损伤失效率下Lomax分布在步进试验下的统计分析

和 阳，王蓉华，徐晓岭

(1.上海师范大学 数理学院，上海 200030; 2.上海对外经贸大学 统计与信息学院, 上海 200030)



损伤失效率下Lomax分布在步进试验下的统计分析

和 阳1，2，王蓉华1，徐晓岭2

(1.上海师范大学 数理学院，上海 200030; 2.上海对外经贸大学 统计与信息学院, 上海 200030)

为了能够在尽量短的时间内得到产品的品质信息，而且要保证这些信息是可靠的，采用加速寿命试验是一种合适的试验方法，通过研究在损伤失效率(TFR)模型下，Lomax分布在简单步进应力加速寿命试验下的极大似然估计以及基于渐进正态性的近似区间估计。通过Monte-Carlo模拟一批数据，经过计算得到参数的点估计和近似区间估计都在真值附近，而且使用步进应力加速寿命试验缩短了试验时间，达到了预期的目标。

Lomax分布；步进应力；损伤失效率模型；渐进正态性；极大似然估计；Monte-Carlo模拟

Abd Ellah，A H在文献[1]中将Lomax分布称为第二型的Pareto分布，该分布包含了单调递增和单调递减的失效率，在分析医学、生物科学和工程科学等方面的寿命试验数据处理中起着重要的作用。关于该分布的统计推断理论引起很多统计学者的兴趣。文献[2]研究了熵损失下两参数Lomax分布中尺度参数已知时形状参数的Bayes估计，文献[3]研究了对数熵损失下两参数Lomax分布中形状参数的Bayes估计，文献[4]研究了NA样本下两参数Lomax分布中形状参数的经验Bayes检验，文献[5]研究了在不同损失函数下两参数Lomax分布中尺度参数已知时形状参数的Bayes估计，文献[6]得出了Linex损失函数下两参数Lomax分布中尺度参数已知时形状参数的Bayes估计及多层Bayes估计，文献[7]研究了在Linex损失函数下两参数Lomax分布中形状参数的E-Bayes估计，运用MonteCarlo随机模拟对各个估计值进行比较，文献[8]研究了两参数Lomax分布次序统计量的性质和渐进分布，文献[9]研究了两参数Lomax分布中参数的区间估计和假设检验，文献[10]讨论了CE模型下Lomax分布简单步进应力加速寿命试验的极大似然估计以及参数的渐进方差-协方差矩阵，给出了基于极大似然估计渐进正态性的区间估计，通过似然比的方法获得了参数的假设检验。本文研究了全样本下，在损伤失效率(TFR)模型下Lomax分布简单步进应力加速寿命试验的极大似然估计和近似区间估计，讨论了定数截尾样本下，Lomax分布简单步进应力加速寿命试验下参数的极大似然估计和近似区间估计。

设某产品的寿命T服从Lomax分布，其分布函数与密度函数分别为

其中:β为尺度参数，λ为形状参数。

1 损伤失效率模型和渐进正态性

文献[11]提出了损伤失效率(TFR)模型，考虑简单步进应力加速寿命试验。在这类试验中，n个产品首先在应力S1下进行试验，试验持续到τ1时刻，将试验应力水平提高到S2，在时刻τ1之前未失效的产品将在应力S2下继续进行试验，直到全部产品失效，试验停止。假定应力变化的结果是导致开始时失效率函数λ1(t)乘上与变化点τ1有关的一个未知因子α(α>1)。记步进应力寿命时间t*的失效率函数为γ*(t)，所提议的损伤失效率(TFR)模型为

γ*

因子α与S1和S2有关，而且有可能和时间变点τ1也有关。

定理[12]:假设Θ为开区间，概率密度函数f(x;θ),θ∈Θ满足

1) 在参数真值θ0的领域内，∂lnf/∂θ,∂2lnf/∂θ2,∂3lnf/∂θ3对所有t都存在；

2) 在参数真值θ0的领域内，|∂3lnf/∂3|≤H(t)，且EH(t)<∞；

3) 在参数真值θ0处，

2 损伤失效率下Lomax分布在步进寿命试验下的统计分析(全样本情况)

考虑TFR模型下简单步进应力加速寿命试验。在这类试验中，n个产品首先在应力S1下进行试验，试验持续到τ1时刻后(其间共有r个产品失效，次序失效时间记为t(1),t(2),…,t(r))，将试验应力水平提高到S2，在时刻τ1之前未失效的产品将在应力S2下继续进行试验，直到全部产品失效，试验停止(其次序失效时间记为t(r+1),t(r+2),…,t(n))。

此时，失效率函数为

γ*

残存函数为

密度函数为

f*

似然函数为

对数似然函数为

lnL(α,λ,β)=lnC++nlnλ+nλlnβ+(n-r)lnα+

λ(α-1)(n-r)ln(τ1+β)-

分别求lnL(α,λ,β)对α、λ、β的偏导数：

λ=n/(-nlnβ-(n-r)(α-1)ln(τ1+β)+

分别求lnL对α、β、λ的二阶偏导数：

由此可得fisher信息阵为

取置信度为1～δ，则δ的置信区间为

同理，β的置信区间为：

λ的置信区间为：

3 损伤失效率下Lomax分布在步进寿命试验下的统计分析(定数截尾)

