数形结合思想在高中数学解题中的应用

刘衍鹏�お�

[摘要]数形结合思想在高中数学解题的应用非常常见.把抽象的数学语言用直观、形象的图形来表达，把抽象的概念和具体的图形联系起来，把数与形的信息融合在一起，简化了很多数学问题.

[关键词]数形结合；应用；高中数学

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2017）20002901

数形结合是指将抽象、复杂的

数学语言

、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来.由于图形在表达方式上具有形象、具体、易理解等特点，所以数形结合可以“以形助数”，对优化解题过程、快速有效找到答案具有重要意义.本文结合高中数学知识和题型分类浅谈这种方法的使用.

一、应用数形结合思想解决集合问题

集合是高中数学区别于初中数学的一个非常明显的标志性概念，是高中数学的基础性知识.集合知识的内在关系包括交集、并集和补集，外在表达式一般为{A，B，C}.我们可以很清楚地看到，两集合的关系容易用图形表现出来，数形结合可以帮助学生形象地认识集合与集合的关系.韦恩图可以用来表示具体化的集合问题.一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合无公共元素.利用韦恩图法能直观地解答集合之间的关系的问题.

【例1】某单位人数共50人，组织了羽毛球、篮球和乒乓球3种球类的比赛，其中参加羽毛球比赛的员工有38人，参加篮球比赛的员工有35人，参加乒乓球比赛的员工有31人，既参加羽毛球比赛又参加篮球比赛的员工有29人，既参加羽毛球比赛又参加乒乓球比赛的员工有28人，既参加篮球比赛又参加乒乓球比赛的员工有26人，羽毛球、篮球和乒乓球比赛都参加的员工有24人，问：有多少人没有参加这次的球类比赛？

分析：这是一道常见的生活问题的集合问题，该问题可以采用韦恩图来解决.如图1所示，参加羽毛球和篮球比赛，但没有参加乒乓球比赛的员工有a=29-24=5（人）；参加羽毛球和乒乓球比赛，但没有参加篮球比赛的员工有b=28-24=4（人）；参加了篮球和乒乓球比赛，但是没有参加羽毛球比赛的员工有c=26-24=2（人）；只参加了篮球比赛的员工有d=35-24-5-2=4（人）；只参加乒乓球比赛的员工有e=31-24-4-2=1（人）.因此，至少参加了三种球类比赛中一项的员工人数是38+4+2+1=45（人），故三种球类运动都没有参加的员工人数是50-45=5（人）.

二、应用数形结合思想解决极值问题

极值问题是数学中常见的问题.大部分极值问题是应用抽象的代数方法来求解的.而对部分极值问题，可以根据已知条件中的信息，构建合适的集合图形，将复杂、烦琐的代数运算问题，转化成形象、直观的几何问题，让求解过程简洁明了，也让学生更容易理解和掌握.

【例2】已知x2+2x=-y2，求（x-1）2+（y+1）2的最小值.

分析：按照一般的算法，可能先需要用x的公式来表示y，接着用二次函数的公式来求（x-1）2+（y+1）2的极值，运算量较大，而且计算过程烦琐，得出的答案甚至还会扩大化.用数学结合的思路，则可以快速、形象地解决问题.

由x2+2x=-y2，可以推出x2+2x+y2=0，

即（x+1）2+y2=1，

（x，y）就是到点（-1，0）距离为1的点，可以用图2中的圆表示，该圆圆心是

（-1，0），半径则是1.而（x-1）2+（y+1）2则可以表示到点P（1，-1）的距离的平方.从图2可知，已知圆上的点到P点的最小距离PQ可以表示为：

PQ=CP-CQ=2×2/3-1=43/3-1.

这样极值问题就转换为了距离问题.从图2中可以看出（x-1）2+（y+1）2的最小值是：

（x-1）2+（y+1）2≥PQ2=（433-1）2

=19/3-83/3.

很多复数问题、三角函数问题和比较复杂的解析几何以及立体几何问题也可以用数形结合的方法求解.因此，在高中数学日常的训练中，教师要帮助学生分析数形结合的常见使用方法及各種使用技巧，让学生能够做到举一反三，能够灵活应用数学结合的方法，提高解题效率.

[参考文献]

[1]黄显富.数形结合思想在高中数学中的应用[J].中国校外教育（旬刊），2013（21）.

[2]孙立.数形结合理念对高中数学课堂教学设计的启示与借鉴[J].学周刊，2015（32）.

（责任编辑黄桂坚）