小学数学典型错例分析及矫正策略

小学数学典型错例分析及矫正策略

编者按：错例是学生学习知识后的第一反馈，是直接反映学生学习情况的生成性教学资源，能够帮助教师很好地读懂学生。以错例的整理与分析为读懂学生的切入点，充分挖掘错例中的教学价值，才能科学合理地设计、实施和改进教学，促进学生的有效学习和教师的专业发展。

数与代数

【错例】

【诊断】

1.学习经验的影响。学生从一步计算过渡到两步计算，是计算技能的一次飞跃。学生对乘（除）加、乘（除）减的算理理解、递等式的书写等有一定困难。

2.思维定式的干扰。用原有的运算法则与方法干扰新的运算法则与方法的学习。另外，在日常生活中，看书、写字等都是习惯于“从左向右”的顺序，这种生活经验干扰了学生对乘（除）加、乘（除）减运算顺序的正确深刻理解。

【对策】

1.深刻理解算理、及时巩固练习。学生对数学算理的理解程度决定了计算结果的对与错。学生对算理理解不透彻，掌握不牢固，就很容易造成计算出错。究其原因，主要是学生缺乏对程序性知识的掌握。因此，在计算之前，学生一定要牢固掌握运算相关的程序性知识，为得出准确的计算结果提供保障。

2.打破思维定式，灵活掌握知识。在小学数学的学习中，有许多的计算是相互联系又相互区别的。在学习的过程中，应该将那些容易混淆、难以区分的计算整理到一起加以辨别，从中明确它们之间的本质区别，掌握两者间的内在联系。通过归纳、整理与练习等方式，来促进思维定式带来的正面影响，排除负面的干扰。提倡学生看到题目后，先确定运算顺序，用圈一圈、画横线的方法标出先算的部分，提示自己按正确的运算顺序逐步计算。计算完成后要回望检查，养成良好的数学学习习惯。

【错例】

【诊断】

1.抽象思维欠缺。学生通过操作或直接观察图形，解决“比较分数大小”的问题，不会有太大的障碍，而学生一旦离开了直观的图形，再加上运算法则的综合应用，就显得有些忙乱，极易混淆。

2.知识的负迁移。学生容易受整数、小数大小比较的影响，干扰了异分母分数大小的比较。另外，由于受同分母分数比较大小负迁移的影响，认为分子相同，分母不同时，分母大的分数就大。

【对策】

1.加强动手操作，深入理解知识。在教学中，教师要摒弃“重结论，轻过程”的教学，依据学生的年龄特点和已有的知识经验开展活动，引导学生亲自动手折一折、分一分、画一画等实践活动，感知分数大小比较的方法，让学生在小组操作中充分地交换意见、总结方法，从而深层次理解和发现分数大小比较的规律。

2.构建知识联系，促进积极迁移。学习的积极迁移，需要有必要的知识、经验、技能做铺垫。我们可以在教学分数比较大小前复习整数、小数、同分母分数比较大小的方法，并从数学本质上理清这些知识的异同，为学生掌握分数比较大小做好孕伏。

【错例】

【诊断】

1.思维定式影响。学生学了简便计算后，认为所有的运算就都可以进行简便计算，而当碰到不能简便的运算题时，就不知所措了。

2.算式结构干扰。“凑整”能使计算简便，但“凑整”必须建立在正确运用运算定律的基础上，不能盲目地追求“凑整”。如上题中，学生因看到“25×4=100”“23+7= 30”，就误以为可以把后两个数直接进行计算，从而导致计算结果的错误。

【对策】

1.整体把握知识，促进知识形成。教师要树立大计算教学观，简便计算的教学应建立在真实的计算教学背景上，不应该脱离计算教学来谈简便计算。在教学简便计算时，最好把能简便与不能简便的习题同时呈现，让学生知道有些习题通过运用运算定律能使计算简便，而有些则不能，甚至用了运算定律反而使计算变得复杂。

2.深刻理解知识，发展学生思维。通过简便计算的学习，不仅要让学生体会到数学知识内在的简洁美，还要培养学生思维的灵活性，切忌让学生形成“简便计算就是凑整”的错误思想。针对这类错误，一方面，教师要加强学生对运算定律的认识与理解，另一方面还应培养学生认真负责的学习态度，让他们从小养成用估算或按运算顺序再算一遍进行验算的良好习惯。

【错例】

【诊断】

运算定律理解不透彻。由于乘法结合律与乘法分配律在表现形式上十分相近，致使一些学生容易造成知觉上的错误，误把乘法结合律当乘法分配律运用，这说明学生对这两条运算定律的理解还不够透彻。乘法分配律是乘法对于两个数的和或差的分配律。而乘法结合律是几个数连乘时，可以交换运算顺序。像上题三个数连乘应选用乘法交换律或乘法结合律，而不应选用乘法分配律。

