颗粒固体应力转向比的光弹法探测∗

宗谨 周志刚 王文广 张晟 林平 石玉仁 厚美瑛

1)(西北师范大学物理与电子工程学院,兰州 730070)

2)(中国科学院物理研究所,北京 100190)

3)(中国科学院大学物理学院,北京 100049)

4)(中国科学院近代物理研究所,兰州 730070)

5)(甘肃民族师范学院物理与水电工程系,合作 747000)

颗粒固体应力转向比的光弹法探测∗

宗谨1)2)5)周志刚2)3)王文广2)3)张晟4)林平4)石玉仁1)厚美瑛2)3)†

1)(西北师范大学物理与电子工程学院,兰州 730070)

2)(中国科学院物理研究所,北京 100190)

3)(中国科学院大学物理学院,北京 100049)

4)(中国科学院近代物理研究所,兰州 730070)

5)(甘肃民族师范学院物理与水电工程系,合作 747000)

(2017年1月19日收到;2017年3月6日收到修改稿)

利用压敏双折射光学特性材料,实验测量了在自然堆积和密堆积两种制样方式下颗粒仓轴向荷载在仓壁上随深度的分布.发现在填充颗粒总质量相同、容器不变的情况下,颗粒仓轴向荷载在仓壁上的分布不随颗粒深度单调变化,而是随深度呈单峰结构,数值模拟与实验观察定性符合,并且发现峰值依赖于荷载大小和样品的制备方式.另外,我们也测量了在不同填充高度下的颗粒底部平均应力随轴向荷载的变化,将其与边壁应力对比,得到颗粒体系不同深度处的转向比.

∶颗粒固体,光弹法,转向比

PACS∶45.70.—n,45.70.CcDOI∶10.7498/aps.66.104501

1 引 言

颗粒物质是由大量离散的固体颗粒所组成的复杂体系,其广泛存在于我们的日常生活和工业生产中.由于颗粒体系中力的传递和分布问题对工业生产、堤坝、建筑等的稳定性至关重要,因此,对颗粒物质的研究近年也引起了物理学家的广泛兴趣[1−3].

静态堆积的颗粒物质体系,颗粒接触点分布的随机性和颗粒间的相互作用力的复杂性和敏感性导致颗粒物质体系中出现了很多异常的特性,如由点源法制备的颗粒堆底部中心出现压力凹陷[4−6]、粮仓底部的压力随仓中颗粒堆积的高度趋于饱和(这在液体中不会出现)等现象[7,8].对于静态颗粒体系中力的分布特点通过二维光弹颗粒实验可以清楚地展现[9−12]∶颗粒体系中出现强弱各异的力链结构,强力链支撑了体系主要的力,其分布呈现出各向异性的特点;而弱力链则在颗粒体系中分布较广泛和均匀.另外,力在静态堆积的颗粒体系中的传递过程也较为特别[13],一些模拟结果表明[14]∶当颗粒体系受到荷载时,离受力点近的距离内,力的传播很像波;但是在离受力点远的距离内,力的传播则导致颗粒物质发生形变.当颗粒间的摩擦力和无序度增大,颗粒体系中力像波一样传播的区域将缩小,颗粒间的摩擦力和无序度会增强颗粒体系的弹性模量.

对于常见静态颗粒体系如粮仓体系,仓中颗粒物质的自重会部分地被分到仓壁承担,并且随着仓中颗粒物质的高度增加到底部直径的2倍以后,仓底感受到的力会趋于稳定.另外,对施加于仓顶的荷载在粮仓中的传播以及最后仓底承受到的力的分布的实验[15],发现荷载通过颗粒体系传递到仓底的力中大于平均力的部分的分布是指数衰减的,在3D光弹颗粒体系中得到同样的结果[5],并且进一步的分析发现这和颗粒间的接触角的分布密切相关.Janssen基于应力的分布特点提出模型对粮仓中的现象进行了解释,在Janssen模型中[7],假设了颗粒物质的重量按一定比例转向传递到水平方向,并且假设转向比J为常数.

