挖掘隐含条件，妙解初中数学题

曹孝林

摘 要：数学问题中的隐含条件主要是指隐藏在题目内容的必要解题条件，学生需要经过适当的条件推理、计算变换等基本过程才能将其挖掘出来。对于初中阶段的学生而言，对其进行数学解题能力的培养事实上就是引导学生挖掘数学题中的隐含条件，进而实现锻炼其自身逻辑思维能力的目的。教师应积极采取相应教学策略，以有效帮助学生掌握科学的解题思路，从而进一步形成良好的解题、思考习惯。在本文中，笔者详细讲解了如何在学生的解题过程中挖掘隐含条件的相关策略，旨在为学生数学解题能力锻炼、培养工作提供参考思路。

关键词：隐含条件 逆向思维 妙解挖掘

一、 从已知条件中挖掘隐含条件

从初中数学题的题型难度与解题技巧综合因素上考虑，大部分的隐含条件往往就存在于一致条件中。学生只需要在解题时对题目中所给出的一致条件进行更为简单的推算即可轻松得出。然而，由于部分学生在解题时急于做题，因此忽略了题目中的重要条件。从已知条件中挖掘隐含条件的基本方法上看，学生大致可以参照如下三种方法进行题目已知条件的思考。奇偶分析法：这种方法主要是通过等式两边的奇偶性分析，获得已知条件中隐含条件的方法。特殊值分析法：这类方法通常应用于“恒成立”相关题型中，针对这一题型，学生可以将题目中所给出的关键变量或关键条件进行特殊性简化。特殊公式推理法：学生在进行解题之前，则可以先对题目中所给出的特殊公式进行分析，再根据具体的分析结果对题目所给出的一致条件中是否存在隐含条件进行综合判断。例如，在题目“一元二次方程x2-（k-2）x+（k2+3k+5）=0，该方程的两个实根分别为x1与x2，求解满足该方程条件x12+x22最大值。”在这一题目中，若学生没有对题目所包含的隐含条件进行进一步思考时，则极易忽略k值的取值情况，而直接根据方程式求解得出错误的“最大值为19”这一答案。

二、 结合代数形式挖掘隐含条件

代数式是初中数学的常见表达形式，在许多数学题中，隐含条件就隐藏在题目中的代数式中而不易被学生发现，学生若没有将代数式中的隐含条件有效运用至数学题的解题过程中，那么学生所计算得出的结果通常为不完整或不准确的。由此可见，学生在面对含代数式的题型时，应充分思考代数式在题目中所代表的基本含义，并善于挖掘隐含条件，结合该条件对题目进行整体性把握，完善其解题过程，从而有效提高学生的解题准确度。例如，在方程“（a2+b2）2-3（a2+b2）-10=0，那么a2+b2的值为多少？”在具体的解题过程中，大多数学生都会将a2+b2看成一个整体，设a2+b2為y，那么原方程将简化成常见的方程式。学生采用因式分解的方法则可快速得出y=5或y=-2。然而，学生对于a2+b2这一代数式的隐含条件有所忽视，即两个数的平方之和不可能为负数，因此， y=-2这一结果不成立。

三、 求解定义范围挖掘隐含条件

初中数学题目中的隐含条件有可能存在于题目已知条件中，也有可能出现在具体的解题过程中，针对这一情况，学生不仅需要在审题时做到缜密细致，更应该在解题过程中善于发现数学题中的逻辑规律，并善于从解题过程中挖掘出隐藏的解题条件。从另一方面上说，有些题目中虽然没有直接给出浅显的隐藏条件，但随着解题进度的持续深入，学生会发现解题得出的部分结果事实上就是进行后续解题的条件。这类条件即使没有被学生挖掘，却也不会影响学生的解题。然而，由于学生缺少了这部分条件的辅助指引，所以最终的解题结果则一定不会是正确的答案。在初中数学解题过程中，通过求解定义范围挖掘隐含条件的题型则大多为求解值域范围与定义域范围的这类题目。例如，在“二次函数ax2+4x+a的最大值是3时，a的值为多少？” 在一题中，若学生没有对a值的取值范围进行讨论就直接将其带入计算公式，得出a=4或a=-1这一答案时，那么就会出现这类题型的常见解题失误。在本题中，一致条件已明确指出该函数的最大值为3，即该函数中的a值取值范围应小于0，这是由于当a值大于0时，该函数就不存在最大值了。再比如，在“已知二元二次方程3x2+2y2=6x时，求x2+y2的最大值”一题中，学生也应根据题目所给出的已知条件求解该函数的定义域，即x大于0。

