平面向量解题策略例析

唐学宁

【摘要】平面向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介.近几年高考试题中多以基底法、坐标法、数形结合法等考查平面向量的知识，下面分类介绍这几种方法.

【关键词】平面向量；解题；策略

一、基底法

平面上任意一组不共线的向量构成一组基底，用基底可以表示平面上的所有向量.解决平面向量问题时，如果我们有意识地把一些向量转化为基底，往往能让问题变得直接明了，易于解决.

例1设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=12AB，BE=23BC，DE=λ1AB+λ2AC（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为（）.

A.1

B.12

C.13

D.14

分析根据题意，只需要把DE用一组基底AB，AC表示出来即可，而DE可以表示成DA+AE，所以只要用AB，AC表示出AE即可.

解因为BE=23BC，所以AE=13AB+23AC，而DE=DA+AE=-12AB+13AB+23AC=-16AB+23AC，故λ1+λ2=-16+23=12，故选B答案.

点评：若D在△ABC的边BC上，且BD∶DC=λ∶μ，则AD=μλ+μAB+λλ+μAC.特别地：当D为中点时，BD∶DC=1∶1，则AD=12AB+12AC.

例2如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且AE∶EB=2∶1，BD与CE交于点P，若AP=xAB+yAC，则x-y=.

分析本题其实是利用基底AB，AC表示出AP，注意到B，P，D与E，P，C三点共线，因此，使用三点共线来解.

解AP=xAB+yAC=xAB+2yAD，而B，P，D三点共线，所以x+2y=1；同理，AP=xAB+yAC=32xAE+yAC，所以32x+y=1.

因此，x+2y=1，3x2+y=1， 解得x=12，y=14， 因此，x-y=14.

点评：如果A，B，C三点共线，且OA=xOB+yOC，则必有x+y=1，利用这个性质解决问题有时候可以达到事半功倍的效果.

二、数形结合法

“数”与“形”是数学的基本研究对象，它们之间存在着对立统一的辩证关系.数形结合思想，就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过对图形的认识、数形转化，以提高思维的灵活性、形象性、直观性，使问题化难为易，化抽象为具体.

例3向量a=（2，0），b=（x，y），若b与b-a的夹角为π6，则|b|的最大值为（）.

A.4

B.23

C.2

D.433

分析本题如果根据题目意思直接来解决，那首先求出向量b-a=（x-2，y），接着求数量积（b-a）·b=x2-2x+y2，利用夹角为30度得关系式x2-2x+y2x2+y2（x-2）2+y2=32，在此条件下求|b|=x2+y2的最大值.显而易见的繁、杂、难.

解如图，因为b与b-a的夹角为π6，所以b的终点B构成以OA为一条固定弦、∠OBA=π6的圆，易知当OB为直径时最长，因此，由正弦定理得2R=OAsin30°=4.所以|b|的最大值为4.

点评：向量融“数”“形”于一体，因此，向量中数形结合法使用非常多，比如，若条件给出|a+b|=|a-b|，则以a，b为邻边构成的平行四边形为矩形.若条件给出|a|=|b|=|a-b|，则以a、b为邻边构成的三角形为等边三角形等等.

三、特殊图形法

数学中通过设题中某个未知量为特殊值，经过简单的运算，得出最终答案的一种方法称之为特殊值法.

例4如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则AP·AC=.

分析初看本题，好似少了一个条件，使用基底法发现可以求出AP·AC=AP·（AB+AD）=AP·（AP+PB+AP+PD）=AP·（2AP+PB+PD）=2AP·AP+AP·PB+AP·PD=18，但是显得不够简便，考虑到平行四边形ABCD，如果我们选择最特殊的平行四边形，也就是正方形呢？

解把平行四边形特殊化，取成如图所示正方形，满足题设条件AP⊥BD，又AP=3，所以AC=6，由此可知AP·AC=|AP|·|AC|=18.

点评：如果使用向量数量积的几何意义解决本题也是不错的方法：记AC与BD交点为O，则AP·AC=2AO·AP=2|AO|·cosθ·|AP|=2|AP|·|AP|=2×3×3=18.

四、坐标法

直角坐标是平面向量中的一個重要工具，它将向量中的图形和代数巧妙地联系起来，不仅使一部分问题的解决变得容易，而且会给你一种新的启迪和数学美感.

例5在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，M，N为AC边上两个动点，且满足|MN|=2，则BM·BN的取值范围为.

分析如果采用基底法，由于CM与MA及CN与NA的比例不确定，因此，用BA与BC表示向量BM与BN较为烦琐.考虑到△ABC为等腰直角三角形且|MN|=2，如果使用坐标法可以很简单地建立坐标系，因此，可以考虑坐标法.

解以B为原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，建立如图直角坐标系，不妨设M为靠近y轴的点，坐标为M（x，y）（0≤x≤1）；可知N（x+1，y-1），直线AC的方程为y=-x+2，于是

BM·BN=x（x+1）+y（y-1）=x2+x+y2-y，

=x2+x+（-x+2）2-（-x+2）

=2x2-2x+2（0≤x≤1）.

当x=12时，（BM·BN）min=32，当x=0或x=1时，（BM·BN）max=2；即知BM·BN的取值范围32，2.

近六年全国课标Ⅰ卷中对平面向量的考查，均为1个题，分值5分，其中2011年与2015年为选择题，其他年份均为填空题，题型结构十分稳定.从考点分布来看，均以向量的模与夹角、坐标运算、基底、共线等知识为主，本文抛砖引玉，希望大家举一反三.