本文采用光弹片测量了粮仓边壁法向力随深度的分布以及粮仓底部的力分布,进而获得粮仓的转向比J.我们发现J并不是常数,而是随颗粒体系的高度而变化的.这说明粮仓体系中的应力张量并非对角化,并且和颗粒的高度相关.

2 实验装置

实验中所用的颗粒仓的内边壁由光弹片组成,外边壁由透光性良好、厚度为8 mm的玻璃板构成.在测量前标定光弹片的光强梯度和压力间的关系,如图1的定标光路示意图.光源采用双激光二极管(LED)面光源组,以45◦角对称入射到光弹片表面,光源中心距离光弹片20 cm,光源前端安放起偏片及1/4波片.光弹片水平置于玻璃板上,在光弹片正下方距光弹片31.5 cm处安置数码相机(相机像素3664×2748),相机镜头前端安放1/4波片及检偏片,检偏片与起偏片成90◦夹角.定标过程中在光弹片上施加一系列逐渐增大的力,由电荷耦合器(CCD)拍摄对应的光斑.图2给出压力=6.7 N时拍摄到的光斑.将光斑图片进行背景处理后,按(1)式计算[16]图片中每一个像素点(i,j)的光强梯度平方G2(i,j),如图3所示.

I(i,j)为像素点的光强,进而按(2)式计算包含整个光斑的区域的平均光强梯度平方∶

其中N为区域内像素点的数量.

图1 定标实验装置示意图Fig.1.Setup for calibration.

图2 拍摄到的光斑Fig.2.The facula shot at the pressed spot.

图3 条纹梯度法说明图Fig.3.calculation of the gradient of the spot intensity.

图4 定标曲线Fig.4.The calibration of intensity-gradient vs.force.

定标时所截取的包含光斑区域的大小为160×160像素.图4得到与光弹片上受力F的关系.通过数据点拟合,近似得到光弹片所受压力与平均光强梯度平方近似成线性关系∶

3 实验结果

3.1 光弹法测量颗粒仓边壁的正压力

实际测量颗粒仓边壁上的压力分布时,我们选用与定标实验中完全相同的光源、相机,并且保持光源、相机的位置和定标实验中相同,如图5所示.颗粒仓尺寸为6.4 cm×7.4 cm×25 cm.对于制备好的样品,先拍未受轴向压时的背景照,然后在颗粒顶部水平放置一厚度为1 mm硬铝板(与四壁各有0.5 mm间距)用来加轴向压力(逐次增加砝码),每次加力均拍摄一次,截取被测面区域3620像素×1160像素(1 mm≈19个像素点),由单位面积内压敏条纹的平均光强梯度平方来计算侧壁的法向压力.

实验测量了直径为4 mm的玻璃珠(颗粒总质量1722 g,密度2.47 g/cm3)在自然堆积和密集堆积情况下,当颗粒样品轴向施加荷载力时(25—320 N)在容器边壁上的法向压力.每张照片在图像处理时都用未加荷载时的图片去除背景,从而测量出所加荷载在边壁上的应力分布情况.

图5 边壁应力测量装置示意图Fig.5.Schematic of the experimental measurement.

图6 (网刊彩色)自然堆积法边壁法向力与深度关系Fig.6.(color online)The normal force at the wall at different height when the sample is prepared by“point-source” method.

图7 (网刊彩色)密集堆积时边壁法向力与深度关系Fig.7.(color online)The normal force at the wall at different height when the sample is tapped dense after prepared by “point-source” method.

图6显示在自然堆积情况下颗粒堆受轴向荷载时边壁的法向力随深度的变化,发现边壁法向力不随深度单调增加,成单峰结构.侧壁中部受力要大于上部和下部.同时荷载对边壁的压力并不是随着荷载的增加而增加,当荷载增加到260 N时,再增加荷载,荷载对边壁的压力整体会减小,原因可能是由少数颗粒组成的强力链在较大荷载的作用下断裂重构,一部分力传递到底部.

