时变最优条件数的目标要素解算方法*

赵建昕，笪良龙

（海军潜艇学院，青岛 266071）

时变最优条件数的目标要素解算方法*

赵建昕，笪良龙

（海军潜艇学院，青岛 266071）

纯方位目标跟踪是一个典型的非线性问题，伪线性跟踪估计器是理论和工程上解决该问题的一类重要方法。针对纯方位观测模型伪线性化后，系统存在弱可观测性问题，提出了一种时变最优条件数的目标要素解算新方法，理论上给出了一个改善系统可观测性的最优乘数因子。在系统条件数和参数估计的收敛概率两个方面，数值仿真和实验数据验证都表明新方法要优于经典纯方位伪线性化方法。

纯方位，最优条件数，目标运动分析

0 引言

将方位的观测模型伪线性化是纯方位目标要素解算的一类重要的方法，如文献［1-4］。伪线性化方法在系统可观测情形下，系统的解是唯一的。因此，为了满足系统可观测性，观测站需要作有效机动，虽然对于最优的有效机动，系统仍然是弱可观测的，但是由于该算法在工程实践中简单、易实现等优点，目前在实际中仍然被大量研究和使用。

伪线性化方法的本质是将非线性观测模型转化为一个伪线性模型，利用最小二乘方法对目标参数进行估计。这一处理方法往往涉及到统计中的多重共线性问题［5］，对应到系统中，就是系统的可观测性。对于纯方位问题，即便是观测站作有效机动，系统仍然是弱可观测的。度量系统的可观测性，即共线性的指标可以利用线性模型的系数矩阵的条件数来表示，条件数越大，共线性越严重，参数的估计精度越差［5］。针对纯方位系统的弱可观测性问题，从算法本身出发，在不改变系统解的前提下，理论上，一般性的研究给出了一种改善系统弱可观测性的方法。数值仿真和实验数据的结果显示，见下页图2、图6，经典纯方位方法对应的条件数为O（1010）（O表示同阶量的意思，下同），而新方法对应的条件数为O（105），说明了该方法可以降低系统的条件数约5个数量级，是可行和有效的。注意到文中方法的一般性，在实际问题中遇到这类问题时，均可以利用此方法，降低系统的条件数，提高可观测性。从这一方面来说，文中给出的方法有普遍意义。

以下总假定目标作匀速直线运动，只考虑在其运动平面的两维情形。

1 系统模型

为研究方便，引入表1记号。

表1 变量符号说明

图1 观测站和目标态势

由图1知，目标方位与D0，Vmx，Vmy的关系为：

经典的纯方位方法就是以上述模型为基础，利用最小二乘法估计参数 D0、Vmy和 Vmx，如文献［1-4］。此时，式（2）关于参数 θ=（D0VmxVmy）T的最小二乘估计满足下列方程组：

理论分析和实际验证均表明，当观测站不作有效机动时，式（3）不可解，即便是作有效机动，但由于矩阵ATA的条件数很大，因此，当方位的误差变化时，由于系统的这种弱可观测性，算法对于输入误差很敏感，导致计算的结果是不可靠的。解决这个问题的基本方法是通过挖掘目标的其他有用信息，加入到式（3）中以提高系统的可观测性。本文旨在不增加其他目标信息的基础上，通过算法上的处理，提高系统的可观测性。

当观测站作有效机动时，式（3）在理论上有唯一解，易见此时等式两边同时乘以常数α，则方程的解不变，但是式（3）系数矩阵的条件数会发生变化。该矩阵条件数最优的常数α可由下面的结论得到。

注：具体到文中的纯方位问题，具体步骤为：①选择一个时刻tk，式（3）两边同时乘以按上述结论求得的系数αk；②利用步骤①得到的式（3）和tk+1时刻新的观测数据，构成tk+1时刻的式（3）；③对于tk+1时刻的式（3），利用结论求得tk+1时刻的系数αk+1，依次类推可得到目标参数的新估计。

2 数值仿真与实验验证

2.1 数值仿真实验

为了显示方法的性能，首先选择了3种态势，比较两种方法的条件数的变化；其次选择其中的一种对目标要素的估计进行了仿真实验。采样时间间隔2 s，方位方差0.3°，其他参数具体见表2。

