谈“三线合一”定理的运用

郑丽花�お�

[摘要]“三线合一”定理很重要.学生熟练掌握此定理能突破解题难点，容易找到解题的方法.

[关键词]三线合一；等腰三角形；运用

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2017）20003001

等腰三角形在初中几何里很基础，等腰三角形的性质在实际的应用中非常普遍，尤其是“三线合一”这一重要定理.等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线互相重合，简称“三线合一”.不少教案中都是把它和“等边对等角”放在一起讲.我觉得等腰三角形的“三线合一”性质在初中几何证明和计算中占据了非常重要的地位.学生既需要知道它的由来，又要知道它的用途，还要能在图形不全的情况下补全“三线合一”所在的基本图形.因此，教师在教学“三线合一”定理时应该给予学生恰当引导，适时启发，做到“授人以鱼，不如授之以渔”.教师如果把握好“三线合一”定理在辅助线教学中的应用，把握好化归思想方法的渗透，将有助于学生把握解题的关键，更好地培养和发展学生的思维能力，突破解题的难点，探明解题的方法，从而帮助学生提高解决问题的能力.

【例1】如图1，点D在△ABC的边BA的延长线上，过点D作DF⊥BC，交AC于E，垂足为点F.若AE=AD，求证：AB=AC.

分析：本题有三种证明方法.

方法1：根据AE=AD，得到∠D=∠DEA，再借助垂直关系，以及∠CEF=∠DEA，把∠D=∠DEA转化为∠B=∠C，从而得证.

方法2：看到AE=AD的条件，我们马上想到等腰三角形的底边上“三线合一”定理，于是尝试着过点A作AH垂直DE，交DE于H，得到底边上的高AH，那么线段AH身兼三职：

底边上的高、底边上的中线和顶角平分线.于是，问题迎刃而解！证明：如图2，过点A作AH⊥DE，交DE于H，则AH∥BC.

∵AD=AE（已知）∴AH平分∠DAE.（等腰三角形底边上“三线合一”）

∴∠DAH=∠EAH，而∠DAH=∠B，∠EAH=∠C.

∴∠B=∠C，∴AB=AC.

方法3：将“三线合一”定理逆过来用，即若有一个三

角形一边上两线合一，通过证明必可得三线合一，并且推出这是个等腰三角形.

故本题也可以从“求证AB=AC”这个求证的结论得到提示与启发.

证明：如图3，过点A作AG⊥BC，则AG∥DF，

∵AD=AE，∴∠D=∠AED.

∵∠D=∠BAG，∠ADE=∠CAG，∴∠BAG=∠CAG.

∴∠B=∠C，∴AB=AC.

通过以上例题，我们有了这两个思路：若题目给出等腰三角形的图形环境，我们会不由自主地想到“三线合一”定理，从而尝试着预算出“三线合一”定理能否给解题带来便利；题目中三角形里有一条线段身兼三线中的二线，我们也应该想到是否能促成等腰三角形的存在，毕竟等腰三角形是个特殊三角形，它带来的结论不少.

【例2】如图4，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，CE⊥BD的延长线于点E，求证：BD=2CE.

分析：如图5，线段BD既是∠ABC的平分线，又是CE的垂线，让我们联想到“三线合一”定理.延长CE交BA延长线于F，则△CBF为等腰三角形，于是问题变得简单了许多.

证明：延长CE交BA延长线于F，

∵BD平分∠FBC，BE⊥CF，∴BC=BF，且EC=EF=1/2CF，即CF=2CE.

∵∠BAC=∠CAF=90°，∠BDA=∠CDE=∠F，AB=AC，∴△ABD與△ACF全等.

∴BD=CF，∴BD=2CE.

（责任编辑黄桂坚）