考虑TFR模型下定数截尾简单步进应力加速寿命试验。在这类试验中，n个产品首先在应力S1下进行试验，试验持续到τ1时刻后(其间共有r1个产品失效，次序失效时间记为：t(1),t(2),…,t(r1))，将试验应力水平提高到S2，在时刻τ1之前未失效的产品将在应力S2下继续进行试验，直到第r个产品失效，试验停止(其次序失效时间记为：t(r1+1),t(r1+2),…,t(r))。

似然函数为：

对数似然函数为：

分别求lnL(α,β,λ)对α、λ、β的偏导数：

分别求lnL对α、β、λ的二阶偏导数：

由此可得fisher信息阵为

取置信度为1-δ，则δ的置信区间为

同理，β的置信区间为

λ的置信区间为

4 Monte-Carlo算例分析

例1：取样本容量n=20，参数真值取为β=0.5，α=1.5，λ=1，τ1=1，通过Monte-Carlo模拟产生20 个步进应力下的随机数如下：

在应力1(S1=2)下的失效时间为

0.045 8 0.046 1 0.082 5 0.085 3 0.097 3

0.166 9 0.269 7 0.279 0 0.389 5 0.458 8

0.566 7 0.651 8 0.711 8 0.889 6

在应力2(S2=4)下的失效时间为

1.049 3 1.264 9 1.613 0 1.692 3 2.971 7 12.494 4

利用牛顿迭代法可得到参数的极大似然估计：

由上面的结论，得到fisher信息阵为

取置信度为95%，从而得到参数α的区间估计为 (-1.159 5, 4.159 5)，参数β的区间估计为 (-0.799 7, 1.799 7)，参数λ的区间估计为 (-0.784 4, 2.784 4)。

例2：定数截尾下，使用上例中的数据，r1=14，取r=19。

利用迭代方法可得到参数的极大似然估计为

由上面的结论，得到fisher信息阵为

取置信度为95%，从而得到参数α的区间估计为 (-0.035 7, 3.035 7)，参数β的区间估计为 (-0.485 6, 1.485 6)，参数λ的区间估计为 (-0.073 9, 2.073 9)。

5 结论

随着现代科学技术的迅猛发展,人们需要在尽可能短的时间内知道产品的品质信息。本文讨论了在损伤失效率(TFR)模型下，Lomax分布在简单步进应力加速寿命试验下的参数极大似然估计以及基于渐进正态性的近似区间估计，并用Monte-Carlo法模拟数据，计算了参数的极大似然估计和近似区间估计。得到如下结论：步进应力加速寿命试验确实可以缩短试验时间；在步进应力加速寿命试验下得到的参数估计依旧很准确；基于渐进正态性的近似区间估计能够很好的包含极大似然估计。

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[3] 周明元.对数熵损失函数下两参数Lomax分布形状参数的Bayes估计[J].统计与决策，2010(17):8-10.

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[12]茆诗松,王静龙,濮晓龙.高等数理统计[M].2版.北京：高等教育出版社，2006.

(责任编辑 唐定国)

The Failure Mode of Step Stress Accelerated Life Testing for Lomax Distribution Based on Tampered Failure Rate Model

HE Yang1，2, WANG Ronghua1, XU Xiaoling2

(1.Mathematics and Science College，Shanghai Normal University, Shanghai 200030, China;2.School of Statistics and Information, Shanghai University of International Business and Economics, Shanghai 200030, China)

This paper uses the step stress accelerated life testing for Lomax distribution to reduce the testing time and make sure of the accuracy of the data. Based on tampered failure rate(TFR) model, this paper discusses the failure mode of step stress accelerated life testing for Lomax distribution based on complete sample and type I censoring sample respectively, and discusses the maximum likelihood estimation of parameter and approximate interval estimation based on asymptotic normality. In the end, this paper produces samples by the Monte-Carlo method, and calculates the maximum likelihood estimations and approximate interval estimations of parameters under different situation by Newton iteration method.

Lomax distribution; step stress; tampered failure rate model; asymptotic normality; maximum likelihood estimation; Monte-Carlo simulation

10.11809/scbgxb2017.07.038

2017-03-10；

2017-04-10

国家自然科学基金资助项目(11671264)

和阳(1991—)，男，硕士研究生，主要从事可靠性统计研究。

format:HE Yang, WANG Ronghua, XU Xiaoling.The Failure Mode of Step Stress Accelerated Life Testing for Lomax Distribution Based on Tampered Failure Rate Model[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2017(7):176-179.

O213.2

A

2096-2304(2017)07-0176-04

本文引用格式：和阳，王蓉华，徐晓岭.损伤失效率下Lomax分布在步进试验下的统计分析[J].兵器装备工程学报，2017(7):176-179.