基于实证分析的VES和二级CES生产函数对比研究

苗圃，张宁

（常州轻工职业技术学院，江苏 常州 213000）

基于实证分析的VES和二级CES生产函数对比研究

苗圃，张宁

（常州轻工职业技术学院，江苏 常州 213000）

为了选择更符合实际的生产函数模型，对VES生产函数与二级三要素CES生产函数进行数理分析与实证研究。结果表明，如果需要研究多个生产要素对产出的影响，二级三要素CES生产函数更优；VES生产函数的参数估计相对简便，但二者参数估计的方法没有本质区别；VES生产函数的替代弹性可变，二级三要素CES生产函数的替代弹性不可变；各要素的生产弹性不是固定值，受到多个投入要素的影响。

生产函数；VES生产函数；二级CES生产函数

一、研究综述

生产函数是衡量生产领域投入和产出关系的数学模型。柯布和道格拉斯最早研究生产函数，其他学者在此基础上对生产函数进行了调整和改进。生产函数最基本的是C-D模型，A.A.Shananin证明了由C-D衍生的生产函数的单调性、连续性、凹凸性和可微性，并用于分析宏观经济①A.A.Shananin,"Investigation of a class of production functions arising in the macro description of economic systems.",USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics,Vol.24，No.6，1984，pp.127-134.。J.Aczel和W.FGehrig探讨了所有广义Hicks-neutral生产函数的数理模型,使其能够广泛地应用于实际领域②J.Aczel,W.Cehrig,"Determination of all generalized Hicks-neutral production functions",Mathematical Social Sciences",Vol.17，No.1，1989，pp.33-45.。JakubGrowiec分析了企业层面的生产函数和单元要素生产率的分布问题③Jakub Growiec,"Production functions and distributions of unit factor productivities:Uncovering the link", Economics Letters,Vol,101,No.1,2008,pp.87-90.。李先柏对比研究了C-D生产函数和成本函数之间的区别④李先柏：《C-D生产函数、成本、要素用量及参数估计》，《北京理工大学学报》(社会科学版)2008年第6期，第70-76页。。程海森等使用多水平模型分析方法构建了多水平C-D生产函数模型⑤程海森，方磊：《多水平C-D生产函数模型及其参数异质性研究》，《统计与决策》2010年第9期，第4-7页。。雷渊才推导出包含技术进步因素的CES生产函数模型,并作了实证研究⑥雷渊才：《CES生产函数模型和技术进步测算的理论分析》，《中南林学院学报》1996年第1期，第56-60页。。

在对生产函数数理模型研究的基础上,其实证性研究也在不断深入。Erik Biorn和Terje Skjerpen使用超越对数生产函数，基于制造业面板数据，做了实证研究⑦Erik Biorn,Terje Skjerpen,"Aggregation biases in productions functions:a panel data analysis of Translog。徐旭川、杨丽琳也基于CES生产函数，实证研究了公共投资就业效应⑧徐旭川,杨丽琳：《公巧投资就业效应的一个解释——基于CES生产函数的分析及其检验》，《数量经济技术经济研究》2006年第11期，第94-103页。。除此之外，Ling Yee Khor和Manfred Zeller也运用生产函数研究了农业领域的化肥含量问题①Ling Yee Khor,Manfred Zeller.Inaccurate fertilizer content and its effect on the estimation of production functions,China Economic Review,2014,30:123-132.,而Brian Piper也将生产函数引入公共营养研究领域②Brian Piper,"A production function examination of the aggregate effects of nutrition",Journal of Macroeconomics,2014,40:293-307.,他建立了一个专门应用于公共营养研究的生产函数模型,客观上对生产函数的研究作了新的探索。

在众多生产函数中，二级多要素CES生产函数和VES生产函数因为具备测算数据的方便性和较符合社会经济实际情况的适中性的优势，使其使用面更为广泛。但是，在经济学领域中，这两个函数孰优孰劣，学术界缺乏相应的对比研究。本文基于此，对二者先进行数理对比分析，再进行实证对比研究，以期对模型的实际运用起到一定的作用。

二、生产函数数学模型的比较

生产函数是衡量生产要素投入和产出之间关系的数学模型，本文重点从函数的模型、参数估计、各投入要素的生产弹性、规模收益、替代弹性等方面做对比分析。

（一）模型的比较

1.VES生产函数③陈庆能：《VES生产函数的主要性质及其数学证明》，《浙江科技学院学报》2008年第20期，第81-86页。

VES生产函数是建立在两种假定之上的，假定要素替代弹性是K/L的线性函数(K为资本、L为劳动)，假定要素替代弹性是时间的线性函数。前者是替代弹性随资本K与劳动L之比的变化而变化；后者是当K/L不变时，替代弹性随时间的变化而变化，因为技术进步会产生影响。本文研究要素替代弹性是K/L的线性函数的模型。

