函数最值问题的解法探究

李雅萍�お�

[摘要]函数最值问题一直都是高考热点.函数最值问题，可以用基本不等式法、求导法、三角代换法和数形结合法来解决.

[关键词]函数；最值；解法；数形结合

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2017）20003302

函数最值问题是高考的重点，每年在高考试卷中所占的比例比较高.教师在平时的教学过程中应当通过多种方法求最值，让学生能够全方位了解最值问题，掌握求最值的多种方法.

一、基本不等式法

对于一些函数求最值问题，可以利用基本不等式的性质求解.

【例1】求函数y=x+4x的值域.

解析：本題可以通过常规的求导法来求解.但是本题用求导法求解太麻烦.如果利用基本不等式的性质来解，就会简单得多.当x>0时，x+

4x≥2x×4x

=4（当x=2时取等号）；当x<0时，-x>0，那么（-x）+（4-x）≥

2（-x）×（4-x）

=4（当x=-2时取等号），所以x+4x≤-4.综上所述，函数的值域为（-∞，4]∪[4，∞）.

点拨：本题中采用了基本不等式法求最值.利用基本不等式法很容易产生错解，主要原因在于会忽略“一正二定三相等”中的“一正”，在没有确定未知数为正的情况下就轻易用基本不等式法.

二、求导法

求导法是求函数最值问题的常规方法，它的重要性不言而喻.新课标对于学生基础知识的关注度越来越高，而求导法是求函数极值的基础方法，通过求导法而衍生最值问题数不胜数.因此掌握求导法非常有必要.

【例2】已知函数f（x）=2ax-1x2

，x∈（0，1].（1）若f（x）在x∈（0，1]上是增函数，求a的取值范围；（2）求f（x）在区间（0，1]上的最大值.

解析：本题是一般函数单调性问题，可以通过导数法进行求解，但是在解题过程中有一些细节需要引起学生的注意.

（1）由题意可得f′（x）=2a+2x3.因为f（x）在x∈（0，1]上是增函数，所以f′（x）>0，那么2a+2x3>0

，即a>-1x3

.现在构造g（x）=-1x3

，g（x）在（0，1]是增函数，则g（x）的最大值是在x=1时取到，所以g（x）的最大值为g（1）=-1.故a>-1.当a=-1时，在f′（x）=-2+2x3

在x∈（0，1]有f′（x）>0，所以a≥-1就是所求的结果.

（2）由（1）的结果可知当a≥-1时，f（x）在x∈（0，1]上是增函数，所以当a≥-1时，f（x）的最大值为f（1）=2a-1.当a<-1时，令f′（x）=2a+

2x3

=0，可以解得x=13-a

，那么0<13-a<1

.所以当0

时，f′（x）>0；当13-a

-33a2

.

综上所述，对于x∈（0，1]，当a≥-1时，f（x）的最大值为f（1）=2a-1；当a<-1时，f（x）的最大值为f（13-a）

=-33a2

.

点拨：本题是用导数法求解函数最值的一道综合题，方法虽然很普通，但是计算量比较大，并且还涉及了分类讨论的思想.将分类讨论思想与函数的最值问题结合起来考查是近年高考热点，学生在平时的复习中应当注意这类问题.

三、三角代换法

三角代换法是求最值问题中一种重要的方法.在一些函数求最值问题中往往存在根号，由于根号存在不能直接求导，直接求导只会让式子越来越复杂.而通过三角代换法，就可以将根号巧妙替换掉，然后根据三角函数的性质求出最值，大大简化计算过程.

【例3】求函数f（x）=x+-x2+4x-3的值域.

解析：本题如果用求导法，对二次根式的求导会非常复杂，烦琐的计算过程会让人望而却步.而通过三角函数的转化，就可以将根号去掉，计算过程就可以变得简单.

由f（x）=x+-x2+4x-3

=x+-（x-2）2+1

.为了去掉根号，可以令f（x）∈[1，2+2]，其中θ∈[-π2，π2]，那么原式f（x）=2+sinθ+cosθ=2+2sin（θ+π4）.

因为

θ∈[-π2，π2]

，所以θ+π4∈

[-π4，3π4]

，

那么根据三角函数的性质得

sin（θ+π4）∈[-22，1]

，容易得

到2+2

sin（θ+π4）∈[1，2+2]

，所以f（x）∈[1，2+2].

点拨：本题通过观察根号中的式子，用三角函数的代换巧妙去掉了根号.对于三角函数求最值，只要确定三角函数中自变量的取值范围，因变量的范围问题就迎刃而解了.通过三角函数的代换，简化了计算的过程，又能准确地得到结果.

四、数形结合法

通过几何知识来求函数最值是最值问题的重点.数形结合的思想与最值问题结合考查的题目都比较有难度，这些问题的关键在于将已知函数进行转化，将问题转化为常见的数形结合问题.

【例4】x∈R，x为何值时

y=x2-2x+2+

x2-4x+8

有最小值？请你求出最小值.

解析：这道题的条件比较简单，但是却无从下手，这并不是常见的函数类型.如果直接通过导数法求解，计算过程会非常麻烦，而且很难得到想要的结果；如果将代数的问题转化为几何问题，通过数形结合的思想，问题就会迎刃而解.

将函数转化为：

y=（x-1）2+（0-1）2+

（x-2）2+（0-2）2

，通过两点之间的距离公式，y表示P（x，0）到两定点（1，1）和（2，2）的距离之和，现将这两点分别记为A和B.求y的最小值问题就转化为在x轴上找到一点P，使得P点到A、B两点的距离之和

最小.如右图，根据对称性，由于两点之间线段最短，图中的P点即为所求的点，通过B点和A′点的坐标，可以求得经过这两点的直线解析式为

3x-y-4=0

，当y=0时，x=43，所以P点的坐标为（43，0）；当x=43

时，y有最小值，为10，所以函数y=x2-2x+2

+x2-4x+8

的最小值为10.

点拨：本题通过数形结合的思想巧妙解决了问题，比起求导法求最值大大简化了计算过程.本题的解题关键在于将复杂的函数解析式转化为求直线上的一点.

本文用多种方法阐述了最值问题的求解.教师在教学过程中能向学生合理训练这些方法，学生对于函数最值问题就犹如掌握了“十八般兵器”一般，一定能在考场上“克敌制胜”.

（责任编辑黄桂坚）