密集堆积是在点源法堆积制备样品的基础上,颗粒顶部施加60 N的荷载,通过敲击颗粒仓金属侧壁使其密实,然后撤去荷载等待10 min,制得样品高度22.8 cm,体积分数0.64.轴向荷载通过铝片加载到样品顶部,得到图7所示不同荷载下边壁应力随深度的变化关系,可以看出轴向荷载通过颗粒对边壁施加的法向压力同样随深度成单峰结构,侧壁中部受力要大于上部和下部,但是此时边壁的法向力随荷载的增加而增加,说明体积分数较大的颗粒体系其强力链较为稳定,不容易被破坏.

我们可以看到,无论是自然堆积还是密集堆积,所加荷载较小时,侧壁中部受力与下部受力差别较小,随着荷载的增加,中间部分受力的增幅较上部和下部要大.自然堆积和密集堆积的差异还在于密集堆积颗粒体的刚度较大,能承载的应力较大,在我们加载的荷载范围内侧壁应力呈单调上升,而自然堆积体系则在荷载加到260 N附近侧壁应力达到最大.

我们知道颗粒自重随深度增加,由于Janssen效应,侧壁的支撑使得底面示重会线性增加至一个小于实重的饱和值.非单调侧壁力分布表明,顶部施加的轴向荷载起到了重要的作用,轴向荷载随深度增加引起的底部轴向应力σzz以及侧壁法向应力σxx与自重的影响趋势相反,随深度增加会减小.自重与荷载压力随深度变化的相反趋势是侧壁应力非单调分布的主要影响因素.

相同质量的颗粒在密集堆积时,轴向荷载对边壁的压力要大于自然堆积时对边壁的压力,边壁应力与颗粒体系的体积分数有关,随着体积分数的增加,边壁应力也会增加.

为验证所观察到的侧壁应力的非单调分布,我们进行了分子动力学数值模拟.模拟是使用运行在GPU上的DEM代码[17,18]完成的,在该代码所用的模型中,颗粒之间的作用力由Hertz模型给出[19,20]∶

其中r为小球半径,d为两小球球心间距,δij为两个小球的重叠量,ω为角速度,颗粒间的法向和切向接触力分别为

nij是颗粒间位置矢量rij的单位向量;meff为两接触颗粒的等效质量;kn,t为弹性系数;rn,t为阻尼系数;vnij是法向相对速度;vtij是切向相对速度.采用库仑条件|Ftij|≤us|Fnij|对Ftij做了截断,其中us是颗粒间摩擦系数.颗粒在重力场中的运动方程为

采用Velocity-Verlet方法[21]求解该方程组,实现模拟.模拟中,颗粒采用直径为1 mm的钢球,粮仓为圆筒形,直径为30 mm,高250 mm,在顶部施加45 N的荷载.单一粒径的钢球以一个比较小的体积比(0.2)在三维的谷仓中生成,然后在重力的作用下堆积,直到体系的总能量足够小到可以认为是稳定体系.随后计算颗粒之间以及颗粒与器壁之间的作用力.模拟所得侧壁法向应力σxx随颗粒深度的变化如图8所示,与实验所得图像变化趋势定性相同.

图8 边壁压力随颗粒深度变化的模拟结果Fig.8.The simulated normal force at the side wall at different height.

3.2 颗粒仓底部压力测量

为了测量粮仓底部的力,在文献[7,22]中是采用类似天平的装置直接称量的方法.如图9,我们将一尺寸为6.4 cm×7.4 cm×25 cm的长方体粮仓固定在钢架上,粮仓底部和边壁分离,底部用一厚度为1 mm的硬铝片,铝片四周与仓壁各有0.5 mm的间隙,通过一圆柱体将颗粒视在质量传递到精度为0.1 g,量程为30 kg的电子秤上,选用颗粒直径4 mm的玻璃珠.颗粒顶部水平放置与底部相同的铝片,用来加载荷载.由于每次加载颗粒或增加荷载,电子秤示数都会有一定的波动,所以测量时每次读数均为电子秤达到稳定时的示数.

图9 底部压力测量装置示意图Fig.9.Schematic of the sample weight measurement by balance.