假定替代弹性σ=a+b(K/L)

其中Ζ=Y/L,k=K/L

当a=1,σ=1+bk时，

其中A，b，c为参数，K为资本，L为劳动。（2）式为假定一条件下的VES生产函数模型，也是实际运用的VES生产函数模型。

整理得

再令A"=A'(a-1/a)-1/ρ，将A"与k=K/L代入（4）式，整理得

上式与CES生产函数的形式相同，于是（1）式退化为CES生产函数。因为b=0，令使假定变为σ= a，a为固定常数，那么VES生产函数的替代弹性由可变转化为不变，就使VES生产函数退化为CES生产函数。

2.二级CES生产函数

二级多要素CES生产函数是在一级CES生产函数的基础上提出的④王贻志，孙阳，阮大成：《应用二级CES生产函数对中国制造业R&D投入产出效应的实证研究》，《数量经济技术经济研究》2006年第8期，第56-67页。，假定各要素的替代弹性是可变的，而且此模型是考虑多个投入要素对产出的影响。随着要素数量的增加，函数级数（即函数个数）也增加，二级函数可以同时研究三个要素对产出的影响。当要素个数增加时，参数估计也变的非常复杂，所以本文只研究二级三要素CES生产函数。

模型的一般形式为：

YKE为一级函数，Y为二级函数。其中A,a,b,ρ1，ρ为参数。K为资本，L为劳动，E为其它要素。

YKE是中间变量，也可以看作是K与E的产出；Y是总产出，是K，E和L的函数，通过YKE将K、E与Y建立了联系。

VES生产函数与二级CES生产函数的模型没有直接的联系，但是二者与CES生产函数有一定的关系。当时，替代弹性变为固定值，VES生产函数形式上退化为CES生产函数，说明二者的本质区别在于替代弹性是否可变。二级三要素CES生产函数是嵌套式的CES生产函数，它与CES生产函数的根本区别也只是替代弹性是否可变。但是二级CES生产函数考虑三个要素对产值的影响，比VES生产函数更为复杂但更接近实际。

(二)模型的参数估计

1.VES生产函数

对（2）式两边取对数，得

2.二级CES生产函数

对（7）式展开取近似，得

对（6）式展开取近似，得

将（12）式代入（11）式，得

变量替换，得

在模型的参数估计方面，二者的方法是一致的。都是对原式展开泰勒级数并取对数，在通过变量替换转化为线性模型。使用最小二乘法就可以求得线性模型的参数，再通过待定系数法建立原式参数的方程组，最终求解出原式的参数。由于二级CES模型含有三个解释变量和两个方程，所以二级CES模型的待估参数多于VES模型，在实际求解时相对复杂，但是没有本质区别。

（三）各投入要素的生产弹性

1.VES生产函数①程毛林：《基于VES生产函数的经济预测模型与应用》，《苏州科技学院学报》（自然科学版）2011年第28期，第37-44页。

用EK代表资本K的弹性，EL代表劳动力L的弹性。

2.二级CES生产函数

用EK代表资本K的弹性，EL代表劳动力L的弹性，EE代表第三个投入要素E的弹性。

根据以上推导，发现VES生产函数和二级CES生产函数的各要素生产弹性不是固定值，会随着投入要素的变化而变化。而且，两个模型中的各要素生产弹性都受到多个投入要素的影响。

（四）规模收益

1.VES生产函数

规模收益为各投入要素的生产弹性之和。根据以上推导整理，EK+EL=u。当u>1时，规模收益递增；当u=1时，规模收益不变；当u<1时，规模收益递减。

2.二级CES生产函数

根据以上推导整理，EK+EL+EE=m。当m>1时，规模收益递增；当m=1时，规模收益不变；当m<1时，规模收益递减。

VES生产函数与二级CES生产函数的规模收益都是各自投入要素的生产弹性之和。这表明函数的规模收益不是由某一个投入要素的生产弹性的大小所决定。其实际意义是要想获得更高的产值，不能只提高某一个或几个生产要素的弹性，要注重生产要素弹性的综合水平的提高。

（五）替代弹性比较

1.VES生产函数

当a=1时，σ=1+b(K/L)为资本K对劳动L的替代弹性。

2.二级CES生产函数

替代弹性是指各投入要素之间相互替代的难易程度。VES生产函数的替代弹性是可变值，符合实际生产；二级CES生产函数的替代弹性是固定值，不符合实际生产。

三、实证研究

(一)研究区域与数据的选取

本文在对比分析VES生产函数与二级多要素CES生产函数的基础上，进一步研究以上两种生产函数在实证分析方面的差别。

选取1996年至2011年的江苏省第三产业产值作为产出指标，以其固定资产投资总值作为资本投入，年末从业人员数作为劳动力投入。在VES生产函数模型的实证研究中，解释变量为固定资产投资K(亿元)、从业人数L(万人)，被解释变量为第三产业产值Y(亿元)；在二级CES生产函数模型的实证研究中，解释变量为除交通业和通信业之外的第三产业固定资产投资K(亿元)、交通业和通信业的固定资产投资E(亿元)、从业人数L(万人)，被解释变量为第三产业产值Y(亿元)。

