如何实现“数”与“形”的结合——初中数学教学中数形结合思想应用探究

江苏省海门市四甲初级中学 张妙琴

如何实现“数”与“形”的结合
——初中数学教学中数形结合思想应用探究

江苏省海门市四甲初级中学 张妙琴

“授之以鱼不如授之以渔，授之以渔不如引之欲渔”，而“欲渔”的关键是思想的形成。在初中数学的学习过程中，数学思想的形成与应用是数学学习的最高智慧所在，其中最常见的就是数形结合思想。以具体案例为研究对象，结合思想渗透的要点开展研究，可以进阶提升教学的效果和价值。

思想；初中数学；应用

随着教育的飞速发展，教师在教学过程中越来越注重学生的学习需求。在初中数学课堂上普及数学思想，并引导学生逐渐形成数学思想解决实际问题，已经成为当前教育的主要教学形式之一。数形结合思想在教学中的运用非常广泛，本文将对如何实现 “数”与“形”的结合展开简单探究。

一、在解决实际问题时利用数形结合思想，理清解题思路

初中数学的知识难度较低，并且在生活中有着广泛运用。在日常的学习中，我们经常会遇到一些实际问题，需要利用数学知识来进行解决，此时如果可以很好地运用的数形结合思想，能够有效地帮助学生理清问题的思路，从而更加高效地解决问题。作为教学的引导者，教师要注重在日常的学习课堂上有意识地渗透数形结合的思想，多为学生创造利用数学思想解决实际问题的机会。

如题：甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，甲车途经C地时休息一小时，然后按原速度继续前进到达B地；乙车从B地直接到达A地，图1是甲、乙两车和B地的距离y（千米）与甲车出发时间x（小时）的函数图象。求 a，m，n的值。对于这道题，我们应当将图象和题意结合在一起，如题中提到“甲车途经C地时休息一小时”，也就是说m到2.5的长度为一个小时，m应该等于1.5，乙车匀速行驶，在2小时的时候行驶了120千米，则其速度为60千米每小时，由m=1.5，可以得知a=1.5×60=90。通过数形结合，还可以知道在m小时的时候，甲车行驶了300-120=180千米，由此可以求出甲车的速度为120千米每小时，那么2.5小时到n小时这段时间里，甲车的路程为120千米，可求出n-2.5=1，即n=3.5。

利用数形结合的数学思想，的确能够解决一些数学方面的实际问题。在教学过程中，教师要注重培养学生的数学思想，提高学生的数学知识运用能力，让学生养成综合的数学能力，从而提高教学效率。

图1

二、在研究平面几何时利用数形结合思想，抽象转为直观

众所周知，平面几何图形的问题是初中数学教学过程中的重点内容，它主要研究的是图形的性质以及位置关系，在这个部分运用到数形结合思想的地方比较多，如勾股定理、解直角三角形、圆与圆的位置关系、点和圆的位置关系等。初中数学教材中有许多知识内容涉及几何图形，因此在开展这部分教学时，教师可以引导学生学习数形结合的数学思想，更加方便地解决一些平面几何图形的问题。

如题：如图2，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF。（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF＝FD。对于第一个问题，我们应当在图上做出一条辅助线，连接OF，如图3。∵FH是⊙O的切线 ，∴OF⊥FH；∵FH∥BC，∴OF垂直平分BC（这里运用到了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧），∴BF＝ FC，∴AF平分∠BAC。而对于第二个问题，通过第一问中我们求出的答案可以知道∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2，∴∠1+∠4=∠2+∠3 ，∠FDB=∠FBD，∴BF=FD。通过对集中的数据以及图形中所表达的关系的结合，学生们顺利地解决了这道题中的两个小问题。

图2

图3

平面几何图形关系是初中数学教学内容中的重要组成部分，在开展这部分内容的教学时，要有意识地向学生渗透数形结合的思想，能够在无形之中引导学生养成良好的学习习惯，思路清晰地解决几何图形问题。

三、在遇到统计问题时利用数形结合思想，呈现数量关系

除了一些实际问题以及平面几何问题外，初中生们在遇到统计问题时同样也可以使用数形结合的数学思想来进行解决。在统计问题中，数据能够以离散点的形式反映在平面直角坐标系上，当我们需要研究一组数据的集中趋势，或者研究坐标系中离散点的分布规律时，就可以利用数形结合的思想方法，将问题中所给出的数据直观地呈现在大家眼前。对平均数、众数、中位数、方差、标准差等概念，都可以用数形结合的方法来加深学生的理解。

如题：某校某班级组建篮球队，对甲、乙两名备选同学进行定位投篮测试，每次投10个球，共投10次，甲、乙两名同学测试情况如图4所示。（1）根据如图所提供的信息填写下表。（2）如果你是文体委员，会选择哪名同学进入篮球队？请说明理由。对于这道题来说，我们可以通过对题中所给出的数据图进行有效分析，计算出甲、乙十次投篮一共投进多少个球，然后用总个数除以投篮次数得到平均数。而众数的填写，则是要从图中挑出出现频数最多次的那个数。而对于第二个问题，经过学习我们可以知道，样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫作样本方差，样本方差越大，样本数据的波动就越大，为了保证成绩的稳定，应当选择方差小的那位学生，也就是甲。

图4

数形结合思想在解决统计问题时有着非凡的作用，我们可以利用题中所给出的图表来分析出一些相关的数据，从而顺利地解决统计问题，提高学生的数学思想应用能力，进一步增强学生的数学水平。

总而言之，数学教学过程中利用数形结合思想的地方有很多，因此教师需要注重数学思想的渗透，引导学生实现数与形的结合，发散数学思维。