【对策】

1.结合生活情境，深刻理解知识。教师不能只是简单地从形式入手，告诉学生括号里是乘号时不能运用乘法分配律，只能当括号里是加法或减法时才能用乘法分配律。而应从乘法结合律和乘法分配律的意义入手，并通过结合具体的情境让学生加以理解，也可以让学生对这两条运算定律进行比较，深入地理解乘法结合律及乘法分配律的意义，自主建构起知识体系。

2.对比相似知识，巩固基础知识。为区别两种运算定律的不同之处及其运用后所产生不同的简便程度，可以加深学生对这两种运算定律的理解，教师可引导学生用以下两种不同的思路加以练习。

【错例】

【诊断】

1.知识本质认识不到位。判断一个分数能否化为有限小数，关键有两点：第一，要求这个分数是最简分数；第二，要求这个分数的分母中只含有因数2或5。学生容易把“只要有”代替了“只含有”，如的分母是30，它的因数中有2和5，学生就误认为该分数能化为有限小数。另外，学生在判断之前往往没有先看该分数是否已化为最简分数，如中分母12的因数中除了2还有3，学生就误认为该分数不能化为有限小数，但该分数还不是最简分数。

2.已有知识经验不丰富。“分数能否化为有限小数的规律”的理解非常抽象，学生基本上没有什么已有知识和生活经验得以借鉴，对抽象思维能力薄弱的小学生来说，容易判断失误。

【对策】

1.巧设数学活动，经历自主探究。在教学中，要结合学生已有的认知水平，引导学生通过猜想、验证、交流、归纳等数学活动，从分类中进行比较和探究，从中发现“分数能化为有限小数”的规律，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。

2.鼓励大胆设疑，深入理解知识。教师引导学生通过举例验证，完善规律，让学生自由举出分数，利用发现的规律检验每一个分数能否化为有限小数。这样的教学，能让学生在大胆设疑、合理猜想、合作讨论中，积极参与探索数学知识的形成，从而深入理解一个分数能否化为有限小数的规律，防止学习由于对规律的不完全理解而导致判断的错误。

【错例】

1.5.5中的两个“5”表示的意义相同。 （√）

2.小数都比1小。 （√）

【诊断】

1.知识的负迁移。由于学生学习小数是从已有的整数拓展到小数的，是数的认识领域的一次拓展，许多学生因难以逾越这个“坎儿”而形成认识盲点。另外，小学生在长期学习中积累的整数经验特别是大数的经验定式，束缚了他们对小数意义的认识，相对于整数的大数而言，有的学生会误认为“小数比1小”。

2.缺少生活经验。小学生在日常生活中积累的有关小数的生活模型较少，生活经验的缺失也制约了他们对小数意义的理解与建构。

【对策】

1.强调直观教学，注意教学层次。教学小数的意义应充分采用直观教学的方法，并注意教学的层次性。第一层次:让学生亲手量一量课桌、课本、铅笔、文具盒等身边的物品，充分体验不能得到整数结果的情境，激发其学习小数知识的内在动机。第二层次:应用米尺通过实际度量课桌长度，以“米”作单位，用分数表示几分米、几厘米、几毫米，进而抽象为用小数表示结果。说明把一个整体平均分成10份、100份、1000份……这样的几份就分别是十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……第三层次:引导学生从具体到抽象、从特殊到一般，观察、思考、分析、归纳，从中认识小数的产生以及小数的意义，通过多种活动使学生较好地理解小数的意义。

2.宏观把握知识，加强知识联系。教师要关注学生的认知背景，抓住整数与小数知识的连接点，精心创设为学生所熟知的情境，提供足够的思考空间，改进教学方式，让学生亲历小数的“再创造”过程，发现、感悟小数的意义。小数是从整数扩充来的，所以整数知识对小数知识的学习会有两种迁移作用。一种是正迁移，如整数的记数位值原则、十进关系等对小数学习有促进作用；二是负迁移作用，如小数大小的比较，数位名称及读法、写法都会受整数知识思维定式的干扰，因此教学中要加强对比，充分利用已有的整数知识来学习小数。

3.联系生活实际，建构小数意义。在日常教学中应多引导学生将小数知识与实际生活相联系，深刻理解小数的意义，如，引导学生体验生活后写一写数学日记《生活中的小数》等。

【错例】

小丽m岁，妈妈（m+a）岁，b年后，妈妈比小丽大（A）岁。

A．a+b B.a-b C.a D.b

【诊断】

代数知识抽象。学生不能接受字母可以像数一样参与运算等特征，在用字母表示数的练习中，学生不容易分清每个代数式的意义，在理解题意时容易产生错误。

【对策】

1.重视学习过程，感受代数思想。怎样让学生理解“为什么要用字母表示数”“在什么情况下用字母表示数”呢？在整个教学活动中，教师应重视利用所学知识解决实际问题，使学生经历由符号表示数过渡到用字母表示数。在这一过程中，可以让学生先自己观察，解决问题，然后同学之间再互相启发、互相补充，在解决问题的过程中深化对数学知识的认识。