（二）VES生产函数的实证研究①李子奈：《计量经济学》，北京：高等教育出版社，2000年，第186页。

通过Eviews软件，对（10）式进行多元线性回归分析，以此估计参数a0，a1，a2，a3，之后解出（9）式中相对应的参数A，b，c，u。

根据软件分析的结果，得到如下线性回归模型：

相应的t值依次为：-1.72162，0.874872，2.666537，3.302054，说明模型中的解释变量与被解释变量之间的线性关系显著。R2=0.9966说明样本回归线对样本数据的拟合效果很好，F=1172.593说明函数模型的整体线性关系很好。根据（15）式进行预测，预测结果如表1。

表1 VES生产函数相关变量表

根据（15）式，得到参数的估计值，并与（9）式中对应的项联立方程组，得到，求解得到：A=0.008427872，b=0.840920782,c=8.127152664, u=1.850731。分别代入（2）式即为所求的生产函数模型。

u=1.850731>1，说明规模收益递增，当投入的生产要素以同样比例增加时，产出量增加的倍数大于投入量增加的倍数。根据表2分析，由于资本与劳动力投入量的差距在不断扩大，使替代弹性也不断增大，资本与劳动力之间的可替代性在不断增加。

表2 VES替代弹性表

（三）二级多要素CES生产函数的实证研究①陶长琪：《计量经济学教程》，上海：复旦大学出版社，2012年，第207页。

通过Eviews软件，对（14）式进行多元线性回归分析，以此估计参数a0，a1，a2，a3，a4，a5，之后解出（13）式中相对应的参数A，a，b，m，ρ1，ρ。

根据软件分析的结果，得到如下线性回归模型：

相应的t值依次为：-1.387611，-0.060848，0.357949，2.377371，0.383087，2.15637，从中可以看出解释变量X1、X2、X3、X5与被解释变量之间的线性关系不显著，X4和X6与被解释变量的线性关系显著。R2=0.99744说明样本回归线对样本数据的拟合效果很好，F=779.1723说明函数模型的整体线性关系较好。根据（17）式进行预测，预测结果如表3、表4。

根据（17）式，得到参数的估计值，并与（13）式中对应的项联立方程组，得到：lnA=-5.446075，，求解得到：A=0.004313201，a=-0.163207209，b=0.114819025，m=2.016138，ρ=-0.01970779，ρ1=0.001340768。分别代入（7）式，即为所求的生产函数模型。

m=2.016138>1，说明规模收益递增。根据二级CES生产函数的替代弹性公式计算，K对E的替代弹性为0.999，YKE对L的替代弹性为1.02，当技术、价格等因素发生变化时，生产要素之间的替代弹性不变。

表3二级CES生产函数相关变量表

表4表3续表

四、结论

根据模型的建立，二级三要素CES生产函数比VES生产函数多了一个解释变量，在实际应用时，如果需要研究多个生产要素对产出的影响，二级三要素CES生产函数更优。在二级CES生产函数的基础上进一步建立三级、四级等生产函数，就可以研究三个以上的生产要素对产出的影响。

根据参数的估计，由于VES生产函数的解释变量比二级三要素CES生产函数的解释变量少，其参数估计相对简便，但是参数估计的方法没有本质区别。

根据替代弹性，VES生产函数的替代弹性可变，二级三要素CES生产函数的替代弹性不可变。VES生产函数更符合实际情况。

根据实证研究，二者对产值预测的相对误差比较接近，在作实际预测分析时，二者没有太大的区别。只是要考虑所需研究投入要素的个数、参数估计的难易程度等。

A comparative study of VES and two stage CES production functions based on empirical analysis

MIAO Pu,ZHANG Ning

In order to choose a more realistic production function model，the paper analysis and research VES production function and the three elements of the secondary CES production function.If you need to study the impact of multiple factors of production to output,the three elements of the secondary CES production function is better.VES production function parameter estimates is relatively simple,but the methods of parameter estimation of two production function is no essential difference.The elasticity of substitution of VES production function is variable and the elasticity of substitution of the three elements of the secondary CES production function is not variable.The elasticity of production of every element is not fixed value and is affected by a number of input factors.

production function;VES production function;the secondary CES production function

F22

A

1009-9530（2017）03-0046-05

2016-10-06

苗圃（1988-），男，常州轻工职业技术学院助教。张宁，常州轻工职业技术学院教师。