各向异性界面动力学与各向异性表面张力的相互作用对定向凝固过程中深胞晶生长的影响

蒋晗 陈明文 王涛 王自东‡

1)(北京科技大学材料科学与工程学院,北京 100083)

2)(北京科技大学数理学院,北京 100083)

各向异性界面动力学与各向异性表面张力的相互作用对定向凝固过程中深胞晶生长的影响

蒋晗1)陈明文2)†王涛1)王自东1)‡

1)(北京科技大学材料科学与工程学院,北京 100083)

2)(北京科技大学数理学院,北京 100083)

(2017年1月5日收到;2017年2月26日收到修改稿)

通过应用匹配渐近展开法和多变量展开法研究了各向异性界面动力学与各向异性表面张力的相互作用对定向凝固过程中深胞晶生长的影响.结果表明∶当各向异性界面动力学与各向异性表面张力的偏好方向之间相差角度为θ0时,θ0会对深胞晶生长形态产生影响;当0≤θ0≤π/4时,随着θ0的增大,深胞晶的指状界面全长减小,深胞晶根部的深度减小,根部附近界面的曲率减小,而曲率半径增大;当π/4≤θ0≤π/2时,随着θ0的增大,深胞晶的指状界面全长增大,深胞晶根部的深度增大,根部附近界面的曲率增大,而曲率半径减小.

∶定向凝固,各向异性表面张力,各向异性界面动力学,深胞晶生长

PACS∶68.70.+w,81.10.Aj,81.30.FbDOI∶10.7498/aps.66.106801

1 引 言

几十年来,定向凝固过程中的深胞晶生长一直是凝聚态物理和材料科学的研究重点.已经有许多实验和数值模拟[1−4]通过使用Hele-Shaw模型对深胞晶生长问题进行了研究.Hele-Shaw模型包括细长的样本材料及两个恒温区∶一个高于平直界面液化温度TM的高温区(温度为TH)和一个低于TM的低温区(温度为TC).以恒定速度V由高温区向低温区拉动样本,随着拉速V的增加,固液界面由低速生长的平直界面依次演变为小振幅的胞晶界面、大振幅的深胞晶界面、枝晶界面、细胞晶界面,最后变为高速生长的平直界面.Xu等[5,6]在Mullins和Sekerka[7,8]建立的平界面形态线性稳定性理论(称为M-S理论)基础上,运用Saffmen-Taylor[9]曲线坐标得到了各向同性表面张力下的深胞晶形态的近似解析解.大量的研究表明,各向异性表面张力和各向异性界面动力学都会对胞晶生长的界面形态产生影响.Etsuro和Sekerka[10]发现各向异性表面张力和各向异性界面动力学是胞晶生长存在优选方向的根本原因.王志军等[11,12]和Trivedi等[13]分别研究了各向异性表面张力和各向异性界面动力学对定向凝固过程中胞晶微结构生长方向的影响,发现各向异性表面张力和各向异性界面动力学都会使胞晶界面倾斜生长.陈明文等[14,15]研究了考虑表面张力和界面动力学各向异性的定向凝固过程中深胞晶生长的界面形态,揭示了深胞晶界面微结构形态形成的物理机制.本文研究了各向异性表面张力和各向异性界面动力学的相互作用对深胞晶生长形态的影响,即各向异性表面张力和各向异性界面动力学的偏好方向不一致,相差角度为θ0时,θ0会对深胞晶生长形态产生影响.

2 定向凝固系统的数学模型

考虑定向凝固过程中的样本材料是细长的深胞晶生长,凝固过程可视为二维.且二元混合系统中的次组元为稀释的杂质;忽略固相内的溶质扩散;除扩散系数外的热力学性质在固相和液相内是相同的,系统不存在对流.该系统下的深胞晶生长,其液相位于上半空间,界面拉伸速度为V,方向指向为液相方向向上.界面随着时间的变化向上移动,设原点位于胞晶尖端的直角坐标系Oxy中,温度梯度为GT,远场浓度为C∞,胞晶列的周期为lw.

选取深胞晶尖端曲率半径lt为长度尺度,lD=κD/V为溶质扩散长度,其中κD为溶质扩散系数. 本文假定深胞晶尖端曲率半径远远小于溶质扩散长度,即lt≪lD.选取Péclet数Pe=ε=lt/lD为小参数,拉速V为速度尺度,lt/V为时间尺度,∆H/(cpρ)为温度尺度,其中∆H为单位体积内固相产生的潜热,cp为液相比热,ρ为熔体密度,远场浓度C∞为浓度尺度.于是,热传导方程、溶质扩散方程和界面上的界面方程转化为无量纲的控制方程.

