有关直线与圆锥曲线的一个统一结论

谢孝顺

圆锥曲线中的椭圆、双曲线、抛物线，不仅各具特色和内涵，而且也有统一的定义和性质.而对于作为一个有机整体的圆锥曲线，探求其所具有的共同特征应该非常有用.本文探究直线与圆锥曲线相交所得线段相等的问题，具体内容如下：

一、问题提出

直线y=kx+m与双曲线x2a2-y2b2=1及其渐近线交于A，B，C，D四点，求证：|AC|=|BD|.

解如图1所示，可设双曲线及渐近线方程为x2a2-y2b2=λ（λ=0或1），

由y=kx+m，x2a2-y2b2=λ，

得

（b2-a2k2）x2-2kma2x-a2m2-λa2b2=0，

该方程显然有实数解.

∴x1+x22=kma2b2-a2k2，

即直线y=kx+m与曲线x2a2-y2b2=λ（λ=0或1）的两交点的中点的横坐标相同（与λ无关）.故线段AB与CD的中点重合，即|AC|=|BD|.

二、分析

四点共线，然后求该直线上的线段长相等，如果直接算，计算量应当很大.本题巧妙地利用中点相同化解了這一问题，又因为渐近线方程与双曲线方程的结构相似（只差一个常数λ），所以只用一次韦达定理即解决问题，何等的干净利索！

（一）引申1

可以将原题中的渐近线改为双曲线x2a2-y2b2=k（k≠0）（如图2或图3所示），然后一直线被两组双曲线截得的四个点仍有相同的性质，而证明过程同刚才一样.

（二）引申2

设两椭圆的离心率相同，对称中心重合，长短轴位置一致，则与两椭圆相交的直线夹在椭圆间的两线段长相等.

解由已知设两椭圆方程为x2a2+y2b2=λi（i=1，

圆锥曲线中的椭圆、双曲线、抛物线，不仅各具特色和内涵，而且也有统一的定义和性质.而对于作为一个有机整体的圆锥曲线，探求其所具有的共同特征应该非常有用.本文探究直线与圆锥曲线相交所得线段相等的问题，具体内容如下：

一、问题提出

直线y=kx+m与双曲线x2a2-y2b2=1及其渐近线交于A，B，C，D四点，求证：|AC|=|BD|.

解如图1所示，可设双曲线及渐近线方程为x2a2-y2b2=λ（λ=0或1），

由y=kx+m，x2a2-y2b2=λ，

得

（b2-a2k2）x2-2kma2x-a2m2-λa2b2=0，

该方程显然有实数解.

∴x1+x22=kma2b2-a2k2，

即直线y=kx+m与曲线x2a2-y2b2=λ（λ=0或1）的两交点的中点的横坐标相同（与λ无关）.故线段AB与CD的中点重合，即|AC|=|BD|.

二、分析

四点共线，然后求该直线上的线段长相等，如果直接算，计算量应当很大.本题巧妙地利用中点相同化解了这一问题，又因为渐近线方程与双曲线方程的结构相似（只差一个常数λ），所以只用一次韦达定理即解决问题，何等的干净利索！

（一）引申1

可以将原题中的渐近线改为双曲线x2a2-y2b2=k（k≠0）（如图2或图3所示），然后一直线被两组双曲线截得的四个点仍有相同的性质，而证明过程同刚才一样.

（二）引申2

设两椭圆的离心率相同，对称中心重合，长短轴位置一致，则与两椭圆相交的直线夹在椭圆间的两线段长相等.

解由已知设两椭圆方程为x2a2+y2b2=λi（i=1，2），设直线方程为y=kx+b（斜率不存在情况显然成立）.

则由x2a2+y2b2=λi，y=kx+b，

得（b2+a2k2）x2+2a2kbx+a2b2-a2b2λi=0，

∴x1+x22=-a2kbb2+a2k2，

∴直线y=kx+b与椭圆的交点的中点横坐标与λi无关，所以两中点重合，也即与两椭圆相交的直线夹在椭圆间的两线段长相等.

2），设直线方程为y=kx+b（斜率不存在情况显然成立）.

则由x2a2+y2b2=λi，y=kx+b，

得（b2+a2k2）x2+2a2kbx+a2b2-a2b2λi=0，

∴x1+x22=-a2kbb2+a2k2，

∴直线y=kx+b与椭圆的交点的中点横坐标与λi无关，所以两中点重合，也即与两椭圆相交的直线夹在椭圆间的两线段长相等.