C D 的棱长为3，点P在正方体的内部，且PA=3，当点P运动时形成的区域把正方体截成的两部分体积之比为____________。

解：点A为定点，且PA=3，所以点P的轨迹是以点A为球心，3为半径的球（在正方体内部的部分），由于交于A点处的三面角的各个面都是直角，所以在正方体内部的那部分是整个球球的 ，则体积为V = × ×3 = ，剩余部分体积V =27- ，所以体积比为 。

例11：两根直立的旗杆相距14米，高分別是6米和8米，地面上的点P到两根旗杆顶的仰角相等，则点P在地面上围成的区域的面积为_________。

解：设A，B两旗杆的高分别为h ，h ，则h =6，h =8，以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，则A（-7，0），B（7，0），设P（X，Y）到两根旗杆的仰角为α，β，

所以 ，∴ = ，即 = ，则 = ，化简得（x+25） +y =576，所以点P在地面上形成的轨迹是圆，围成的区域面积为576π。

评注：空间图形的某些轨迹问题，通常会把空间图形的中的部分元素转化到平面中，利用平面求轨迹的方法加以解决，这类轨迹问题通常会是直线、圆以及圆锥曲线。

5.与函数有关的“隐性”轨迹问题

例8：函数f（x）= （0≤x≤2π）的值域是_______。

解：由于f（x）= ，设P（1-cosx，1-sinx），点P的轨迹方程（x-1） +（y-1） =1，根据三角函数的定义，f（x）=-sin∠POX，当点P变化时，∠POX的范围为[0， ]，所以f（x）的值域为[-1，0]。

例9：函数f（x）= （0≤x≤2π）的值域为_________。

解：令y=f （x= = 设P（-4cosx，cos x），则y= 表示的几何意义是两点P（-4cosx，cos x）与A（5，1）连线的斜率，而点P的轨迹为y= （0≤y≤1）的一段，当直线AP与抛物线相切时，y取最大值，当AP平行x轴时，y取最小值，所以0≤y≤ ，即- ≤f（x）≤ 。

评注：以上两例分别采用构造三角函数的定义和斜率几何意义，找到点的运动轨迹，利用点的轨迹方程，从而解决比较复杂的值域问题。

现行的《普通高中数学课程标准（实验）》对轨迹问题没有过高的要求，但在近几年的高考中不少题目看似与轨迹无关，题目中也没有明显地指向求轨迹或轨迹方程，可谓是“明修栈道，暗度陈仓”。这类“隐性”轨迹问题渗透在数学的很多领域，与数学知识密切相关，学生在处理这类问题时，往往会偏离解题方向，导致运算量和思维量偏大，究其主要原因是学生在处理这一类问题时，向轨迹转化的意识不强，没有动态分析的思想指引，思考问题的视野不够开阔，教师在平时教学中要有意无意地涉及到这类问题，充分挖掘“隐性”轨迹及轨迹方程，这样会大大简化解题过程，提高解题速度，达到事半功倍的效果。虽然对于轨迹这一类问题不能深挖，但我们必须要重视轨迹问题的基本方法、基本题型，让学生在处理这类题型时能有一定的转化意识，形成基本的轨迹思想。

【参考文献】

[1]吴新建.解析几何复习应重视轨迹思想的渗透[J].中学数学月刊，2015（3）：39-41