2.联系生活实际，加强应用意识。用字母表示数的教学应该从学生已有的生活经验出发，由符号表示数过渡到用字母表示具体的数，让学生体会、认识到用字母表示数在实际生活和学习中的广泛应用。再让学生列举生活中见过的用字母表示数的例子，使学生感受到数学就在身边，同时增强对用字母表示的数的认识。

【错例】

【诊断】

1.忽视算理理解。教师只重视计算操作技能的形成，却忽视相关算理的理解，也就是片面地向学生强调“因数有几位小数，积就有几位小数”这一计算操作技能，而忽略了对积中小数点由来的探究。

2.数学体验不足。学生不能从小数乘法法则的“再创造”活动中获得丰富的数学体验，导致学生给积点上小数点时盲目、随意，缺乏准确性。

【对策】

1.自主探究算理，巩固基本技能。在教学中，教师要注意放手让学生去探究小数乘法法则，引导学生充分交流、互相分享，让学生深刻理解处理积中小数点的算理，形成自觉、正确地给积加上小数点的技能。

2.加强合作交流，提升计算能力。在小数乘法的教学中，教师可以从“合作交流”的教学方式入手，让学生对小数乘法转化成整数乘法的策略充分交流、评价、质疑，从而理解、内化小数点的处理策略。这里需要注意的是，学生的交流并不能简单地停留于“说”的层面上，也就是说并非是将各种观点进行“堆砌”，而是要引导学生互相评析、质疑、比较，让学生在积极主动的交流互动中，实现思维的激活、碰撞，深刻理解小数乘法中积的变化规律，进而正确处理好积中小数点的问题，提升学生的计算技能。

【错例】

一根绳子长90%米。 （√）

【诊断】

1.概念理解不清。对百分数的意义缺乏深度理解，即对“百分数是表示一个数是另一个数的百分之几”“指两个数之间的倍数关系”的实际内涵理解不清。

2.知识关系模糊。百分数是一种特殊的分数，它与分数既有联系又有区别，不少学生对分数与百分数之间的关系容易混淆，把分数可以表示具体的数量的用途迁移到百分数中，导致判断错误。

【对策】

1.创设生活情境，自主建构概念。在日常教学中，教师要在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，联系生活实际，留给学生充分从事数学活动的机会，让学生在具体的生活素材中去积累对百分数的感性认识，从而自主构建“百分数”的概念。

2.加强知识对比，理清相互关系。组织学生通过小组合作学习，比较百分数与分数的异同，通过积极思考，与同伴的交流，进一步理解百分数和分数的区别与联系，获得正确的认识。

【诊断】

1.概念认识不清。对倒数的定义缺乏本质的认识和理解，即对“积是1”“两个数”“互为倒数”等知识的实际含义以及互相关系并没有真正弄懂。

2.知识理解偏差。学生容易认为倒数就是“倒过来”“颠倒一下”“上下对调”“结果是1”，理解错误而出现概念偏差。倒数是两个数之间的一种特殊关系，即这两个数的积是1。在此前提下，才有两个数互为倒数的概念。

【错例】

【对策】

1.基于已有经验，经历知识形成。让学生从自己的数学经验出发，经历思考、概括或发现有关数学结论的过程。针对学生在求一个数的倒数时，认为只要把这个数倒过来或两个数的计算结果等于1，这两个数就成互为倒数的错误情形，教师可以让学生从自学课本入手，以已有的经验来解释“积是1的两个数互为倒数”这句话；通过师生共同交流的方式，从初步剖析意义到深入探究倒数的意义，学生在活动中经历独立思考、探究问题、应用知识的全过程，突出学生的主体地位，发挥学生学习的能动性。

2.加强变式练习，巩固基础知识。在“倒数”教学的练习环节应该加强变式练习，如0.2的倒数是（ ），1的倒数是（ ）等。在学生思考“0.2×5=1”所以0.2的倒数是5,“1×1=1”所以1的倒数是它本身的过程中，引导学生从知识的本质出发思考问题，而不仅仅从知识的表现形式出发思考问题，有助于学生形成对倒数这一概念正确而深刻的认识。