3.2.1 底部示重随颗粒高度的变化

测量粮仓底部示重的实验是采用点源法制备颗粒样品∶将颗粒注入到漏斗中,漏斗口距离颗粒仓底部239 mm,漏斗口直径20 mm,漏斗口处于颗粒仓竖直方向正上方的中心位置,颗粒物质通过漏斗口注入颗粒仓.记录颗粒高度、颗粒实重及颗粒仓底部受力的数据,实验结果见图1,黑点为所添加颗粒的实际重量,红点为测量到的示重.从图10可以看出,颗粒仓底部示重出现了饱和趋势.

图10 底部示重随颗粒高度变化Fig.10.The apparent weight measured as a function of height.

我们采用Janssen公式[22]对颗粒仓底部示重数据点进行拟合,

其中g为重力加速度,ρ为颗粒质量密度,D为颗粒仓直径,µ为颗粒与仓壁的摩擦因数,J为转向比,Z为颗粒深度,Q为粮仓轴向荷载.在图10中取Q=0,可拟合得到红色实线(示重曲线),根据实验参数和拟合公式可计算出µJ=0.1(µ为颗粒与仓壁的摩擦因数,J为转向比).这和文献[7,22]中被假设成常数的值相比稍微偏小,近些年的实验结果[23,24]发现µJ并不是材料的参数,受粮仓边壁的变形,粮仓壁摩擦是否被充分动员等因素的影响.

3.2.2 底部示重随所加荷载变化

为测量轴向压σzz,利用测量密集堆积边壁应力随深度变化时相同的制样方式敲击颗粒仓金属壁使颗粒密实,在样品顶部水平放置一厚度为1 mm,四周与仓壁间距0.5 mm的硬铝片,在铝片上施加轴向荷载,测量底部示重随荷载的变化,为了研究顶部荷载传递到底部的示重,在处理数据时,对每个数据点都减去了无荷载时颗粒体系本身所产生的示重.实验中不同高度的颗粒都是将颗粒仓中已有颗粒全部倒出后重新制样,得到的实验结果见图11.

不论颗粒堆积高度为多少,底部示重随荷载都按线性关系变化,但是不同的颗粒堆积高度,示重随荷载变化的斜率不同.底部示重随荷载变化的斜率随颗粒高度按负指数形式变化,根据Janssen公式(11),当颗粒高度一定,底部示重随轴向荷载按线性关系变化,其线性变化的斜率为

采用(12)式拟合所得曲线见图11中的插图.从插图中可以看出,颗粒高度越大,斜率越小,也就是说相同的荷载,若颗粒仓中的颗粒高度越大,其荷载本身传递到底部的压力将越小.当颗粒深度一定时,在颗粒顶部施加轴向荷载Q,底部压力随荷载线性变化的斜率满足K=exp(−4µJz/D).根据实验参数和(12)式我们计算出此种情况下的µJ=0.11.

图11 (网刊彩色)减去无荷载示重的底部示重随轴向荷载变化曲线(插图为减去无荷载示重的底部示重随荷载变化的斜率和颗粒高度的关系)Fig.11.(color online)The apparent weight vs.the load for differentfilling heights.Inset:The slope of the weight against the load as a function of thefilling height.

4 转向比

利用光弹法,我们测量了密堆积颗粒体系在轴向荷载下任一高度处对颗粒仓边壁的压力,将所测边壁应力除以所对应面积作为该深度处侧壁的平均压强σxx(对应某一高度处的面积为0.5 cm×7.4 cm);直接测量颗粒体系内部任意深度处的应力而不对体系产生影响是不容易的,这里我们根据上述测量轴向荷载在不同高度颗粒体系底部的压力结果和Janssen公式符合,在假设Janssen公式对颗粒体系内部应力也适用时,结合实验中的参数和Janssen公式可以推算得到颗粒密堆积时任一深度处底部应力随荷载变化的斜率,再乘以对应轴向荷载作为该深度处的轴向力,假设同一个水平面内轴向力的分布是均匀的,将计算所得轴向应力除以面积(7.4 cm×6.4 cm)作为该深度处的压强σzz,根据转向比的定义J=σxx/σzz,便可计算出不同荷载作用下不同深度处的转向比.由于靠近边壁处颗粒的排布和颗粒体系内部颗粒间的接触结构往往不同,这里获得任意深度处的轴向应力的方法还比较粗略,通过在边壁上固定一层颗粒作为边壁,这样在一定程度上能使颗粒体系内部的颗粒接触特点和在边壁上的类似.

