基于局部自相似的字典学习图像去噪方法

王爱齐,徐坤,宋爱民

(1.大连交通大学 理学院，辽宁 大连 116028；2.锦州师范高等专科学校，辽宁 锦州 121000)

基于局部自相似的字典学习图像去噪方法

王爱齐1,徐坤2,宋爱民1

(1.大连交通大学 理学院，辽宁 大连 116028；2.锦州师范高等专科学校，辽宁 锦州 121000)

利用图像具有自相似的特点，结合稀疏表示理论，提出了一种新的图像去噪方法. 该方法汇集相似的图像块，构造局部字典，能够更好的匹配图像的纹理和复杂结构. 实验结果表明，该方法在抑制图像噪声的同时，能很好的保持图像的纹理和细节信息.

稀疏表示；字典学习；自相似性；图像去噪

0 引言

图像的稀疏表示理论被成功的应用到图像恢复和模式识别等方面，已经成为计算机视觉和图像处理领域一个非常活跃的研究课题. 稀疏表示模型假设小的图像块可以表示为少量字典原子的线性组合，即图像块在字典表示下是稀疏的. 一个基本问题是对于待处理的图像，如何构造合适的字典来稀疏表示所有的图像块？由Donoho和Candes等[1-2]的理论可知，图像块在字典下表示系数的稀疏性决定了图像恢复结果的质量，因此字典的选择就变得十分重要. 当前，构造字典的方法大致可分为两类[3]：解析方法和学习方法. 基于解析方法构造的字典通常是事先给定的、固定不变的，如离散余弦变换(DCT)、小波变换、Shearlet和Grouplet等. 该方法构造简单，计算复杂度低，但原子形态不够丰富，不能很好的匹配图像自身的纹理等复杂结构. 基于学习方法构造的字典一般是结合信号本身特点，设计一个字典学习代价函数，通过优化来获得能够对信号进行稀疏表示的字典. 与基于解析方法的字典相比，通过学习获得的字典形态更丰富, 能更好地与图像本身的结构匹配，具有更稀疏的表示，因此在图像去噪、图像修复、图像超分辨率等方面表现出更出色的性能. 然而，无论是解析方法还是学习方法，构造字典时都很少考虑图像块的自相似特点. 而图像的非局部自相似性[4]是图像的一个重要的特征，被广泛应用于图像处理的各个方面..本文结合图像块之间的自相似特点，构造局部自适应字典，能够更好的匹配图像的复杂结构，从而获得更高质量的图像恢复结果.

1 经典的字典学习图像去噪方法

(1)

或

(2)

对于优化问题(2)，一般采用交替迭代策略求解，具体步骤是

(1)稀疏编码：已知字典D，求稀疏系数α，即

(2)字典更新：已知稀疏系数α，求字典D，即

(4)

确定了字典D和稀疏系数α，则去噪后的图像块集可以表示为Y*=Dα，进而可以得到去噪后的图像y*.

2 局部自相似的字典学习方法

2.1 算法的基本思想

自相似性是图像的一个重要的特征，本文将稀疏表示与图像的自相似性相结合，构造局部自适应字典，以取得更好的性能. 具体过程如下,如图1所示.

图1 相似图像块集的构造

(2)对Yi进行奇异值分解，将得到的特征向量矩阵作为局部字典Di.

(3)稀疏编码，即利用已知的字典Di，求稀疏表示系数α=(α1,…,αK).

由于Yi是相似图像块的集合，因此系数α的列向量应该也具有相似性，即α的所有列向量的非零分量的位置应基本相同，也就是说α的行向量中应该有许多都是零向量. 但是由于受到噪声的干扰，α的这种模式特征遭到破坏. 为了利用α的这个特点，这里将稀疏编码公式(3)修改为

(5)

(6)

证明 由于Di是正交矩阵，故问题(5)等价于

(7)

进而写成行向量的形式为

(8)

对每一行来说，是标准的l0优化问题[5]，故问题得证.

在式(5)中，字典Di是通过将Yi奇异值分解得到的特征向量矩阵，因此Di是正交的，故定理条件成立. 与优化问题(3)相比，优化问题(5)是对α的行向量进行约束，并且每一行的规则参数都不相同.