（杨志宇）

图形与几何

【错例】

上海在北京南偏东约30°的方向上，北京在上海的西偏北约（ ）的方向上。

错解：30°

【诊断】

1.学习方式不当。学生普遍存在着通过死记硬背的学习方式来解决此类问题。如：给出A在B的东（西）偏北（南）方向上，反过来B就在A的相反方向上，B在A西（东）偏南（北）上，但度数是不变的。这样的学习方式并没有达到对知识的真正理解，没有真正掌握解决问题的方法。当题目加以变化时（改变了方向的表述顺序），学生就不能灵活加以解决。

2.推理能力不足。学生在学习“位置与方向”这一领域的内容时，较多地经历了测量、描述物体的位置的活动，但缺乏对方向标中的角度进行计算的经验，思考缺乏方向。学生在解决此类问题时，不能在已知和未知之间建立桥梁，不能通过构造三角形来沟通各个角之间的联系，不能借助两条直线的垂直关系、三角形的内角和等知识综合解决问题。

【对策】

1.优化学习方式。在教学中，要避免死记硬背的学习方式，要设法激活学生的思维，把问题抛给学生，让学生充分经历观察、猜想、测量、讨论等活动过程；要切实突出学生的主体地位，让学生表达自己的发现，交流不同的想法，总结解题的方法，积累解题的经验，体会到解决此类题有三个步骤：一是根据问题确定好观测点，二是以观测点为中心建立方向标；三是想办法求出方向角的度数。

2.渗透推理方法。在解决复杂问题之前，引导学生思考这样三个问题：已知是什么（题目给了哪些信息）？未知是什么（要解决的问题是什么）？已知和未知之间如何建立联系？在本题中，已知是∠1=30°，未知是∠2等于多少度，如何沟通∠1和∠2之间的联系呢？将以北京为观测点的向南方向直线延长，将以上海为观测点的向西方向直线延长，两条直线交于点O，根据方向标中东西方向的直线和南北方向的直线互相垂直的特点，知道∠O=90°，在三角形ABO中，能够求出∠2=180°－90°－30°=60°，从而成功解决问题。

【错例】

用一些小正方体搭成一个立体图形，从三个不同方向看到的形状如下。

搭成的立体图形一共有多少个小正方体？

错解一：9个

错解二：10个

【诊断】

1.重观察，轻想象。学生较多经历了从不同方向观察实物或立体图形得到平面图形，这样的由三维图形到二维图形的转换活动，却很少经历由从不同方向看得到的平面图形想象出实物或立体图形，这样的由二维图形到三维图形的转换活动，导致学生的空间想象力没有得到有效地锻炼，学生的空间观念没有得到很好地建立。

2.重操作，轻感悟。对于上面的问题，教师们普遍重视借助直观教学具还原立体图形，这样处理，实现了问题的快速解决。但由于教师缺乏引领学生在头脑中想象、感悟各个位置小正方体层数的确定方法，从而导致学生对于直观教学具的过度依赖，出现离开直观教学具就不能正确解答的现象。

【对策】

1.观察和想象并重。三维图形与二维图形的相互转换是培养学生空间观念的主要途径。在学习“观察物体”这部分内容时，在开展从不同方向观察实物或立体图形得到的平面图形活动之后，还要有意识地引导学生由不同方向看得到的平面图形，去想象实物或立体图形。

如：教材中有很多与下面题目类似的问题：

（1）分别画出从正面、左面、上面观察下面的立体图形得到的平面图形。

教师在教学上面的题目之后，可以即时跟进出示这样的题目：

（2）用一些小正方体搭成一个立体图形，从三个不同方向看到的形状如下。

搭成的立体图形一共有多少个小正方体？

问题（1）重在培养学生由三维图形到二维图形的观察能力，学生在平时接触较多，在问题（1）的基础上，教师如果顺势提出问题（2），有利于促进学生根据从某一方向看得到的平面图形，想象立体图形的可能情况，综合根据三个方向看得到的平面图形，还原出立体图形，这样通过由二维图形到三维图形的转换，有利于发展学生的空间想象能力和空间观念。

2.操作和感悟并行。在学生借助小正方体学具进行动手操作的基础上，教师要努力引导学生在头脑中进行想象，通过比较、推理，寻找确定各个位置的小正方体的层数的方法，积累解决此类问题的经验。