图2给出了表2的3种态势下的系统条件数的图示，经典纯方位在600 s后对应的条件数均是1010量级，而新方法对应的条件数均是105量级，这说明新方法能够改善系统的可观测性。图3给出了表2中序号1对应的模拟实验结果，结合图2，结果显示新方法不仅有效地降低了系统的条件数，而且参数的估计曲线平滑且与真值的误差小。为了进一步比较新方法与经典方法的不同，对于表2中序号1对应的方案模拟实验了100次，以真值的上下15%的误差限为界，1 000 s时的目标参数估计收敛的统计结果为：经典方法目标距离估计收敛的次数为88次，速度收敛的次数为91次，新方法目标距离估计收敛的次数为93次，速度收敛的次数为98次，航向的估计两种方法相当，这相当于说明新方法的收敛概率得到了提高。此外，新方法的目标参数估计随着时间的增加，其方差要小于经典方法的目标参数估计的方差，目标各参数估计随时间变化的均方根误差估计见图4，这是系统的条件数减小得到的结果。

表2 观测站和目标数值模拟要素值

图2 3种不同态势下，两种方法的条件数

2.2 实验结果

海上实验在东中国海某海域进行，观测站和目标各要素随时间变化规律见下页图5。图5的上半部分给出了两种方法的各参数的估计随着时间变化的情况。对于目标速度的估计，新方法的波动要小一些，对于目标距离和目标航向的估计在10%误差上下限范围内，新方法要好于经典纯方位方法。

图3 数值仿真结果

图4 100次Monte Carlo抽样的均方根误差估计

图5 海上实验结果

3 结论

针对纯方位观测模型伪线性化后，系统存在弱可观测性问题，提出了一种时变最优条件数的目标要素解算新方法，数值仿真和实验结果证明了该方法的有效性。由于系统的条件数在时间轴上，每一步都得到了一种最优改善，系统的可观测性得到提高，统计结果显示了新方法优于经典方法，在15%误差上下限范围内，目标参数估计的收敛概率得到了提高。

文中给出的最优时变条件数只是研究了系统中某一行的乘数，多行的乘数结果会怎样？此外，虽然文中的新方法改进了系统的可观测性，但从统计意义上，系统仍然是弱可观测的，有没有更合理的、优于文中的处理手法，是下一步需要研究的问题。

［1］孙洪胜.基于方位角测量的无源定位算法研究［M］.哈尔滨：哈尔滨工程大学，2010.

［2］许志刚，董志荣.纯方位系统单目标定位与跟踪的拟线性估计器［J］.弹道学报，2002，14（3）：10-16.

［3］刘忠，邓聚龙.多传感器系统纯方位定位与可观测性分析［J］.火力与指挥控制，2004，29（5）：79-87.

［4］赵建昕，笪良龙，徐国军，过武宏.线性等式约束下的纯方位目标运动分析［J］.应用声学，2014，33（2）：120-129.

［5］何晓群，刘文卿.应用回归分析［M］.北京：中国人民大学出版社，2001.

Method Solving Target Elements Using Time-varying Optimal Condition Number

ZHAO Jian-xin，DA Liang-long
（Navy Submarine Academy，Qingdao 266071，China）

Bearings-only target tracking is a representative nonlinear problem，pseudo linear target tracking filter is a sort of important method solving this problem in theory and engineering.To the observability question of system，which produced by pseudo linearizing the measured model of bearings-only，a new method solving target elements is presented which using time-varying optimal condition number.In theory，the optimal multiplier factor is obtained to improve the observability of system.The new method is better than the classical pseudo-linear method，which verified using results of both numerical simulation and sea experiment in system condition number and convergence probability of parameter estimators.

bearings-only，optimal condition number，target motion analysis

O428

：A

10.3969/j.issn.1002-0640.2017.06.004

2016-05-16

：2016-06-03

国家“530专项”2015年第1批任务研究与服务保障项目

赵建昕（1969- ），男，山东青岛人，博士，副教授。研究方向：水声信号处理。

1002-0640（2017）06-0013-04