2.2 规则参数的选取

其中τ为常数.

3 实验结果及分析

在图像处理中，抑制噪声的同时不破坏或模糊图像的结构细节可能是最重要的任务之一. 在去噪实验中，对本文提出的算法和K-SVD[6]、BM3D[7]、NLMSAP[8]、PGPD[9]等算法在去噪效果进行比较. 为了客观比较去噪效果，采用峰值信噪比(Peak Signal-to-Noise Ratio，PSNR)作为评价标准.

3.1 仿真参数设置

3.2 仿真结果分析

几种算法的去噪效果的PSNR如表1所示，从中可以看出，在去噪效果上，本文算法明显优于K-SVD、NLMSAP和PGPD，与当前最流行的BM3D算法十分接近，有时甚至更好. 为了从视觉上直观的比较各种算法的去噪结果，图2列举了实验中用到的一幅图像和相应的去噪结果，其

中所加噪声是σ=20的高斯白噪声. 从中可以看出，K-SVD和NLMSAP在抑制噪声的同时，会有一定的模糊现象，而BM3D和PGPD也会减弱纹理的对比强度，与之相比，本文算法的去噪结果更加清晰，很好的保留了原始图像的细节信息.

表1 各种算法去噪结果的PSNR

图2 各种去噪算法比较

4 结论

本文在稀疏表示理论的基础上，结合图像的自相似特点，提出了一种新的图像去噪方法. 该方法对每一个像素点处的图像块，计算与其相似的图像块集，并利用该相似集构造字典，这样，使得该字典具有很好的局部自适应性，能够更好的匹配图像的局部纹理和复杂结构，实验结果也验证了该方法的有效性.

[1]DONOHO D L. Compressed sensing[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52(4): 1289-1306.

[2]CANDES E J, TAO T. Near optimal signal recovery from random projections: universal encoding strategies[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52(12):5406-5425.

[3]练秋生, 石保顺, 陈书贞. 字典学习模型、算法及其应用研究进展[J]. 自动化学报, 2015,41(2):240-260.

[4]BUADES A, COLL B, MOREL J. A review of image denoising algorithms, with a new one[J]. SIAM interdisciplinary journal: Multiscale Modeling and Simulation, 2005,4(2): 290-530.

[5]BAO C, CAI J F, JI H. Fast sparsity-based orthogonal dictionary learning for image restoration[C]. IEEE International Conference on Computer Vision, 2013:3384-3391.

[6]ELAD M, AHARON M. Image denoising via sparse and redundant representations over learned dictionaries[J]. IEEE Transactions on Image Processing, 2006,15(12):3736-3745.

[7]DABOV K, FOI A, KATKOVNIK V, et al. Image denoising by sparse 3-D transform-domain collaborative filtering[J]. Transactions on Image Processing,2007, 16(8):2080-2095.

[8]DELEDALLE CA, DUVAL V, SALMON J. Non-Local Methods with Shape-Adaptive Patches[J]. Journal of Mathematical Imaging and Vision, 2012,43(2):103-120.

[9]XU J, ZHANG L, ZOU W, et al. Patch Group Based Nonlocal Self-Similarity Prior Learning for Image Denoising[C]. IEEE International Conference on Computer Vision, 2015:244-252.

Image Denoising by Locally Self-Similarity Dictionary Learning

WANG Aiqi1, XU Kun2, SONG Aimin1

(1.School of Mathematics and Physics, Dalian Jiaotong University, Dalian 116028, China; 2.Jinzhou Teachers Training College, Jinzhou 121000, China)

A novel image denoising method is presented based on the sparse representation and the non-local self-similarity of natural images. This method clusters the given noisy image into regions of similar geometric structure and constructs a locally adaptive dictionary which can best describe the underlying image data. The experiment results show that this method can filter out noise while preserving edges and fine-scale details.

sparse representation; dictionary learning; self-similarity; image denoising

1673- 9590(2017)04- 0192- 04

2016- 07- 20

辽宁省教育厅科学研究计划资助项目(L2014186, L2015097, L2014188)

王爱齐(1979-)，男，讲师，博士，主要从事图像处理与分析方面的研究E- mail:waq1979@163.com.

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