由于解具有周期性,可以仅考虑单个胞晶,且胞晶侧壁为x=±W,W为自由参数.假定矩形坐标(x,y)的原点位于胞晶的尖端,生长区域的温度分布近似为仅与y有关的线性函数,为T=εG(y−y0),其中y0为坐标原点到温度为液化温度TL=0的距离.选用Saffmen-Taylor(ST)解[9]构造曲线坐标系(ξ,η).将Hele-Shaw流的流函数和势函数用Ψ=(X,Y)和Φ=(X,Y)表示,且有

Saffmen-Taylor解可以转化为

曲线坐标于直角坐标系的转化关系为

其中λ0是渐近宽度系数.

考虑4重对称的晶体的表面张力系数

其中γ0是各向同性表面张力系数,α4是各向异性表面张力系数,θ是界面法向量与Oy轴之间的夹角.

界面动力学系数

其中µ0是各向同性界面动力学系数,β4是各向异性界面动力学系数.

在Saffmen-Taylor曲线坐标系下

由(2)式,各向异性的表面张力参数变为

则有

其中

由(3)式,各向异性的界面动力学参数变为

则有

其中

当各向异性表面张力和各向异性界面动力学的偏好方向之间相差角度为θ0时,表面张力系数可以表示为[16]

由于

则B0(ξ),B1(ξ),B2(ξ)变为

在曲线坐标系(ξ,η)下,整个物理空间被分为远离根部的外部区域和根部附近的内部区域.

深胞晶生长的稳态解(C,ηB)满足控制方程

则Gibbs-Thomson条件为

质量守恒条件为

其中κ为分离系数,O(h.o.t)为高阶项,

在胞晶尖端,当ξ=η=0时,

在根部底端,当ξ=±1,η=ηb时,

在胞晶侧壁,当ξ=±1时,

在远场处,当η→∞时,

其中Q0是与变量ξ和η无关的常数.

3 外部区域的渐近解

控制方程(6),界面条件(8)和(9),尖端光滑条件(10),侧壁条件(12)和远场条件(13)组成了一个非齐次的外部系统,该非齐次系统有如下形式的解[5]∶

运用文献[5]中的方法得到(14)式中非齐次系统的渐近解为

其中

(14)式中齐次系统的通解为

其中

将(15)与(16)式进行匹配,可以得到外解为

4 根部区域的渐近解

由于外解(17)式在ξ=±1处不满足根部光滑条件,因此外解不能提供根部底端的位置,需要求根部区域的内解.当ξ→−1时,由(15)式有

设η=ηT(ξ)为根部区域的中心线,并且是根部区域界面形状函数的近似. 在根部区域引入内部变量和

由(18)式,在根部区域的远场有

为了与外解匹配,根部的远场满足

则必须设δ(ε)=εδc(ε), 即

且

因此,在首级近似中,

参数

将坐标函数(1)在η→0,ξ→−1做泰勒展开,相应的参数变为

其中

相应的界面条件(8)—(13)变为∶

Gibbs-Thomson条件

质量守恒条件

上述非齐次系统(27)—(31)存在如下形式的解[5]∶

运用文献[5]中的方法可以得到(32)式中非齐次系统的渐近解为

相应的齐次系统的通解为

量子化条件为

其中

由量子化条件(35)可知,每给定一个qn(n=0,1,2,···),可以解出相应的满足量子化条件的特征值它们是参数ε和其他参数的函数,并且＜ ···.计算结果表明,特征值随着n增大而增大,所以只取最小的特征值当q0给定时,可以得到参数ε与其他参数之间的关系,再固定除以外的参数,通过改变参数ε的取值,可以得到参数ε与特征值的关系,即图1和图2.从图1中可以看出,当两个各向异性偏好方向之间相差的角度θ0为0时,随着各向异性表面张力系数α4的增大而减小,在低阶时与各向异性界面动力学无关.从图2中可以看出,当0≤ θ0≤ π/4时,随着θ0的增大而增大;当π/4≤ θ0≤ π/2时,,随着θ0的增大而减小.

图1 特征值在不同表面张力系数α4下随ε的变换 参数取值为κ=0.1,λG=2,λ0=0.6,M=1,c0=2.63,c=0.88,=1,θ0=0,曲线从左到右分别对应α4=0,0.01,0.03,0.06Fig.1.The variations ofwith the parameter ε for the cases: κ=0.1,λG=2,λ0=0.6,M=1,c0=2.63,c=0.88,=1,θ0=0,and α4=0,0.01,0.03,0.06 from left to right.

图2 特征值在不同表面张力系数α4下随ε的变换 参数取值为κ=0.1,λG=2,λ0=0.6,M=1,c0=2.63,c=0.88,=1,α4=0.06,曲线从左到右分别对应Fig.2.The variations ofwith the parameter ε for the cases: κ=0.1,λG=2,λ0=0.6,M=1,c0=2.63,c=0.88,=1,α4=0.06,and θ0= left to right.