图12给出了实验得到的转向比,可以看出,对于密堆积颗粒体系中轴向荷载沿深度的分布并不是均匀的,转向比不是一个常数,随深度呈现出单峰结构.荷载较小时,同一深度处的转向比随荷载的增大而减小,当荷载超过150 N时,转向比受荷载影响较小.

在上述讨论颗粒仓底部应力随颗粒高度以及轴向荷载变化时也提到,µJ是和装置、颗粒样品制备历史等都相关,所以图12中计算J仍有这些因素的影响,只能通过更精细的实验进一步改进实验结果的精度.

图12 (网刊彩色)转向比随深度变化Fig.12.(color online)Janssen ratio vs.depth.

5 结 论

通过光弹实验和数值模拟,研究了轴向荷载在颗粒仓边壁上随颗粒深度的分布.我们发现随着深度的增加,仓壁上力的分布呈单峰结构,并且峰值的大小与荷载、样品的体积分数等因素相关.在相同轴向荷载条件下,密堆积颗粒体系边壁上的力比自然堆积的大.在相同堆积颗粒体系中,轴向荷载在颗粒仓边壁中部附近的增幅随轴向荷载的增加比仓壁底部的增幅要大,颗粒仓最容易出现破坏的位置在中部而不是仓体的底部.在颗粒填充量一定时,颗粒仓底部受力随荷载的增加呈线性增加,其斜率随颗粒高度的增加按负指数形式衰减.另外,轴向荷载作用下颗粒仓中的转向比并不是一个常数,其值与颗粒深度及荷载大小等因素有关.

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PACS∶45.70.—n,45.70.CcDOI∶10.7498/aps.66.104501

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.11274354,11474326,11565021),the“Strategic Priority Research Program-SJ-10” of the Chinese Academy of Sciences(Grant No.XDA04020200),and the Special Fund for Earthquake Research of China(Grant No.201208011).

†Corresponding author.E-mail:mayhou@iphy.ac.cn

Janssen ratio in granular solid measured by photoelastic method∗

Zong Jin1)2)5)Zhou Zhi-Gang2)3)Wang Wen-Guang2)3)Zhang Sheng4)Lin Ping4)Shi Yu-Ren1)Hou Mei-Ying2)3)†
1)(Northwest Normal University,Lanzhou 730070,China)
2)(Key Laboratory of Soft Matter Physics,Beijing National Laboratory for Condense Matter Physics,Institute of Physics,Chinese Academy of Sciences,Beijing 100190,China)
3)(College of Physics,University of Chinese Academic of Sciences,Beijing 100049,China)
4)(Institute of Modern Physics,Chinese Academy of Sciences,Lanzhou 730070,China)
5)(College of Physics and Hydropower Engineering,Gansu Normal University For Nationalities,Hezuo 747000,China)

19 January 2017;revised manuscript

6 March 2017)

In this work Janssen ratio is measured in a dense granular pack.The pressure on the side walls as a function of the depth of the pack with top load under gravity is measured by photoelastic method.The samples are prepared by“point source”method with and without tapping.A non-monotonic distribution of the side pressure along the depth is found.Numerical simulation is performed and shows qualitative consistency with the experimentalfinding.The apparent weight of the sample is measured for differentfilling heights and for different top loads.Comparing with the normal stresses on the silo wall for different heights,we obtain the Janssen ratio J=σxx/σzzas a function of height.Wefind that although uJ=0.11 is a constant as is expected,the Janssen Ratio is height dependent.It becomes height independent only when the top load is large enough.

∶granular solid,photoelastic method,Janssen ratio

∗国家自然科学基金(批准号:11274354,11474326,11565021)、中国科学院空间科学战略性先导科技专项(批准号:XDA04020200)和地震行业科研经费(批准号:201208011)资助的课题.

†通信作者.E-mail:mayhou@iphy.ac.cn

©2017中国物理学会Chinese Physical Society