首先根据上面看得到的平面图形，可以知道A、B、C、D、E、F六个位置至少有1层小正方体。（如下图）

然后结合正面看得到的平面图形，可以确定C、E、F三个位置各有1层小正方体。（如下图）

最后结合左面看得到的平面图形，可以确定另外A、B处各有2层小正方体，D处有1层小正方体。（如下图）

所以，搭成的立体图形一共有8个小正方体。如下图所示。

【错例】

一根圆柱形的木料长10米，截成长度相等的25段，表面积增加了6平方米，原来的木料的体积是多少立方米？

错解一：6÷25=0.24（平方米）

0.24×10=2.4（立方米）

错解二：6÷50=0.12（平方米）

0.12×10=1.2（立方米）

错解三：6÷24=0.25（平方米）

0.25×10=2.5（立方米）

【诊断】

1.思维缺乏敏感性。错解一的学生认为“增加的表面积÷截的段数=圆柱的底面积”，错解二的学生认为“每段都多出两个底面”，错解三的学生认为“增加的表面积÷截的次数=圆柱的底面积”，这些学生的思维不够敏感，并没有意识到增加的表面积与截圆柱的段数、次数之间的关系的易错之处，在分析问题过程中没有给予足够的重视和深入的分析。

2.分析缺乏直观性。学生分析和解决此类问题时，没有养成画图的习惯，不能借助直观图形进行分析、推理，而是凭空在头脑中粗略地得出增加的表面积与截圆柱的段数、次数之间的关系，导致列式出错。

3.思考缺乏深刻性。部分学生对于段数较少的简单问题，可以直接数出增加的截面数。但面临段数较多的复杂问题时，并没有从中发现增加的截面数与段数之间的关系，思考不够深刻，解题能力不足。

【对策】

1.积累活动经验。在教学中，要避免将结论直接告诉学生的简单做法，而是要努力创造条件让学生通过动手操作活动，从中体验发现其中的规律。对于截圆柱增加的表面积问题，可以让学生亲自动手切火腿肠段，从中体会截的段数与截的次数之间的关系，增加的截面数与截的次数之间的关系。

2.尝试画图分析。在解答图形与几何部分的习题时，要注重对学生画图习惯的培养，通过画图将相对抽象的思考对象图形化，借助图形的直观帮助分析、解决问题。对于上面的问题，通过画图，能够得出一组截的段数、截的次数与增加的截面数的具体数据（下图中，截的段数是3，截的次数是2，增加的截面数是4），这些数据为下一步发现三者之间的关系提供了素材。

3.逐步抽象归纳。结合直观图形，将截的段数、截的次数、增加的截面数的几组数据整理到下表中：

2 4 6截的段数截的次数增加的截面数2 3 4 1 2 3

在些基础上，引导学生发现其中的规律：

（1）截的次数=截的段数－1；

（2）增加的截面数=截的次数×2。

有了这样的发现，上面的问题很容易就解决了。截的段数是25段，截的次数是24次，增加的截面数是48。表面积增加了6平方米，每个截面的面积（圆柱的底面积）是6÷48=0.125（平方米）。原木料的体积为0.125×10= 1.25（立方米）。

【错例】

如图，某公园有四块圆心角是90°的扇形的草坪，它们的周长都是285.6米，这四块草坪的总面积是多少平方米？

错解：

285.6×4÷2÷3.14≈181.91（米）

3.14×181.912≈103906.52（平方米）

【诊断】

1.概念建构模糊。由于受圆的周长的概念的影响，圆的周长是圆一周的长度，部分学生在研究半圆的周长和圆心角是90°的扇形的周长时，只关注了曲边的长度与圆周长之间的关系，而忽略了对圆的直径和半径的考虑，认为半圆的周长等于整个圆周长的，圆心角是90°的扇形的周长是整个圆周长的，从而导致出错。

2.解题策略欠缺。一部分学生认识到圆心角是90°的扇形的周长等于整个圆周长的加2条半径的长，但缺少进一步求解的策略。也有一部分学生仅仅局限于从一个圆心角是90°的扇形的部分研究周长和面积，缺乏将四个圆心角是90°的扇形拼成一个完整的圆的角度研究周长和面积，导致解题过程繁琐，容易出现计算错误。

【对策】

1.开展对比分析，准确建构概念。抽象的概念能否在具体问题中正确运用，是检验学生概念建构是否准确的标准。对于“封闭图形一周的长度，是它的周长。”这一概念,可以抓住一组典型题进行对比分析。

计算下面各图形的周长：

通过研究圆形、半圆形、圆心角是90°的扇形、半圆环的周长，理清相近概念之间的区别与联系，促进学生准确建构周长概念。

2.渗透数学思想，丰富解题策略。有针对性地渗透数学思想对于丰富学生的解题策略，培养学生创新解决问题的能力意义重大。上面的问题中，由圆心角是90°的扇形的周长求扇形的半径不容易直接求解，而如果设圆心角是90°的扇形的半径为r米，可以列出方程（2×3.14×r）÷4＋2r=285.6，进而求出圆心角是90°的扇形的半径。