图3 深胞晶界面形状合成解函数ηB在(X,Y)平面内的界面形状 参数取值为κ=0.1,λG=2,λ0=0.6,M=1,c0=2.63,c=0.88,E=0.5,=1,m∗=1,β4=0.03,θ0=0,从上到下的三条曲线分别对应α4=0.01,0.03,0.06Fig.3.The composite solution for the interface shape function ηBdescribed on(X,Y)plane for the case:κ=0.1,λG=2,λ0=0.6,M=1,c0=2.63,c=0.88,E=0.5,=1,m∗=1,β4=0.03,θ0=0,and different values of the anisotropic surface-tension coefficient α4=0.01,0.03,0.06 from top to bottom.

由界面形状的合成解(36)式可知,当参数取值固定时,可以得到深胞晶界面形状合成解函数ηB在(X,Y)平面内的界面形状,即图3、图4和图5.从图3和图4中可以看出,当两个各向异性偏好方向之间相差的角度θ0为0时,随着各向异性系数的增大,深胞晶的指状界面全长增大,根部底端的曲率半径会减小,即根部底端的曲率增大,在同一数量级下,各向异性表面张力系数对界面形状的影响更为显著.从图5中可以看出,当0≤θ0≤π/4时,随着θ0增大,深胞晶的指状界面全长减小,根部底端的曲率半径会减小,即根部底端的曲率增大;当π/4≤θ0≤π/2时,随着θ0增大,深胞晶的指状界面全长增大,根部底端的曲率半径会增大,即根部底端的曲率减少.各向异性和角度θ0对深胞晶的总长度和根部均有显著影响,但在其他固-液界面上,比如深胞晶的顶部,所起的作用并不大.

图4 深胞晶界面形状合成解函数ηB在(X,Y)平面内的界面形状 参数取值为κ=0.1,λG=2,λ0=0.6,M=1,c0=2.63,c=0.88,E=0.5,=1,m∗=1,α4=0.03,θ0=0,从上到下的三条曲线分别对应β4=0.01,0.03,0.06Fig.4.The composite solution for the interface shape function ηBdescribed on(X,Y)plane for the case:κ=0.1,λG=2,λ0=0.6,M=1,c0=2.63,c=0.88,E=0.5,=1,m∗=1,α4=0.03,θ0=0,and different values of the anisotropic interface kinetics coefficient β4=0.01,0.03,0.06 from top to bottom.

图5 深胞晶界面形状合成解函数ηB在(X,Y)平面内的界面形状 参数取值为κ=0.1,λG=2,λ0=0.6,M=1,c0=2.63,c=0.88,E=0.5,=1,m∗=1,α4=0.06,β4=0.06,从上到下的五条曲线分别对应θ0=Fig.5.The composite solution for the interface shape function ηBdescribed on(X,Y)plane for the case: κ=0.1,λG=2,λ0=0.6,M=1,c0=2.63,c=0.88,E=0.5,=1,m∗=1,α4=0.06,β4=0.06,and differentvalues of the angle θ0=π from top to bottom.

5 结 论

本文应用配渐近展开法和多重变量渐近展开法研究了定向凝固过程中各向异性界面动力学与各向异性表面张力的相互作用对深胞晶生长界面形态的影响,分析了当各向异性界面动力学与各向异性表面张力的偏好方向之间相差角度为θ0时稳定态的特征值问题.结果表明,各向异性界面动力学与各向异性表面张力的偏好方向之间相差的角度会对深胞晶生长形态产生影响.当两种各向异性偏好方向相同,即θ0为0时,随着各向异性系数的增大,深胞晶的指状界面全长增大,根部底端的曲率半径会减小,即根部底端的曲率增大,且各向异性表面张力系数对深胞晶生长界面形状的影响更为显著.当0≤ θ0≤ π/4时,随着θ0增大,深胞晶的指状界面全长减小,根部底端的曲率半径会减小,即根部底端的曲率增大;当π/4≤θ0≤π/2时,随着θ0增大,深胞晶的指状界面全长增大,根部底端的曲率半径会增大,即根部底端的曲率减少.