四、 利用逆推思想挖掘隐含条件

利用逆推思想挖掘隐含条件这一解题方法大多应用于初中数学的证明题型中，学生采用该方法进行数学解题时，通常需要将已知条件与所需要证明结果之间的关系进行逆推。运用逆向思维解题，不仅能够使得学生在解题过程中从不同角度以及不同方向对题目要求进行思考，激发学生积极探索解题方法的热情，还有利于在一定程度上拓宽学生的解题思路。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现得更加明显。同时，采用逆推思想也是挖掘这类题目中所蕴含的隐藏条件的关键所在。另外，对于从结论很难分析出思路的题目，学生还可以结合结论和已知条件进行综合分析，一般而言，在初中阶段的证明题型中，题目中所给出的已知条件通常都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路。例如，在证明题“[1a]+[1b]+[2c]=0，求证a2+b2+c2=（a+b+c）2”一题中，学生可以采用逆推思维，从要论证的结果出发，将上述等式进行化简后得出ab+bc+ca=0这一隐含条件。总而言之，学生在解答证明题目时，可以从所要论证的结果出发，积极采用逆推的思维将论证与条件进行相互结合，从而有效挖掘出两者之间的隐藏条件。

五、 通过数形分析挖掘隐含条件

数形结合是教师在数学知识教学过程中的常用教学手法。在课堂上，教师采用直观的图形将题目中的数学变化情况为学生进行清楚明了的呈现，并以具体图形中所反映出来的数量关系与题目中所要求求解的部分进行相互结合，从而帮助学生理清其解题思路。例如在求解“函数y=[sinx4-cosx]的最值”时，教师节可以指导学生采用属性结合的方式，把抽象的数学语言与直观的图像结合起来，从而将题目中所隐含的sin2x+cos2x=1这一条件进行充分挖掘，并以定点（4，0）为圆心，将该题目转化为定点到单位圆上的连线斜率最值问题，这样一来，学生不仅摆脱了繁琐的计算过程，更是将复杂问题简单化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，学生首先应了解概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，只有在这一基础上，才能将数学符号以数学图形表示。其次，对于具体计算参数的取值范围一定要作为结果的腺体条件，从而使得计算结果符合题意。而作为几何知识的重要基础内容，几何图形通常被看成是图像化的数学公式，而在学生的数学解题教学过程中，数学教师也应善于引导学生对几何图形进行分析理解，从读懂几何图形开始，逐步掌握利用几何图形挖掘题目中隐含的数据条件，从而实现对具体题目的有效解答。例如，在一个圆柱体中底面圆的半径是2π，高为2，AB、CD分别为两地面直径，且AD、BC均为直线，若一只小虫从A点出发，从侧面爬行至C点结束，那么小虫如何爬行，才能使得其所走路程最短。在进行本题解答时，教师应引导学生将这个圆柱体以数形结合思想展开成一个长方形，从而再通过勾股定理求得AC之间的最短距离。

隐含条件是学生在进行数学解题过程中的重要条件，由于这些条件隐藏含义的不同，学生在进行具体的题目解答时，则应对具体的题目条件进行细致分析。在具体的解题方法教学上，教师则可以从已知条件、结合代数形式、求解定义范围、利用逆推思想以及通过数形分析等五个方面论述了解题过程中挖掘隐含条件的具体方法，从而帮助学生紧扣题意，结合相关知识点进一步提升其解题准确率。同时，教师在具体的教学过程中，还应根据学生的理解能力为其进行良好解题习惯的培养，从而为学生的后续数学知识学习与应用奠定良好基础。

（作者单位：江西省万安县顺峰中学）

责任编辑：潘中原