运用整体思想分析问题，容易获得更简捷的求解路径。上面的问题中，每个圆心角是90°的扇形的周长是整个圆周长的加2条半径的长，4个圆心角是90°的扇形的周长就是整个圆的周长加8条半径的长，容易列出方程2×3.14×r＋8r=285.6×4，求出圆心角是90°的扇形的半径“r=80”后，求4个圆心角是90°的扇形的总面积，也就是求整个圆的面积3.14×802=20096（平方米）。

【错例】

如图，一块长方体的木料（图中单位：厘米）。把这块木料加工成一个最大的圆柱。这个圆柱的体积是多少立方厘米？

错解：3.14×（4÷2）2×8=12.56×8=100.48（立方厘米）

【诊断】

1.原有认识的负迁移。学生的原有知识对解决本题产生的负迁移主要表现在两个方面：一是相似问题的负迁移。在三年级解决“在一张长形纸上剪下最大的正方形”这一类的问题时，要以长方形的短边为正方形的边长。导致多数学生直接将其迁移到本题中，只要以长方体的底面的短边长4厘米为圆柱的直径，就可以得到最大的圆柱。在圆柱和圆锥这一单元的习题中，涉及到把正方体木料加工成最大的圆柱的问题，由于正方体的各个面的形状和大小相同，掩盖了把长方体木料加工成最大的圆柱问题的复杂性；二是生活经验的负迁移。学生通过见到的圆柱都是正立的，底面朝下，导致多数学生认为本题的最大的圆柱也是正立的，底面在长方体木料的底面上。

2.知识建构的片面性。在教学中，教师没有引导学生对图形形成多角度的认识：一是缺乏多角度观察。“横看成岭侧成峰”，以观察圆柱为例，可以将圆柱的底面上下放置，也可以将圆柱的底面左右放置，还可以将圆柱的底面前后放置，学生尤其缺乏将圆柱的底面前后放置的观察经验。二是忽视多角度计算。把长方体木料加工成最大的圆柱，需要根据圆柱的底面在长方体的上（下）、左（右）、前（后）面进行多角度计算。由于学生缺乏对图形的多角度观察和计算，导致学生解决上面的问题角度单一，因考虑不全面而出错。

【对策】

1.开展专题研究，促进知识正迁移。对于圆柱体积最大问题，可以开展一次专题研究，将以下问题集中归类研究：

（1）一张长方形纸的长是20厘米，宽是10厘米。以这个长方形纸一边所在的直线为轴旋转一周，得到的最大圆柱的体积是多少？

（2）一张长方形纸的长是9.42厘米，宽是12.56厘米。将这个长方形纸卷成圆柱，得到的最大圆柱的体积是多少？

通过此类问题的研究，让学生认识到最大圆柱问题的多种情况，寻找多样化的思考角度，从而深化学生对于此类问题的认识。

2.发展求异思维，优化思维品质。学生解决问题之后，要注重引导学生思考两个问题：一是本题还有没有其他解法?二是本题还有没有其他情况？从而促进学生形成反思性学习的习惯，发展学生的求异思维，提高学生思维的灵活性和深刻性。如，本题学生列出3.14×（4÷ 2）2×8这个算式后，引导学生思考，本题还有没有其他情况，从而将学生认为圆柱的底面在长方体木料的上、下面的片面认识，扩展到圆柱的底面还可以在长方体木料的左、右面和前、后面的全面认识。进而分别求出各种情况时圆柱的体积：

圆柱的底面在长方体的上、下面时，圆柱的体积= 3.14×（4÷2）2×8=12.56×8=100.48（立方厘米）；

圆柱的底面在长方体的左、右面时，圆柱的体积= 3.14×（4÷2）2×6=12.56×6=75.36（立方厘米）；

圆柱的底面在长方体的前、后面时（如右图），圆柱的体积=3.14×（6÷2）2×4=28.26× 4=113.04（立方厘米）。

通过比较发现，在本题中，圆柱的底面在长方体的前、后面时，圆柱的体积最大，圆柱的最大体积是113.04立方厘米。

（孙立革）

统计与概率

【错例】

投掷3次硬币，有2次正面朝上，有1次反面朝上，那么，第4次投掷硬币正面朝上的可能性是（ ）。

错解：D

【诊断】

1.忽略了客观事实。一枚硬币只有正、反两个面，抛硬币的结果一共有2种情况，正面朝上或者反面朝上，这是最客观、最自然的事实。

2.经验不恰当迁移。生活中如果某一件事情经常发生，我们往往会把它与别的事情联系起来。上例中因为前3次投掷硬币，有2次正面朝上，正面朝上的次数占总次数的，所以就误以为后面投掷硬币正面朝上的可能性也是。而实际上，每次投掷硬币都是独立事件，硬币正面朝上的概率不受前面所投的次数的影响，不管前面发生什么，再次掷硬币正面朝上的可能性还是。