[1]Ding G L,Huang W D,Lin X,Zhou Y 1997 J.Cryst.Growth 177 281

[2]Ding G L,Lin H,Huang W D,Zhou Y H 1995 Acta Metall.Sin.31 469

[3]Georgelin M,Pocheau A 2006 Phys.Rev.E 73 011604

[4]Georgelin M,Pocheau A 2009 Phys.Rev.E 81 031601

[5]Chen Y Q,Xu J J 2011 Phys.Rev.E 83 041601

[6]Xu J J,Chen Y Q 2015 Eur.J.Appl.Math.26 1

[7]Mullins W W,Sekerka Rf1963 J.Appl.Phys.34 323

[8]Mullins W W,Sekerka Rf1964 J.Appl.Phys.35 444

[9]Saffman P G,Taylor G I 1958 Proc.R.Soc.London A 245 312

[10]Coriell S R,Sekerka Rf1976 J.Cryst.Growth 34 157

[11]Wang Z J,Wang J C,Yang G C 2008 Acta Phys.Sin.57 1246(in Chinese)[王志军,王锦程,杨根仓 2008物理学报57 1246]

[12]Wang Z J,Wang J C,Yang G C 2010 Chin.Phys.B 19 017305

[13]Trivedi R,Seetharaman V,Eshelman M A 1991 Mater.Trans.A 22 585

[14]Chen M W,Chen Y C,Zhang W L,Liu X M,Wang Z D 2014 Acta Phys.Sin.63 038101(in Chinese)[陈明文,陈奕臣,张文龙,刘秀敏,王自东2014物理学报63 038101]

[15]Jiang H,Chen M W,Shi G D,Wang T,Wang Z D 2016 Mod.Phys.Lett.B 30 1650205

[16]Ihle T 2000 Eur.Phys.J.B 16 337

PACS∶68.70.+w,81.10.Aj,81.30.FbDOI∶10.7498/aps.66.106801

†Corresponding author.E-mail:chenmw@ustb.edu.cn

‡Corresponding author.E-mail:wangzd@mater.ustb.edu.cn

Effects of anisotropic interface kinetics and surface tension on deep cellular crystal growth in directional solidification

Jiang Han1)Chen Ming-Wen2)†Wang Tao1)Wang Zi-Dong1)‡
1)(Schoolof Materials Science and Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China)
2)(Schoolof Mathematics and Physics,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China)

5 January 2017;revised manuscript

26 February 2017)

In this paper,we study the effects of anisotropic interface kinetics and surface tension on deep cellular crystal growth in directional solidification.The following assumptions are made∶the process of solidification is viewed as a twodimensional problem;the minor species in this binary mixture system is considered as an impurity;the solute diffusion in the solid phase is negligible;the thermodynamic properties other than the diffusivities are the same for both solid and liquid phases;there is no convection in the system;the anisotropic interface kinetics and the anisotropic surface tension are a four-fold symmetry function each;neither the preferred directions of the anisotropic interface kinetics nor the anisotropic surface tensions are necessarily the same as their counterparts for the solid and liquid phases respectively;the angle between the preferred directions of the two anisotropies is θ0.By using the matched asymptotic expansion method and the multiple variable expansion method,we obtain the diagram of interface morphology for a deep cellular crystal in directional solidification.

The results show that there exists a discrete set of the steady-state solutions subject to the quantization condition(35).The quantization condition yields the eigenvalueas a function of parameter ε and other parameters of the system,which determines the interface morphology of the cell.The results also show the variation of the minimum eigenvaluewith parameter ε.It is seen that when the preferred directions of the two anisotropies are the same,i.e.,θ0=0,the minimum eigenvaluereduces with the increase of anisotropic surface-tension coefficient α4,increases with the augment of parameter ε,and is unrelated to anisotropic interface kinetic coefficient β4in the low order;when the angle 0≤ θ0≤ π/4,as the θ0increases,the minimum eigenvalueincreases;when the angle π/4≤ θ0≤ π/2,as the θ0increases,the minimum eigenvaluedecreases.In addition,the results show the composite solution for the interface shape function ηBdescribed on(X,Y)plane.It is seen that both of the anisotropy and the angle θ0have a significant effect on the total length and the root of deep cellular crystal,however,have little influence on the other solid-liquid interface,such as the top of deep cellular crystal.When the angle θ0is 0,as anisotropic coefficient increases,the total length of thefinger increases,the curvature of the interface near the root increases or the curvature radius decreases.It is found that the influence of the anisotropic surface-tension coefficient on interface morphology is more remarkable than that of the anisotropic interface kinetics coefficient.when the angle 0 ≤ θ0≤ π/4,as the θ0increases,the total length of thefinger decreases,the curvature of the interface near the root decreases or the curvature radius increases;when the angle π/4 ≤ θ0≤ π/2,as θ0increases,the total length of thefinger increases,the curvature of the interface near the root increases or the curvature radius decreases.

∶directional solidification,anisotropic surface tension,anisotropic interface kinetics,deep cellular crystal growth

†通信作者.E-mail:chenmw@ustb.edu.cn

‡通信作者.E-mail:wangzd@mater.ustb.edu.cn

©2017中国物理学会Chinese Physical Society