特殊化思想在平面向量教学中的思考

袁克政

【摘要】在平面向量的教学过程中，学生们普遍认为这部分知识较为抽象，不好理解，但平面向量数量积又是江苏高考考试说明中8个C级考点之一，其重要性是不言而喻的，虽然这部分知识比较抽象难懂，但还是要努力学好平面向量，才能轻松应对高考.作者在一堂高三数学二轮复习课的教学过程中，得到一些关于平面向量教学的反思，在此和大家分享，既有利于平面向量课堂教学，也有利于学生掌握好这部分知识.

【关键词】平面向量；特殊化思想；高三数学；思考

进入高三数学二轮复习后，会与第一轮复习有明显的区别，但也有相通之处，第一轮复习注重学生基础知识体系的构建，第二轮复习要建立在一轮复习的基础上，综合性较强，更注重学生综合解题能力的培养，培养学生站在较高的角度来观察每一道题，善于发现每道题中所涉及的不同章节的知识点，并能将所学知识点进行横向和纵向的比较、串联和记忆.

作者在讲授高三数学二轮复习课“平面向量数量积运算的三类经典题型”时，归纳总结出本节课是二轮复习微专题，主要讲授三类题型：1.平面向量数量积的基本运算；2.利用平面向量数量积求平面向量的夹角；3.利用平面向量数量积求平面向量的模.

其中在对“题型一平面向量数量积的基本运算”进行教学设计时，考虑到目前平面向量解题主要有化归思想以及坐标化思想，设计了以下两道填空题：

例1（1）设四边形ABCD为平行四边形，|AB|=6，|AD|=4，若点M，N满足BM=3MC，DN=2NC，则AM·NM=.

（2）已知AB⊥AC，|AB|=1t，|AC|=t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP=AB|AB|+4AC|AC|，则PB·PC的最大值等于.

对于第一小题，大部分学生选择了化归（即利用平面向量基本定理转化为一组基底），解法如下：

解∵AM=AB+34AD，NM=13AB-14AD，

∴AM·NM=13AB2-316AD2.

∵|AB|=6，|AD|=4，

∴AM·NM=13×36-316×16=9.

对于坐标化思想，多数学生产生畏難心理，因为建系的话，缺少平行四边形中的角，然而，如果对该平行四边形进行特殊化，即可轻松解决，解法如下：

解对该平行四边形进行特殊化，转化为我们所熟悉的矩形，那么建系就会变得十分容易.

以A为坐标原点，AB方向为x轴正半轴，AD方向为y轴正半轴，建立直角坐标系，坐标如下：

A（0，0），B（6，0），C（6，4），D（0，4），M（6，3），N（4，4），

∴AM=（6，3），NM=（2，-1），

∴AM·NM=9.

对于第二小题，由于垂直关系，优先想到建系进行坐标运算，体现了坐标化思想.

通过例1的设计，主要目的是训练学生化归思想与坐标化思想在平面向量解题中的应用.但是在解题过程中，坐标化运算显然是要比用平面向量基本定理进行化归节约时间的，在遇到不好坐标化的题目，特殊化思想就起到了重要的作用，将图形特殊到方便建系的程度，往往将不垂直化为垂直，又如，2016年江苏高考填空题第13题：

例2如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA·CA=4，BF·CF=-1，则BE·CE=.

分析该题若用常规解法，较为复杂，若考虑将该三角形特殊化，将其变成等腰直角三角形，以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，设BC长为2a，AD长为3b，因此，坐标如下：

A（0，3b），B（-a，0），C（a，0），E（0，2b），F（0，b），

∴BA=（a，3b），CA=（-a，3b），BF=（a，b），

CF=（-a，b）.

∵BA·CA=4，BF·CF=-1，

∴BA·CA=-a2+9b2=4，BF·CF=-a2+b2=-1，

∴a2=138，b2=58.

∵BE·CE=-a2+4b2，

∴BE·CE=78.

特殊化思想将该题计算大大简化，运算量较小，学生容易掌握，容易理解.

总之，在解决平面向量填空题时，往往首选建系，进行坐标化运算，对于不容易建系的题目，尝试采用特殊化思想将其转化为便于建系的题目，特殊化的目的是使非坐标化题目特殊化为坐标化题目，从而进行坐标化运算.只要掌握了解题最基本思想和基础知识，在解题时灵活运用，解决平面向量这一类问题就会变得轻而易举.在平时的复习中，同学们一定要多加练习，掌握了基本思想以后，还要摸索出一套适合自己的解决思路，这样在解题时会大大节约时间，轻松应对高考.