【对策】

1.发挥生活经验在数学学习中的积极作用，防止生活经验对数学理解的干扰。在“可能性”教学中，要注意选取学生熟悉的生活情境及感兴趣的游戏活动作为教学素材，但要防止学生的生活经验对数学理解造成干扰，从而影响了数学判断。

2.重视活动与反思，引导学生在观察、猜测、实验与交流过程中，体验可能性的大小，发展统计观念。描述可能性的大小通常有两种办法，一是直接用数据来刻画，如“从一个装有4个黄球、1个白球的盒子里摸一个球”，可以说“摸到黄球的可能性为80%”；二是通过大量重复摸球试验的统计结果来描述，鼓励学生根据自己的生活经验提出猜想，并尝试解释“摸到黄球可能性大”的含义。

【错例】

有7个球，上面分别写着1、2、3、4、5、6、7。现在把这7个球装入一个不透明的袋中，每次任意摸出一个再放回。请你设计一个公平的游戏规则。

错解：任意摸出一个，摸到奇数的算甲赢，摸到偶数的算乙赢。

【诊断】

1.原理理解不透彻。虽然“可能性”是生活中的常见现象，但将其从生活中抽象出来，学生仍然会感到有些陌生。学生没有在活动操作中体验可能性大小和游戏规则的公平性的联系，就不能理解怎样的游戏规则是公平的规则。

2.情况列举不全面。学生没有根据“游戏各方赢的可能性相等——游戏规则公平”这一数学模型来设计公平的游戏规则，对甲乙双方赢的可能性没有充分列举。在1到7这7个数中，奇数偶数的个数不同，游戏各方赢的可能性自然不会相等。

【对策】

1.在活动中体验。要通过“摸球”“玩转盘”等游戏活动，讨论游戏规则是否公平，并通过动手实践，初步感受游戏规则公平的原理；能自己尝试设计使双方都公平的游戏。通过“提出问题——开展辩论——得出结论——试验验证——分析数据——修改规则——自己设计新游戏规则”这一系列的活动，让学生在活动中获得直观感受，从而体会事件发生的可能性和游戏规则的公平性之间的联系。

2.经历建模过程。建模的过程就是数学化的过程，从生活情境抽象为数学问题，在这个过程中培养学生分析、综合、抽象等能力。我们应该从学生熟悉的“摸球”游戏出发，将事件发生的可能性和游戏规则的公平性建立联系，引导学生经历“创设情境、初次建模——体验验证、抽象模型——巩固深化、应用模型”的全过程。

3.加强对比辨析。在教学中合理地运用比较的方法，不仅可以帮助学生建立概念、理解概念，而且有利于学生在头脑中建立起事物或概念间的内在联系。无论是摸球游戏活动，还是练习应用，都把公平的和不公平的游戏放在一起，让学生在辨析游戏规则是否公平中，多次感受游戏规则公平的原理，深化对游戏规则公平性的体验。

【错例】

小明和爸爸到离家60千米的野外春游，去时每小时行10千米，返回时每小时行15千米，他们往返的平均速度是每小时几千米？

错解：（10+15）÷2=12.5（千米）

【诊断】

1.平均数意义理解错误。产生错误的原因是对“平均速度”与“速度的平均值”这两个概念混淆，错误地认为速度的平均值就是平均速度。

2.数量关系模型没有建立。求一段路程的平均速度，先要知道这段路程的总距离及行完这段路程所用的总时间，然后根据“距离÷时间=速度”的关系求出平均速度。

【对策】

1.实际引入平均数概念。结合实际问题，例如男女生套圈比赛，问学生哪个队会获胜，引导学生交流、思考。学生认识到在人数不同的情况下，比总数显然不公平；而平均数能代表他们的整体情况，因此感受平均数是实际生活的需要，也产生了学习“平均数”的需求。教学只有组织了这个过程，学生对平均数的统计意义以及作用才有比较深刻的理解，也才能在面临相类似问题时，能自主地想到用平均数作为一组数据的代表，去进行比较和分析。

2.有效理解平均数意义。“平均数”是一个统计量，平均数的统计学意义是能刻画、代表一组数据的整体水平。教学中我们不能单纯地进行求平均数的练习，而应该将学习平均数放在完整的统计活动中，在描述数据、进行整体水平对比的过程中，深化“平均数是一种统计量”的本质，实现从统计学的角度学习平均数。

3.自主探索平均数算法。教学中应采用自主探究的方式让学生自己探索出求平均数的方法：先合再分或移多补少。然后引导学生感受到这两种方法的本质都是让原来不相同的数变得相同，从中引出求平均数的方法。同时可以适时渗透平均数处于一组数据的最大值和最小值之间，能反映整体水平，但不能代表每个个体的情况，帮助学生对平均数这一概念获得更为深刻和全面的认识。

