“超几何分布”与“二项分布”解题错因分析及对策

王德锁

【摘要】在高中数学“概率”部分的学习过程中，学生往往对超几何分布和二项分布这两类题型含混不清，出现弄错事件类型、用错概率公式、劳而无功的情况.而学生在这一部分的计算和书写基本没有多大问题，下面重点就两类概率问题解题错误的原因予以分析，并提出自己的具体对策.

【关键词】超几何分布；二项分布；错因分析及对策

一、错因分析

（一）心理方面

由于概率统计问题普遍题目较长，文字阅读量大，再加之许多题目会结合统计图表等多种信息渠道给出条件，干扰因素较多.许多学生缺乏对此类项目的审题经验，对信息处理的心理准备不足，遇题则慌，往往一些很细小的知识（如，统计图表的识图和转化）障碍都将成为解题的困难，长期会造成心理阴影，难以从中提取核心信息.再加之考試环境下，难以静心思考，对关键字眼、重点字句的推敲不够，是此类问题失误的重要心理原因.

（二）知识方面

1.学生对概率问题中相关概念的理解不到位

概率问题概念之间的基本关系为：随机试验→随机事件→随机变量→随机变量的概率→分布列.学生在有关概念的理解上主要存在以下问题，直接影响概率问题审题失误.

一是审题时未弄清该问题是由怎样的随机试验产生的（特别是从抽样的角度去辨析是何种抽取方式：放回或不放回）.

二是未明确随机试验及其结果产生了哪些随机事件，其中的基本事件是什么.

三是未完全理解随机变量的取值及其代表（表示）的随机事件或事件组.

四是未弄清随机变量的概率是哪个事件的概率或哪些事件的概率之和，而盲目求值.

2.对超几何分布和二项分布的本质认识不清

如果将各类随机试验中对象产生的过程都从抽取的方式来看的话，产生超几何分布这种古典随机试验的本质是不放回抽取，而二项分布的随机试验是独立重复试验，可理解为是可放回的.简言之，超几何分布对应试验是不放回抽取，每次试验不独立；二项分布是放回抽取，每次试验是相互独立的.

3.学生对何时用样本频率代替总体概率不清楚.易忽视如“以这个小组的样本数据来估计全校的总体数据”，其含义就是“用频率估计概率”等这样的提示性语句.

（三）能力方面

未养成良好的审题习惯，不能按思维的秩序去有序分析题目的条件.缺乏必要的信息处理能力，特别是在概率问题中条件比较繁杂时，对重要信息的处理能力不足，特别是图表信息处理，纯文字信息处理能力严重不足.

二、对策

（一）正本清源，辨析概念

强化对二项分布和超几何分布基本概念的理解和差异性的辨析，提高对这两个知识点的认知度.

（二）调适心理，提高素养

根据笔者经验，概率问题的解答应是“七分思考三分作答”，即应花大量的时间去阅读题目、处理信息、选择事件类型，这样保证审题的正确性，确保解题不出现方向性错误而全盘皆输.对解题者来说，简单问题可直接通过自己对概念和原理的理解和直接应用解决，而复杂问题则需要“顿悟”或“渐悟”得来.而解决概率问题的思路和模型选择更需要有一个较长时间的“去粗取精”，从渐悟到顿悟.

（三）培养习惯，规范审题

解题应先审题，养成认真审题、缜密思考的习惯是解好题的关键.对于概率问题，特别是二项分布和超几何分布这两类问题尤为重要.审题时要慢要细，从以下方面谨慎审题：一审条件探隐含，二审结论会转换，三审图表、数据找规律，四审细节更完善.

（四）类比训练，突破易错点

超几何分布和二项分布在解题时，特别是审题时最易忽视的就是从抽取方式的角度来认真审视随机试验是放回抽取还是不放回抽取.这也成为审题失误乃至解题错误的根本问题.因而，为加强学生对二者的区别，应注重在教学中设置两类问题的类比训练，从而更好地对它们进行比较、区分，帮助学生提高审题的准确性.对一部分学困生，特别是概率问题常错的学生，应通过题组训练，强化其审题能力和解题能力.