4.激活学生内在的发展潜能。在求平均数应用题中，经常有学生将两个平均数相加除以2，这是平均数应用题中极易出错的典型问题。例如，三年级一班男生平均身高是147厘米，女生平均身高是143厘米。我们可以对这个素材进行深度挖掘，引导讨论：什么样的情况下，全班身高的平均数是（147+143）÷2=145厘米？假如男生人数多一些，全班身高的平均数比145大还是小？为什么？假如女生人数多一些呢？进行多次讨论，让学生享受数学思维带来的乐趣。

【错例】

下面的统计图和统计表记录了小林家五月份部分费用的支出情况。请把表格填写完整。

支出金额/元所占百分比——支出项目合计水电、通讯等费用伙食费其他费用600 35%

错解：

支出项目合计水电、通讯等费用伙食费其他费用所占百分比——40% 35% 25%支出金额/元2400 960 840 600

【诊断】

1.对扇形认识有缺陷。扇形统计图能反映部分与整体的关系，是通过扇形圆心角的度数占整个圆周角度数的百分数来表示的，缺少了对扇形认知的支撑，就很难把握扇形统计图部分与整体的关系。

2.图表综合能力薄弱。学生虽然对扇形统计图和统计表具备了一定的感性认识，但是对图表所呈现信息进行综合加工的能力不强，导致扇形统计图和统计表提供的信息匹配失误。

3.知识体系构建不牢。上例图表中问题涉及百分数意义以及应用、扇形与圆的关系等知识，尤其是根据扇形统计图进行简单的计算，实际上就是不同类型的百分数应用题的计算，应按照百分数应用题的解题思路和解题方法进行计算。

【对策】

1.充分感知材料。扇形统计图的学习是基于折线统计图、条形统计图以及圆的知识。由于教材编排对于扇形比较简略，因此，教学时要充分考虑学生的知识现状，从扇形的感性认识入手组织教学，由浅入深地认识扇形统计图的特征和用途。

2.系统建构认知。要引导学生结合实例认识扇形统计图，并联系百分数的意义，对扇形统计图提供的信息进行简单的分析。根据扇形统计图进行简单的计算，应按照百分数应用题的解题思路和解题方法进行计算，例如已知总数量和部分数量占总数量的百分数，求部分数量实质上就是求一个数的百分之几是多少，用乘法计算。

3.提升信息获取能力。要培养学生从相关联的图表中获取信息的能力。既要从整体上观察统计图中的项目信息，看出各部分占总数的百分数，又要进行对比观察，寻找对应关系，获得解题思路，解决实际问题。

【错例】

有一个装有进、出水管的容器，每分钟进、出水量都是一定的。如果从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的6分钟内既进水又出水，得到的水量与时间之间的关系如图。10分钟后，如果只出水不进水，容器中的水多少分钟可以放完？

错解1：

32÷（20÷4）

=32÷5

=6.4（分钟）

错解2：

32÷[（32-12）÷（10-4）]

=32÷2

=16（分钟）

【诊断】

1.对数量的增减变化理解有误。图中反映水量变化的折线依次表示“4分钟水量增加20升”“6分钟水量增加12升”，要同时关注时间与水量的变化。

2.对引起变化的原因分析不透。前4分钟，每分钟水量增加20÷4=5（升）；随后的6分钟，平均每分钟只增加（32-12）÷6=2（升）。导致每分钟增加水量下降的原因是既进水又出水，那么我们可以知道每分钟的出水量是5-2=3（升）。因此，如果只出水不进水，放完容器中的水所需要的时间是32÷3=（分钟）。

【对策】

1.树立正确的统计观念。统计图选取的数据应该注重生活实际，联系身边事例，引导学生从统计的角度思考与数据信息有关的问题。教师要引导学生对这些数据经过适当整理和分析，通过图表现象，在此基础上进行相应的推断。

2.注重数据的收集与整理。统计是一个包括数据的收集、整理、描述和分析的完整过程。折线统计图选用的数据应该是连续性的数据，都是有实际背景或含义的，教学中尽可能为这些数据赋予实际背景，让他们在实际应用中了解折线统计图的使用条件和使用价值。

3.体会统计对决策的作用。折线统计图既可以反映数量的多少，更能反映数量的增减变化。比如气象台为了分析气温的变化情况，使用折线统计图来记录气温。我们不仅从折线统计图上看出数量增减变化，还要根据曲线变化趋势分析产生的原因，推测下一阶段的数量变化情况。所以折线统计图学习的首要目标是能认识到折线统计图对决策的作用，有意识地从统计的角度思考有关问题。

（朱宇）